応用統計学の内容 推測統計学(inferential statistics) 連続型の確率分布 標本分布 統計推定 統計的検定
履修の注意事項 授業中の発言(10%)、宿題(30%)、テスト(60%) ユーザ：Statictics; パスワート： Shudo テキスト：張南『統計学の基礎と応用』 中央経済社, 1999年3月 参考書:川出真清『コンパクト統計学』 新世社, 2011年2月 予習と復習 http://ns1.shudo-u.ac.jp/~zhang/ ユーザ：Statictics; パスワート： Shudo 宿題の提出： 予定のとおりにきちんと整理した回答を提出 成績の評価基準： 授業中の発言(10%)、宿題(30%)、テスト(60%)
連続型の確率変数 (Continuous random variables) 定義 分布関数 正規分布
1.定義 連続型の確率変数： 長さ、重さ、面積などのように、数直線上の連続するいかなる値もとることが可能で、とりうる値は数え切れないほど点の密度が高い無限個あるというような変数を連続型の確率変数。 Ｐ(X=x)=0
確率分布 実際上、確率変数 X についてのいろいろな確率が計算できるためには、 X 1 2 3 4 5 6 1/6 確率 上のように、各 xi に対する P(X=xi) ＝ pi の値がすべて決まっていればよい。この「決まり方」 pi が「確率分布」。 X の値が離散的な場合は、上のような表を「確率分布」と思ってよい。
例 サイコロを1回投げて出る目の数を X とする P ( X = 3 ) ＝ 1/6 P ( X=1 または X=4 ) ＝ 2/6 ＝ 1/3 P ( X=1 かつ X=4 ) ＝ 0 P ( 1≦X≦4 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3 P ( 0.5≦X≦4.2 ) ＝ 4/6 ＝ 2/3
※ X の値は離散的とは限らない。 例 区間 [0,1] にランダムに針を落とす。落ちた位置を X とする。 1 X 0.3 0.5 0.7 0.8 1 確率 ? これでは不十分。 このように、X のとる値が無限個で、連続的な場合は、 任意の a,b に対して P ( a≦X≦b ) ＝ F(a,b) が定まっていればよい。
X が連続的な場合、ふつうはその分布は定積分で与えられる： f (x) この f (x) のグラフが、前の離散的な場合の分布表と同じ役割を果たす。 f (x)を 確率密度関数という。 （ f(x)dx が確率になる ）
まとめ 離散的確率変数 連続的確率変数 確率分布 P ( X = x ) ＝ px P ( x≦X ≦x+dx ) ＝ f (x) dx 分布関数 F (x)=P (X≦x )
確率密度関数 確率密度関数は微分を求める考え方と同様で、Ｘがxからx+△xの微小な区間に入る確率P(x≦X≦x+△x)を考える。この値は△xを小さくすると0へ収束してしまうので、△xで割って△x→0とした極限をf(x) 、即ち
確率密度 確率密度とは確率を求めるために 長さ△ｘに乗じるべき「密度」という意味で 長さ△ｘに乗じるべき「密度」という意味で ｆ(x)が大きいところには確率が濃くあるということを示している 。 確率密度関数f(x)を使えば、ｘがaとbの間に入る確率は
密度関数の図
2.分布関数 連続型の確率変数Xがｘ以下の値をとる確率をXの累積分布関数という。
確率密度関数と分布関数 確率密度関数f(x)は分布関数F(x)の導関数、F(x)は密度関数f(x)の区間（－∞,x) での定積分
連続型確率変数の期待値と分散
3.正規分布(Normal distribution) 正規分布の確率密度関数 eは自然対数の底,2.71828….; ：期待値 は円周率, 3.1416…； ：標準偏差
正規分布の期待値と分散
正規分布の図
正規分布の特徴 密度関数ｆ（ｘ）は平均 を中心に左右対称の吊り鐘の形をしている 密度関数がX= の点で最大値をとる 密度関数ｆ（ｘ）は平均 を中心に左右対称の吊り鐘の形をしている 密度関数がX= の点で最大値をとる 正規分布グラフの形状が と で決まる 曲線とｘ軸に囲まれた面積は１であるので
正規分布の性質 のとき、歪度=0; 尖度=3 のとき、 が互いに独立で、 のとき の１次式は となる。 メディアン＝モード＝期待値