Lorenz modelにおける 挙動とそのカオス性 H14.02.12 Lorenz modelにおける 挙動とそのカオス性 広島大学総合科学部総合科学科 数理情報科学コース 中山研究室　　　1045006J　有馬　和彦

Lorenz model 対流現象のモデルを簡単化 非線形常微分方程式 低次元で起こる“カオス的”現象 (Lorenz Attractor) 目的 パラメータの変化による構造 　　 及び挙動の変化の解析 カオス性の解析

Lorenz model 非線形項

Lorenz modelの構造 平衡点（不動点）に着目 パラメータの変化による 　　Lorenz modelの構造の変化 時間経過に依存しない点

平衡点 の安定性 各平衡点の安定性 平衡点周辺の解軌道を解析 安定多様体 不安定多様体 Stable(安定) Saddle(鞍点) 平衡点 の安定性 Stable(安定) Saddle(鞍点) Unstable(不安定) 不安定多様体 安定多様体 周辺の軌道を吸引 安定方向に吸引 不安定方向に遠ざける 周辺の軌道を遠ざける 各平衡点の安定性 平衡点周辺の解軌道を解析

分岐図 （　　　　固定） 平衡点：原点のみ（Stable） 全ての解軌道は原点に収束 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 解軌道は に収束 :Stable :Saddle-point （　　　　固定） 平衡点：原点（Saddle） 　　　　（Stable） 解軌道は に収束 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

分岐図 （ 固定） 平衡点：原点（Saddle） （Stable） 原点のホモクリニック軌道 :Stable :Saddle-point （　　　　固定） 平衡点：原点（Saddle） 　　　　（Stable） 原点のホモクリニック軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

分岐図 （　　　　固定） 平衡点：原点（Saddle） 　　　　（Stable） :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

分岐図 （　　　　固定） 平衡点：原点（Saddle） 　　　　（Saddle） :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

Lorenz Attractor 有 界 Saddle 収束しない　＋　発散しない Lorenz Attractor

Lorenz Attractorの軌道の様子

ポアンカレ切断面 得られたポアンカレ切断面を解析し Lorenz Attractorの 軌道の様子を明らかにしたい ある平面を軌道が通るようすを観察 規則性を見出す Lorenz Attractor 得られたポアンカレ切断面を解析し Lorenz Attractorの 軌道の様子を明らかにしたい Geometric model

Geometric model O 安定多様体 安定方向に潰される O Geometric model 原点周辺 （Saddle-point） Lorenz Attractorの ポアンカレ切断面 初期値

　軸方向の力学系 Parry map Geometric model William’s map

Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5

Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5

Lorenz Attractorの切断面 a=2,c=0.5

:Lorenz Attractorの切断面 Cantor set :Lorenz Attractorの切断面 　　　　常に　　方向全域に存在 どこで切ってもCantor setを形成 a=2,c=0.5

Lorenz Attractorの切断面 a=1.5,c=0.5

Lorenz Attractorの切断面 a=1.5,c=0.5

Lorenz Attractorの切断面 切る場所（ｘ座標）によっては Cantor setを形成しない a=1.5,c=0.5

William’s map William’s mapにおいて ★初期条件鋭敏性 ★位相推移性（l.e.o経由） 　を証明

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

William’s map Baker map 位相共役とは 限らない

Lorenz Attractorのポアンカレ切断面上に 方向に初期条件鋭敏性、位相推移性 Lorenz Attractorのポアンカレ切断面上に 初期条件鋭敏性 Lorenz Attractor は初期条件に鋭敏に 　　 依存することが示せた

まとめ Lorenz Attractor形成のメカニズム解明 ポアンカレ切断面上にCantor setを確認

以降　隠しファイル

非周期点

周期点の調査法

周期点の稠密性 周期　の周期点：

周期点の稠密性 周期　の周期点：

周期点の稠密性 周期　の周期点：

周期点の稠密性 周期　の周期点：

周期点の稠密性～parry map

数値シミュレーションによる初期条件鋭敏性 微小な距離間隔をもつ二つの初期値をとり、その軌道を観測 二点間の距離 微小な初期値の違いが時間経過と共に増大（初期値鋭敏性） 一定の距離以上離れることはない（有界性）

★初期条件鋭敏性とは（数学） は初期条件に鋭敏である

★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 　　上のどの２点（　　　）も、 必ずある　　より離れるような　　が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる

★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 　　上のどの２点（　　　）も、 必ずある　　より離れるような　　が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる

★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 　　上のどの２点（　　　）も、 必ずある　　より離れるような　　が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる

★初期条件鋭敏性とは 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 　　上のどの２点（　　　）も、 必ずある　　より離れるような　　が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる

★位相推移性とは（数学） は位相推移的である

★位相推移性とは 任意の集合　　　　　　を繰り返し変換すると、 やがては　　全体を動きまわる （　　中に重ならない集合はない）

★位相推移性とは 任意の集合　　　　　　を繰り返し変換すると、 やがては　　全体を動きまわる （　　中に重ならない集合はない）

★位相推移性とは 任意の集合　　　　　　を繰り返し変換すると、 やがては　　全体を動きまわる （　　中に重ならない集合はない）

★位相推移性とは 任意の集合　　　　　　を繰り返し変換すると、 やがては　　全体を動きまわる （　　中に重ならない集合はない）

★周期点が稠密とは（数学） ：集合（特に　　は周期点） （ただし、　　　　　の閉包） は稠密である

★初期条件鋭敏性とは(old) 上のどの２点（ ）も、 必ずある より離れるような が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 　　上のどの２点（　　　）も、 必ずある　　より離れるような　　が存在する 初期値のどんな小さな差異も、 変換を繰り返すとその差は一定以上に広がる

★位相推移性とは(old) 任意の集合　　　　　　を繰り返し変換すると、 やがては　　全体を動きまわる （　　中に重ならない集合はない）

Cantor setとは

カオス 初期条件鋭敏性 位相推移性 周期点の稠密性

以降　back up

線形化解析 平衡点 平衡点周辺に限り線形化解析が可能 時間 に依存せず、変化量0 Lorenz modelの平衡点 平衡点 線形化 時間 　に依存せず、変化量0 Lorenz modelの平衡点 （原点） 平衡点周辺に限り線形化解析が可能 （Hartmanの定理） 平衡点 線形化 元のモデル 線形モデル

分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable

分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体上 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在

分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 ホモクリニック軌道 原点を通る不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable Saddle-point 原点を通る不安定周期軌道 　増加 　減少 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point ホモクリニック軌道 初期値 原点の不安定多様体上

分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体上 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable Saddle-point 不安定周期軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point 初期値 原点の不安定多様体上

分岐図 時系列データ 不安定周期軌道 :Stable :不安定周期軌道 :Saddle-point

分岐図 :Stable :Saddle-point :不安定周期軌道 初期値 原点の不安定多様体の 周期軌道が存在 Stable

一次元リターンプロット L n l L ポアンカレ切断面 ポアンカレ切断面の一次元リターンプロット 　　と　　　の相関関係

有界性 楕円体 内積 楕円体　　上でモデルのベクトルは全て内側を指向 有界( 　:十分大)

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

初期条件鋭敏性

William’s mapの解析