事例研究(ミクロ経済政策･問題分析 I) - 規制産業と料金･価格制度 - (#403 - 複合選択分析(入子型Logit)) 2017年 12月 戒能一成

0. 本講の目的 (手法面） - 応用データ解析の手法のうち、離散型選択に 関連する複合選択モデル分析(多段階･多選択 肢）の概要を理解する （内容面) - 計量経済学･統計学を実戦で応用する際の 留意点を理解する

1. 複合選択モデルの概念 1-1. 複合選択モデルとは - 複合選択モデルとは、二項選択型など離散型選 択モデルが複数(多段階･多選択肢)で組合わさ れたモデルをいう ･ 経路選択 (ex. 東京･成田 → Geneva) ･ 耐久消費財購入 (ex. 住宅, 自動車) - 解法などは離散型選択モデルと共通しており 最大尤度法(Maximum Likelihood)が用いられる - 多くの場合目的に応じて構造が決定されるため 個別手法毎の事例はあまり多くない 3

- 条件付Logitモデル (Conditional Logit Model) 1. 複合選択モデルの概念 1-2. 複合選択モデルの種類 (基本形) - 条件付Logitモデル (Conditional Logit Model) - 多項式Logitモデル (Multi-nominal Logit Model) - 混在Logitモデル (Mixed Logit Model) 　　 (= ランダム変数Logitモデル (Random Var. L. M.)) (応用形) - 加法効用モデル (Additive Random Utility M.) - 多段階Logitモデル (Nested Logit Model) 　→ 何れのモデルでも、Logit を Probit に代えたものが 　　　　　 使われることがある 4

1. 複合選択モデルの概念 1-3. 複合選択モデルの要件 - 何れのモデルでも、選択に影響を与える因子が 説明変数として観察可能であることが必要 (選択肢毎に共通する因子, 異なる因子の識別要) - 多くのモデルにおいては、選択の対象である 選択肢が｢排反｣の関係にある(= 選択確率の和 が 1を超えない)ことが必要 ･ 結果が重複する場合でも｢独立な選択が複数 回行われた｣と仮定すれば解ける場合あり (ex. 別荘、自動車複数保有、携帯+スマホ) 5

2-1. 条件付Logitモデル Conditional Logit Model - 対象毎･選択肢毎に異なる説明変数のみで選択 2. 複合選択モデル(1) 基本形 2-1. 条件付Logitモデル Conditional Logit Model 　　- 対象毎･選択肢毎に異なる説明変数のみで選択 　　　結果が決定されていると仮定したLogitモデル Pｒ（yi=j) = exp(-zij･βij)/Σk(exp(-zik･βik)) i, j 対象i, 選択肢j　（Σk; 選択肢j 全部の和) (i=戒能, 経路選択肢(j ∈ 直行,北京経由,･･･) Pr(yi=j) 対象i の選択結果 yi が j である確率 [0, 1] zij 対象i の j に関する説明変数(ベクトル) (zij ∈ 運賃, 事故頻度,･･(←選択肢j毎に異なる）) βij 係数 6

2-2. 多項式Logitモデル Multi-nominal Logit Model - 対象毎に異なる(選択肢に共通した)説明変数の 2. 複合選択モデル(1) 基本形 2-2. 多項式Logitモデル Multi-nominal Logit Model 　　- 対象毎に異なる(選択肢に共通した)説明変数の みで選択結果が決定されていると仮定したLogit モデル Pｒ（yi=j) = exp(-zi･βij)/Σk(exp(-zi･βik)) i, j 対象i, 選択肢j （Σk; 選択肢j 全部の和) (i=戒能, 経路選択肢(j ∈ 直行,北京経由,･･･) Pr(yi=j) 対象i の選択結果 yi が j である確率 [0, 1] zi 　対象i の説明変数(ベクトル) 　　　　　　　　　 (zi ∈ 所得, 荷物個数 ･･･(← 選択肢ｊに共通)) β 係数 7

2. 複合選択モデル(1) 基本形 2-3. 混在Logitモデル Mixed Logit Model - 対象毎･選択肢毎に異なる説明変数と選択肢に 共通した説明変数が混在する形で選択結果が 決定されていると仮定したLogitモデル - 基本形の中で最も実用的であるため多用される (cf. 家計消費支出の価格効果･所得効果) Pｒ（yi=j) = exp(-zi･βij -z’ij･β’ij)/Σk(exp(-zi･ βik –z’ij･β’ik)) - モデルの選択には通常のAIC/BIC 最小化判定 による方法が適用可能 8

3. 複合選択モデル(2) 応用形 3-1. 加法効用モデル ARUM Additive Random U. M 3. 複合選択モデル(2) 応用形 3-1. 加法効用モデル ARUM Additive Random U. M. - 多段階での選択が単調増加(･減少)する効用関 数の大小関係で決定されていると仮定したモ デル (← 混在Logitモデルの一般化形) - 効用関数として線形･対数線形など様々な関数 形を用い、Logit関数の説明変数部分に当てはめ て分析を行う - 主に消費者選好の分析に用いられる Pｒ（yi=j) = exp(Uij)/Σk(exp(Uik)) Uij ; 単調増加(･減少)する効用関数 9

3. 複合選択モデル(2) 応用形 3-2. 加法効用モデル ARUM (2) - 加法効用モデルで用いる関数には、｢加法性が 成立する効用関数｣としての独特の制約条件あり ← 分析に入る前に、観察指標の選択確率を 用いて制約条件の成立を確認する必要有 a. ∀ Pr(U); 1 ≧ Pr(U) ≧ 0, Pr(U) = Pr(U+α) b. ∂ Prj(U)/∂Uk = ∂ Prk(U)/ ∂Uj c. ∂n-1 Prj(U) /Σn-1(∂ Un） ≧ 0 (n≠j) =∂n-1 Prj(U) /(∂ U１,･･･Uj-1,Uj+1,･･･Un） ≧ 0 10

3. 複合選択モデル(2) 応用形 3-3. 多段階Logitモデル Nested Logit Model (1) - 多段階での選択が階層構造(Nest)となっている 場合を仮定したモデル (McFadden(1978)) - 各段階の階層構造の対応関係や順序が予め 解っていることが分析の前提 (例) 東京→Geneva経路選択 （自 宅) [第1段: 出発空港] 成田 羽田 [第2段: 経由空港] 香港 Istanbul 香港 Istanbul 11

3. 複合選択モデル(2) 応用形 3-4. 多段階Logitモデル Nested Logit Model (2) - 当然ながら、同じ選択肢の組合わせであっても 階層構造が異なるモデルを分析すると異なる 結果が出る - 階層構造が異なる場合、各階層でのLogitモデル の結果からはAIC/BIC 最小化による判定は適用 できない - 従って、分析に用いる階層構造についてはミクロ 経済理論や補助情報などを用いて確定させる必 要あり 12

- 戒能教官の国連欧州本部出張(過去58回)の選 択確率(被説明変数)の実績は下記のとおりであ るが、教官の選択行動原理を推計せよ 4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-1. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(1) 　　- 戒能教官の国連欧州本部出張(過去58回)の選 択確率(被説明変数)の実績は下記のとおりであ るが、教官の選択行動原理を推計せよ (搭乗する時期が異なっている可能性に注意) 　　 　成田-香港　 成田-Istbl.　 羽田-香港 羽田-Istbl. 平均運賃 $ 7,700 6,600 7,000 5,800 平均時間 h 26.0 29.0 22.0 25.0 変動係数 hs 0.022 0.064 0.022 0.055 選択頻度 n 16 8 23 11 選択確率 p 0.276 0.138 0.397 0.190 13

- 経由地として｢香港｣が選択される条件付確率p は0.7程度であり、運賃より時間･遅延を優先して 4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-2. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(2) 　　- 経由地として｢香港｣が選択される条件付確率p は0.7程度であり、運賃より時間･遅延を優先して 　　　選択していると推定可 (出発地｢羽田｣ p～0.6) 　　　 → 第1段が経由地、第2段が出発地と｢仮定｣ 　　 　成田-香港　 成田-Istbl.　 羽田-香港 羽田-Istbl. 平均運賃 $ 7,700 6,600 7,000 5,800 平均時間 h 26.0 29.0 22.0 25.0 変動係数 hs 0.022 0.064 0.022 0.055 選択確率 p 0.276 0.138 0.397 0.190 ← 成田発 → ← 羽田発 → ← 0.667 → ← 0.677 → 14

4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-3. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(3) - 第1段｢経由地｣の選択に関するLogit分析(試行) (｢香港｣が選択される確率) ← ｢多重共線性｣により運賃･時間の併用不可 係数 p値 AIC . 運賃 PRS 0.003 0.000 39.01 時間 TME -0.612 0.001 58.83 - 運賃を主説明変数とすると論理的矛盾(係数が 正→高い方を選択!?)、説明変数を加えても同様 ← 運賃は｢結果｣であり｢原因｣でない可能性大 15

4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-4. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(4) - 第1段｢経由地｣の選択に関するLogit分析結果 (｢香港｣が選択される確率) AIC = 54.45 平均時間, 平均遅延時間, 割引額 . logit honk tme dtme dprs Logistic regression 　　 Number of obs = 58 　　　　　　　 LR chi2(3) 　 = 26.91 　　　　　　　 Prob > chi2 　 = 0.0000 Log likelihood = -23.22612 Pseudo R2 = 0.3668 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- honk | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------------------------------------------------------------- 時間 tme | -.5321302 .2066167 -2.58 0.010 -.9370915 -.1271688 遅延 dtme | -2.752288 1.53903 -1.79 0.074 -5.768731 .2641547 割引 dprs | -.0022341 .001131 -1.98 0.048 -.0044508 -.0000173 _cons | 11.84631 4.053961 2.92 0.003 3.90069 19.79193 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16

4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-5. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(5) - 第2段｢出発地｣の選択に関するLogit分析(試行) (｢香港｣選択の際に｢羽田｣が選択される確率) ← ｢多重共線性｣により運賃･時間の併用不可 係数 p値 AIC . 運賃 PRS -0.002 0.003 41.62 時間 TME --- --- --- - 時間を主説明変数とすると｢羽田｣出発の方が例 外なく時間が短いので条件付確率が定義できな いため利用不可 (“perfect prediction”) 17

4. 複合選択モデルの実践的応用例 4-6. 経路選択問題 (“駅馬車問題”)(6) - 第2段｢出発地｣の選択に関するLogit分析結果 (｢香港｣∧｢羽田｣の選択確率) AIC = 23.96 . logit hahk prs dprs Logistic regression Number of obs = 39 　　　　　　 LR chi2(2) 　 = 34.84 　　　　　　Prob > chi2 = 0.0000 Log likelihood = -8.9805136 Pseudo R2 = 0.6598 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- hahk | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+-------------------------------------------------------------------------------------- 運賃 prs | -.0105346 .003836 -2.75 0.006 -.018053 -.0030162 割引 dprs | -.018106 .0071239 -2.54 0.011 -.0320687 -.0041434 _cons | 81.65799 29.68843 2.75 0.006 23.46973 139.8463 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

5. 多段階Logitモデルの自己診断 5-1. 自己診断 Diagnosis (1) 1- ｢選択構造の妥当性｣の検証 　　1- ｢選択構造の妥当性｣の検証 最初に仮定した選択順序の妥当性は要検証 　　　　特に消去法的逐次選択の可能性に注意 (例: 最初にIstanbulを経由するか否かのみ決 定し、他の肢が次段で決定されている) 　　　　　　　(自 宅) (自 宅)　　　　･････　　　 (自 宅) 　　　　 成田　　　　羽田 香港　 Istanbul (それ以外) Istanbul 　　香港　　Istanbul 成田　　羽田 　　　羽田･香港　成田･香港 19

5. 多段階Logitモデルの自己診断 5-2. 自己診断 Diagnosis (2) 2- ｢多重共線性｣の検証 - Logit･Probitによる離散型選択モデルでは分布 形状が決まっており多重共線性が出やすい 1 選択確率関数 Pｒ (Di=1, zi’β) = 確率密度関数の積分値 措置群 (Di =1) 対照群 (Di =0) -∞ z0 (zi の平均) (ｚi – zo)’β/σ 説明変数 (zi-z0)’β Ｚi 20

5. 多段階Logitモデルの自己診断 5-3. 自己診断 Diagnosis (3) 3- ｢単純選択仮定｣の適用 (= データの性質が 解らないうちから”nlogit “を使わない) - 多段階Logitモデルでは、上位段に問題がある と下位段で正常な結果は導出できない - ｢選択構造仮定の妥当性｣の検証過程で、 上位段から順番に単純選択で解いてみるか、 問題が疑われる段の条件付確率を計算し 局所的に解いてみることが有効な場合有 - 最初から｢多段選択｣を試行し成功する例稀少 21