４．２ 連立非線形方程式 （１）繰返し法による方法 ４．２ 連立非線形方程式 （１）繰返し法による方法 n 個の変数からなる非線形方程式を考える。 これをベクトル表記して次のように表す。
単純な繰返し法では，収束するとは限らない！！ 繰返し法による方法 １変数の場合と同様，以下のようにして解く ただし， 単純な繰返し法では，収束するとは限らない！！ 使えない！！
（２）ニュートン・ラプソン法 ニュートン・ラプソン法の考え方（１） 真の解との誤差を としてベクトル表記すると これは，次のような式をベクトル表記したものである。
ニュートン・ラプソン法の考え方（２） テーラ展開し，１次の項まで近似すると
ニュートン・ラプソン法の考え方（３） ベクトル表記すると
ニュートン・ラプソン法の考え方（４） ：ヤコビアンと呼ばれる。 （Jacobian）
ニュートン・ラプソン法の考え方（５） 適当な初期値 を決め（k＝0） を解いて， を求め とする。これを繰り返せば，解に収束する。
発展 行列が大きくなると， 近似値の計算のたびに 連立方程式を解く必要があるので 計算量が多くなる。 実際には， 非線形連立偏微分方程式の数値解法に 応用されることが多いので， それに合わせた数値解法が提案されている。
簡単な例題を手計算で進めてみると 初期の近似値を とすると
簡単な例題 （以降，省略）
Ｅｘｃｅｌでの定義 例題を Excel でやってみよう
収束の様子 グラフを描いて確かめよう
ＶＢＡでのプログラム ①Jacobianの設定，関数値の設定，ボタンのClickイベントハンドラ Sub setJACOBI(JACOBI, A) JACOBI(1, 1) = 2 * A(1) + A(2) JACOBI(1, 2) = A(1) + 2 * A(2) JACOBI(2, 1) = 1 JACOBI(2, 2) = -1 ' - f(X) JACOBI(1, 3) = -(A(1) * A(1) + A(1) * A(2) + A(2) * A(2) - 1) JACOBI(2, 3) = -(A(1) - A(2)) End Sub Sub setInitial(A) A(1) = 1: A(2) = 1 Sub ボタン2_Click() Dim A(2) EPS = 0.0000001 N = 連立非線形Newton(A, EPS, 2) MsgBox " 繰返し回数" & N & " 結果=(" & A(1) & " " & A(2) & ")" Jacobianの設定 関数値の設定 （連立方程式の解法で掃出し法を用いる）
ＶＢＡでのプログラム ②連立非線形方程式の解法 Function 連立非線形Newton(A, EPS, N) Dim JACOBI() As Double: ReDim JACOBI(N, N + 1) setInitial A iter = 0: itermax = 100: E = EPS * 100 Do While E > EPS And iter < itermax iter = iter + 1 setJACOBI JACOBI, A ‘ Yacobian，関数値の設定 If 掃出法(JACOBI, N, ESP) Then Exit Do E = 0 ‘ 補正値の加算，収束判定 For i = 1 To N D = A(i) - JACOBI(i, N + 1) E = E + D * D A(i) = A(i) + JACOBI(i, N + 1) Next Loop 連立非線形Newton = iter End Function
（３）その他の方法 ①ベアストウ・ヒッチコック法（Bairstow-Hitchcock method） 非線形代数方程式に特化した繰返し計算による方法 ②ＤＫＡ法(Durand-Kerner-Aberth method) ニュートン法に対してデュランとカーナーが修正を行い， アバースの修正を用いる方法であり， 非線形代数方程式を対象とする方法。 （Ｎ個の解をまとめて計算する） なお，ＤＫＡ法については，４．３節で 複素根を対象とした方法として示す。
（４）演習 ① 以下の連立方程式の収斂の様子をExcelを使って観察せよ。 ② 上記連立方程式をサンプルプログラムを用いて解け。