確率二項分布

例）サイコロを10回振ったとき，１の目が出る回数xは， x:　 b(x; 10, 1/6) = 10Cx(1/6)x(5/6)10-x 　　0:　 b(0; 10, 1/6) = 10C0(1/6)0(5/6)10 1: b(1; 10, 1/6) = 10C1(1/6)1(5/6)9 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ =BINOMDIST(ｘ,ｎ,p,0)

● r個の箱に，n個のボ－ルを投げる x個のボ－ルが入った箱の割合はb(x; n, 1/r)で表される。

(空間分布でいうと，ｒ(箱の数)→∞，n（ボ－ルの数）→∞，n/r=λ） ポアソン分布 p→0, n→∞，np=λ（一定）のとき (空間分布でいうと，ｒ(箱の数)→∞，n（ボ－ルの数）→∞，n/r=λ）

ここで，n→∞のとき ポアソン分布(Poisson distribution) 　二項分布において，np=λ(一定)，n→∞，p→0のときを考える。 ここで，n→∞のとき

１ 一方， なので，p（=λ/n）→ 0 のとき

よって，p→0, n→∞，np=λ（一定）のとき 空間分布でいうと， ｒ(箱の数)→∞，n（ボ－ルの数）→∞，n/r=λ =POISSON(ｘ,λ,false)

　　　 x b(x; 10, 0.1) b(x; 100,0.01) p(x;1) 0 0.34868 0.366032 0.367879 1 0.38742 0.369730 0.367879 2 0.19371 0.184865 0.183940 3 0.05740 0.060999 0.061313 4 0.01116 0.014942 0.015328 5 0.00149 0.002898 0.003066 6 0.00014 0.000463 0.000511 7 0.00001 0.000063 0.000073

負の二項分布(negative binomial distribution) 　λ＝n/r， p = k/(k+λ) 1/kは分布の集中度を表す一つの指標である。1/k→0（k→∞）のときは，ポアソン分布となる。

取り出したボ－ルは，その色と同じ色のボ－ルc個と共に壷に戻す。 ポイヤの壷の問題 取り出したボ－ルは，その色と同じ色のボ－ルc個と共に壷に戻す。 １＋C個 n回ボ－ルを取り出したとき，黒いボ－ルをn1回得る確率を求める 黒b個，　赤r個

b/(b+r)=α, r/(b+r)=β, c/(b+r)=γとおき n→∞, α→0, γ→0とし, nα=λ，nγ=ρ-1ならば （試行回数が多く、黒球数、 追加する玉の数が少ないとき λρ=k，p=k/(k+λ)，n1=xとおくと (λは平均値）

(b+r)/b（→∞）個の箱にｎ個（→∞）のボールを投げると考える。第１回の試行で，ある箱にボールが入る確率はb/(b+r)である。第２回目の試行でその同じ箱に入る確率は，(b+c)/(b+r+c)となる。このようにして，ｎ回の試行でn1個のボールが入る確率が，Ｐn１,ｎで表される

k（＞０）は分布集中度を表す指数。 ０に近いほど分布は集中。 1/k→0（k→∞）のとき ポアソン。 k=λρ＝nα・1/(nγ）=b/c λ　平均密度（箱あたり平均ボール数） k（＞０）は分布集中度を表す指数。 ０に近いほど分布は集中。 1/k→0（k→∞）のとき ポアソン。 k=λρ＝nα・1/(nγ）=b/c

ポアソン分布と対数級数分布の組み合わせ 例）モンシロチョウのキャベツの株当りの卵の分布（低密度時）

モンシロチョウはキャベツ（等しい大きさとする）にランダムに飛来するが，１回当たりの飛来で産卵される卵数xは対数級数分布

対数級数分布

異なる平均値を持ったポアソン分布の寄せ集め λ=0.5 λ=2 λ=0.2 λ=5 λ=1.925

各区画の個体数がポアソン分布P(x;λ)に従うが、λがガンマ分布の密度関数ｇ(x;k,c)に従っているとき負の2項分布が出来る

ガンマ分布 ｃ＝１とする ｋ ｋ ｋ ｋ ｘ

一般に, 集中分布は，次の３つの原因による。 　１）個体間の誘引 　２）生息環境の不均質 　３）十分な分散を伴わない個体群の増殖 　４）群れを単位とした分布（kは一定とはならない可能性大）

● 完全一様（均一）分布

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ランダム分布 （ポアソン分布， 2項分布） 平均値＝１

集中分布 （代表：負の2項分布） 平均値＝１ ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●

二項分布、ポアソン分布、負の二項分布の平均、分散は以下のとおり。 　 　　平均 分散 　　均一分布　　　　　　　　　　　　　平均＞分散 　　二項分布 np　　　　　npq　　　　　　　　　　　　　　　 　　ポアソン分布　　　λ λ　　平均=分散 　　負の二項分布　　kq/p kq/p2　平均＜分散 　　(p = k/(k+λ), q = λ/(k+λ)，λ= kq/p) 　均一分布，ランダム分布（二項分布、ポアソン分布，集中分布（負の二項分布）の判断は，平均値と分散の大きさを比較すればよい。

演習３ ２項分布b(x;40,0.05), ポアソン分布p(x;2), 負の２項分布f(x;2,0.5)を計算し，その結果を図示せよ。ただし，xは，0,1，…,10。ワードに計算結果とグラフを書き，そのワードファイルを添付して sugakukiso123@yahoo.co.jp に送れ。締め切り1週間後

演習３． Ｅｘｅｌにおいて以下の関数を利用する 二項分布： =BINOMDIST(ｘ,ｎ,p,0) ポアソン分布： =POISSON(ｘ,λ,0) 負の二項分布： =NEGBINOMDIST(ｘ,ｋ,k/(k+λ)) ｋ≧１でないと使えない。

Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ 　Ｍｏｄｅｌ x，捕食者の個体数 y，被食者の個体数

捕食者がいないと被食者は指数的に増加する（ry）。 被食者がいないと捕食者は指数的に減少する（-dｘ）。 ○モデルの前提 捕食者がいないと被食者は指数的に増加する（ry）。 被食者がいないと捕食者は指数的に減少する（-dｘ）。 捕食者の瞬間捕食量は両種の積に比例する(axy)（3.a.のプロセスモデル参照） 。 捕食者のある時点の増加は，その時点に捕食した量に比例する(bxy)。捕食で得た栄養が直ちに，産仔にまわされる。  

ｙは減少する ｙは増加する

xは増加 xは減少

ｙ： ｘ > r/a 減少 ｘ < r/a 増加 x ｘ： ｙ　> d/b 増加 ｙ　< d/b 減少 d/b y

捕食者，被食者ともに周期的な変動を示す。その周期は，振幅が小さい時は，近似的に で,捕食者の位相が，1/4周期だけ右にずれる。 平衡密度（増殖率ゼロの密度）は一定で，被食者でd/b，捕食者で r/aである。振幅は一定で，近似的に被食者で 捕食者で となる（C は両種の初期密度で決まる定数）。

途中，撹乱が入ると，元の形にはもどらない。平均密度は同じだが，振幅が異なる。場合よっては，波長も少し異なる。

xi+1 =yi {1 - exp(-axi)} (4.3) yi+1 = r・yi・exp(-axi) (4.4) Ｎｉｃｈｏｌｓｏｎ－Ｂａｉｌｅｙ　Ｍｏｄｅｌ 　xi+1 =yi　{1 - exp(-axi)} 　　(4.3) yi+1 = r・yi・exp(-axi) 　　(4.4) xi = 第i世代における捕食寄生者の個体数 yi = 第i世代における寄主の個体数 r = 寄主の１世代あたりの増殖率 a = 寄主発見効率 (area of discovery)　

○モデルの前提 寄生を逃れた寄主の次世代への増殖率は一定。寄生以外の変動要因はない。 寄生者１頭あたりの探索面積は一定(a)でその範囲内の寄主は全て発見攻撃される。これは，寄生者が無制限に卵を産めることを意味する。 寄生者各個体の行動は互いに独立である。干渉、協力しない。 被寄生寄主からは必ず１匹の寄生者が羽化する。

○モデルの特徴 　x, yが特定の値（x = (1/a)・ln r , y = {r/(r-1)}・(1/a)・ln r ; このとき，x, y は各世代一定の値を維持する）を取るとき以外は，寄生者，寄主とも発散振動となる。

ａ．寄生数（捕食数）を予測するための プロセスモデル 　前提：探索期間中(t)，寄生者数は変化しない。寄主も，寄生以外の要因によって数の増減はしない。各寄主に対する各寄生者の出会いはランダム（等確率）に起こる。　　　

ステップ１．特定の y に対して寄生者１個体当りの瞬時（単位時間当り）の攻撃率を定式化する。この式 f(y)は，瞬間捕獲方程式とも呼ばれる。 　ステップ２．探索期間中(t)の未寄生寄主の減少の効果を組み込み，探索期間中の被寄生寄主の総計(Z )を予測する式（F(x, y, t)）を作る。この式は，最終捕獲方程式とも呼ばれる。捕食の場合被食者はいなくなるが，寄主の場合はそのまま残るため，F(x, y, t)は捕食と寄生の場合で異なる。

捕食の場合の最終捕獲方程式 より

= y{1 - exp(-f(y)xt / y)} (4.6) 寄生の場合の最終捕獲方程式 Z = y(1 - ポアソン分布の０項) =y{1 – exp(-平均）｝ 　　　　　= y{1 - exp(-f(y)xt / y)} 　　(4.6) のべ寄主遭遇回数

例１：寄主（被食者）との出合い頻度は寄主密度に比例し、攻撃頻度は出合頻度に比例する。このとき， 　　　　　f(y) = ay 　　　　　　　　(4.7) これを，(4.5)または(4.6)に代入すると，どちらも同じ次式を与える。 　　　　　Z = y[1 - exp(-axt)}　　　 (4.8)

○例２：出合頻度は寄主の密度と有効探索時間ts との積に比例する。tsは，単位時間(1)から捕獲，産卵（摂食）に要した時間（ｈ）の総和を引いた時間である。 h h h h 1

f(y) = ats y 1 = ts + hf(y) (h:処理時間 （寄主１個体の処理に要する時間）， handling time)なので 　　f(y) = a(1-hf(y))y それ故， 　　　f(y) = ay / (1 + ahy) (4.9) Holling's disc equation (1959）

捕食： 　Z = y(1 - exp{-a(xt - hZ)}　　(4.10) 寄生： Z = y(1 - exp{-axt/(1 + ahy)}（4.11)