伝達事項 試験は6/6 (土) 1限目の予定です。

演習１ b a y (1) 位置ベクトル a, b を求めな さい c (2) 位置ベクトル c を求めなさ い。 x (3) (3) 位置ベクトル c を位置ベク トル a, b を用いて表しなさ い。

演習１（解答） b a y (1) 位置ベクトル a, b を求めな さい a: (6, 2), b: (-4, 6) c (2) = (-10, 4) x (3) 位置ベクトル c を位置ベク トル a, b を用いて表しなさ い。 c = b − a

演習２ 半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。 この円盤についての以下の問いに答えなさ い。円周率はπのままで良い。 10 m (1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。 (2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求 めなさい。 (3) 円盤の端に固定された物体が円盤から受けるの向心加速度 (m/s2) を求めなさい。 (4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか答え なさい。

演習２（解答） 半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。 この円盤についての以下の問いに答えなさ い。円周率はπのままで良い。 10 m (1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。 角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s) (2) 円盤の端（円周上）の速度 (m/s) を求 めなさい。 速度v (m/s) = r(m)ω(rad/s) = 10(m)•2π/5(rad/s) = 4π (m/s)

演習２（解答） 半径10 mの円盤が5秒間で1回転している。 この円盤についての以下の問いに答えなさ い。円周率はπのままで良い。 (1) 円盤の角速度 (rad/s) を求めなさい。 10 m 角速度ω (rad/s) = 2π/5 (rad/s) 　　　円盤の端に固定された物体が円盤から 受けるの向心加速度a (m/s2) を求めなさい。 (3) 向心加速度a(m/s2) = r(m)ω2 (rad2/s2) = 10•(2π/5)2 (m/s2) = 8π2/5 (m/s2) (4) 物体の固定が外れた時、この物体はどのような運動をするか。 固定が外れた場所の円周の接線方向に速度4π (m/s)で等速直線 運動を始める。

宿題１（提出不要。月曜日までに解く） c b a d y a + b + c + d に相当する 位置ベクトルを求めなさい。 a + c に相当する位置ベク トルを求めなさい。 a x d

宿題１（提出不要。月曜日までに解く） c b a d y a + b + c + d に相当する 位置ベクトルを求めなさい。 a + c に相当する位置ベク トルを求めなさい。 a x d

宿題１（提出不要。月曜日までに解く） c b a c d y a + b + c + d に相当する 位置ベクトルを求めなさい。 x d

宿題２（提出不要。月曜日までに解く） 長さ8 mのヒモの先端に質量1 kgの重りを つけて、2秒間で1回転で回転している。こ のヒモと物体についての以下の問いに答え なさい。円周率はπのままで良い。 8m (1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め なさい。 (2) ヒモの張力を求めなさい。

宿題２（提出不要。月曜日までに解く） 長さ8 mのヒモの先端に質量1 kgの重りを つけて、2秒間で1回転で回転している。こ のヒモと物体についての以下の問いに答え なさい。円周率はπのままで良い。 8m (1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め なさい。 角速度ω(rad/s) = 2π(rad)/2(s) ) = π(rad/s) 向心加速度a (m/s2) = rω2 = 8(m)•{π(rad/s)}2 = 8π2(m/s2) 註：radはSI単位で表すことができない無次元の単位 (2) ヒモの張力を求めなさい。 F(N) = ma = 1(kg)•8π2(m/s2) = 8π2(kg•m•s-2) = 8π2(N)

予習項目 地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を止めたら その後人工衛星はどうなるか答えなさい。

4章 周期運動

ポドグラフ ポドグラフ：時間とともに進行方向（ベクトルv1~v8）の向きが変わって いることを示す図。

変位と位置ベクトル（訂正版） y a, b を位置ベクトルと定義 b の先端から a の先端に 到る位置ベクトル c は？ c b a x

変位と位置ベクトル（訂正版） b a y a, b を位置ベクトルと定義 b の先端から a の先端に 到る位置ベクトル c は？ (2, 4) 位置ベクトル 　　　　 = 原点からの座標 c b (6, 2) a: (6, 2) a x b: (2, 4)

変位と位置ベクトル（訂正版） b a y a, b を位置ベクトルと定義 位置ベクトル = 原点からの座標 c: (4, −2) 4 　　　　 = 原点からの座標 c: (4, −2) 4 a: (6, 2) (2, 4) b −2 b: (2, 4) a a の先端から b の先端に 到る位置ベクトル c は？ = ベクトル a の座標を起点 とし、ベクトル b の座標を 終点とする位置ベクトル (6, 2) x c: (4, −2)

変位と位置ベクトル（訂正版） b a y a, b を位置ベクトルと定義 位置ベクトル c = 座標の引き算 = (座標の)変位 　　　　 = 座標の引き算 　　　　 = (座標の)変位 c: (-4, 2) 4 (2, 4) a: (6, −2) b −2 −) b: (2, −4) a (6, 2) x c: (4, −2) 即ち c = a − b ベクトルは足し算だけでなく 引き算も可能！

変位と位置ベクトル（訂正版） b a −b ベクトル合成を図で求めると y c = a + (−b) = a − b (eq.1) = (座標の)変位の引き算 a: (6, −2) b −) b: (2, −4) a x c: (4, −2) −b (4, −2) = c ◯ eq. 1 (c = a − b) より c = a − b c + b = a ベクトルは移項も可能！

円周運動の速度 1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1)) 回転半径: r (m) 動径ベクトル（位置ベクトル）: r t = Δt (s) 時刻 0 (s) から Δt (s) の位置ベ クトルの変化 = 速度 t = 0 (s) v = lim(r2 – r1)/(Δt – 0) Δt→0 = lim(r2 – r1)/Δt Δt→0 r2 − r1 Δt (s) → 0 の時、 v は r と直交 動径（中心からの距離）が不変で も、ベクトルの向きが変われば、 速度が生じる

円周運動の速度 1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1)) 回転半径: r (m) 1周（円周）の距離 = 2πr t = Δt (s) 1秒あたりの移動距離 = 2πrf = v t = 0 (s) v = 2πrf 1秒あたりの回転角度（角速度） = 2πf = ω 2π (rad) = 360° を思い出そう v = 2πrf = r(2πf) = rω

円周運動の加速度 速度ベクトル: v 時刻 0 (s) から Δt (s) の速度ベ クトルの変化Δv = v2 – v1 加速度: a とすると t = Δt (s) a = lim(v2 – v1)/(Δt – 0) Δt→0 = lim(v2 – v1)/Δt Δt→0 Δt (s) → 0 の時、 a は v と直交 する

円周運動の加速度 1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1)) v = 2πrf = ポドグラフの回転半径 ポドグラフ１周の距離 １秒間のポドグラフ先端移動距離 = 2πvf = 速度ベクトルの1秒間あたりの変化 = 加速度 a = 2πvf = (2πf)v = {(2πf)•r•(1/r)}v = {(2πrf)(1/r)}v = v(1/r)v = v2/r a = v2/r a = |v|2/r = (2πf)2r = rω2 a: 向心加速度（円の中心に向かう）

円周運動と向心加速度 a: 向心加速度（速度と直交して円の中心に向かう加速度） a = |v|2/r = (2πf)2r 1秒あたりの回転数（周波数）: 　　　　　　　　　　　　　　f (Hz (s-1)) a a a 1周するのにかかる時間（周期）: T (s) a a a a a f (Hz (s-1)) = 1/T (s) f (Hz (s-1))•T = 1

予習項目 地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を止めたら その後人工衛星はどうなるか答えなさい。

予習項目（解答） 地球の周りをまわっている人工衛星の周回運動を無理矢理止め たらその後人工衛星はどうなるか答えなさい。 人工衛星の周回運動をしている→等速直線運動ではない！！！ →地球からの重力（重力加速度）を受けて周回運動 重力ベクトル（重力加速度ベクトル）の方向→地球の中心 周回運動を無理矢理止めると →重力（重力加速度）のみが残る →重力に引かれて、重力加速度で加速されながら地球に 　落ちる。

周波数と周期 1秒あたりの回転数（周波数）: f (Hz (s-1)) 1周するのにかかる時間（周期）: T (s)

等速回転運動：y軸投影 12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。 y y r y = r•sinθ ぽいぞ ω 9 12 x 3 x 3 6 t / s r −r

ω = 2π(rad)/12(s) = π/6(rad/s) 等速回転運動：y軸投影 12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。 y y r y = r•sin(ωt) r ω θ 9 12 x 3 6 t / s θ = ωt r•sinθ = r•sin(ωt) −r ω = 2π(rad)/12(s) = π/6(rad/s) y = r•sin{(π/6)t}

等速回転運動：x軸投影 12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。 r•cosθ = r•cos(ωt) y x r x = r•cos(ωt) r ω θ x t / s θ = ωt −r

等速回転運動：x軸投影 12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。 y r ω θ x θ = ωt 真横（y軸方向） から見ると x θ = ωt 真横（y軸方向） から見ると 単振動 x

等速回転運動：向心力 12秒間で1周の角速度ωで質量m(kg)の物体が等速回転している。 y 向心力を F とするとx軸方向の力 FX は FX = -−Fcos(ωt) (eq.1) Fcos(ωt) r x軸方向の変位xは F ω x = r•cos(ωt) (eq.2) θ x θ = ωt cos(ωt) = x/r (eq.3) eq.3をeq.1に代入すると FX = −Fcos(ωt) = −F(x/r) = − (F/r)x FX = −Cx (Cは定数: C = F/r) 単振動 この式から x軸方向の力は変位xに比例 x

演習 36秒間で1周の角速度で等速回転している物体のx軸方向の変 位の時刻に対するグラフを描きなさい。なお回転半径は 8 mで、 時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。ま た物体は反時計回りに回転しているものとする。 y x ω x t / s 8 m

演習 36秒間で1周の角速度で等速回転している物体のx軸方向の変 位の時刻に対するグラフを描きなさい。なお回転半径は 8 mで、 時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。ま た物体は反時計回りに回転しているものとする。 x y 8 ω = 2π/36 = π/18 ω t / s 9 18 x 27 36 8 m x = −r•sin(ωt) = −8sin{(π/18)t} −8

宿題（締切: 5/13, 提出場所：田中の部屋の前のカゴ） 4秒間で1周の角速度で等速回転している質量5 kgの物体に関 する以下の問いに答えなさい。なお回転半径は 2 mで、 時刻 t=0 s の時、物体はy軸上の正の位置にあるものとする。 また物体は時計回りに回転しているものとする。 (1) 角速度ωを求めなさい。 (2) 円周の接線方向の物体の速度vを求めなさい。 (3) 向心加速度aを求めなさい。 (4) 向心力（円の中心に向かう力）Fを求めなさい。 (5) 物体のx軸方向の変位の時刻tに対するグラフを描きなさい。 (6) 物体のx軸方向の変位を時刻 t の関数として表しなさい。

予習 単振動を行う代表的な例を探しなさい。

等速回転運動：位置ベクトル 12秒間で1周の角速度ωで物体が等速回転している。 y (x, y) = (r•cos(ωt), r•sin(ωt)) r r = (x2 + y2)(1/2) = [{r•cos(ωt)}2 + {r•sin(ωt)}2](1/2) = [r2{cos(ωt)}2 + r2{sin(ωt)}2](1/2) = (r2[{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2])(1/2) ω θ x θ = ωt ここで、{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2 = 1 r = (r2[{cos(ωt)}2 + {sin(ωt)}2])(1/2) = (r2•1)(1/2) = (r2)(1/2) = r