統計学 12/13（木）
講義全体の流れ 第１部 記述統計：データの特性を記述 第２部 確率論：推測統計への橋渡し 第３部 推測統計：データから全体像を推測 第１部 記述統計：データの特性を記述 第２部 確率論：推測統計への橋渡し 第３部 推測統計：データから全体像を推測 ・推測統計とは ・母集団平均の区間推定 ・母集団平均の検定 ←今日はここ！
前回までの内容① 推測統計の四つのキーワード 母集団 ⇔ 標本（サンプル） 母集団特性値 ⇔ 標本統計量 母集団 ⇔ 標本（サンプル） 母集団特性値 ⇔ 標本統計量 ⇒母集団の特徴を数値化したものを、データ（標本）から計算した統計量で推測する。 推測統計の二本柱：区間推定と検定 ⇒実はこの二つは表裏一体。
前回までの内容② （母集団平均μの）区間推定 μの値は未知。 ⇒μの値を推定するには誤差がつきもの ⇒誤差を含めて、μの値が（例えば９５％の確率で）どれくらいの範囲に収まるかをデータから推定。 ⇒方法：中心極限定理の応用
前回の復習：区間推定
今日やること：（仮説の）検定 母集団平均μの値に関して仮説を立てる（例：μ=３）。 その仮説を受け容れるべきか却下すべきか「検定」する。（例：μ=３ or μ≠３？） 重要ポイント ①再び「中心極限定理」を使う ②区間推定と検定は表裏一体（次頁参照）
考え方：区間推定から検定へ 前回例：某工場製の電球の平均寿命μ Ｑ：「電球の平均寿命μが2500時間である」という仮説は受け容れられるか否か？ ⇒信頼係数９５％で区間推定をやると 2537.78時間≦μ≦2648.62時間。 ⇒2500時間かもしれないが、その可能性は５％以下。よって、仮説は却下してよい。
検定における慣例：背理法 重要：二つの仮説（H0とH1）を立てる。 ①主張したいことは、H1（対立仮説）に。 注：いつも矛盾が見つかるとは限らない。
検定の手順：中心極限定理 例：H0：μ＝３、H1：μ≠３
検定の修正 母集団分散σ2の値は未知←要推定
仮説検定の例 某工場で製造中の電球の平均寿命を推定 １０個の電球を標本調査。 標本の平均は2,593.2時間、標準偏差は77.48。 t‐分布表より、自由度９（＝１０－１）の時、2.5％の臨界値は2.262。 ⇒Q：平均寿命は2700時間といえるか？
仮説検定の例（続）
付論①：有意水準について 有意水準５％でH0を棄却する意味 H0が正しい可能性は５％以下なので、H0を棄却し、H1を受け容れる。 ⇒用語：第１種の誤り H0が本当は正しいのに、誤って棄却すること ⇒第１種の誤りが起こる確率＝有意水準
第１種の誤りの特性 小標本（ｔ-分布から境界値）なのに大標本法を採る（正規分布から境界値）と、第１種の誤り（正しいH0を否定）の確率が高い。 例：自由度10で t = 2.0。H0は正しいとする 有意水準５％の境界値はそれぞれ ｔ-分布：2.228 → H0を棄却できない 正規分布：1.96 → H0を棄却できる
第２種の誤り 第２種の誤りとは 「本当は誤っているH0を棄却できないこと」。 第１種の誤りの可能性を小さくするには、有意水準を下げる（例：５％→１％）こと。 →その場合、第２種の誤りの可能性が高くなる（棄却域が狭くなってしまうから）。
第１種の誤りと第２種の誤り H0を採択 H0を棄却 H0は正しい ○ 第１種誤り H0は誤り 第２種誤り
付論②：両側検定と片側検定 （例）H0：μ＝３のとき、 両側検定 H1：μ≠３ ←等号の両側を考慮 片側検定 ↓等号の片側だけを考慮 片側検定 ↓等号の片側だけを考慮 H1：μ＞３ （あるいは、H1：μ＜３）
片側検定のための境界値 有意水準５％で検定をするならば、境界値として、 小標本：ｔ0.05（≠ｔ0.025 ） 小標本：ｔ0.05（≠ｔ0.025 ） 大標本：1.645（≠1.96） ↑なぜそうなるのかは確率分布図を描いて理解せよ。