第３課 カラー ２００５年１１月７日 授業の内容は下のHPに掲載されます。 第３課　　カラー 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ２００５年１１月７日 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 輻射補正(Bolometric Correction) レーリー・ジーンズ近似(Rayleigh　Jeans Approximation)

３．１． 黒体輻射の式 温度Tの熱平衡にある、大きさL３＝Vの箱を考え、この箱の中の熱平衡輻射の強度 B（ν、T） を決めたい。Νは光子の振動数である。 ｎ（ν, Ω）＝周波数ν、進行方向Ωの光子の数密度、つまり、 ｎ（ν, Ω）ｄνｄΩｄV＝体積ｄV,周波数ｄν、方向ｄΩ（立体角） 　　　　　　　　　　　　　　　の範囲にある光子の数とすると、 B(ν,T)＝ｃ・ｈν・ｎ（ν, Ω）　である。 光子密度 ｎ は、量子状態の密度Dと各量子状態にある光子数ｓ（ｐ）の掛け算で決まる。 　　ｎ（ν、Ω）ｄνｄΩｄV ＝D（ν、Ω）ｄνｄΩｄV・<s(p)>＝光子数 以下では、まず<s(p)>、次にD（ｐ、Ω）を調べる。 ΔＰ ΔＸ Ｐ フォトンの量子状態はΔp3Δx 3= h3 毎に2（偏光）である。 Ｘ

まず、 与えられた量子状態に存在する光子の数<s>を調べよう。 ＜ｓ（ｐ）＞ まず、　与えられた量子状態に存在する光子の数<s>を調べよう。 ｃｐ＝ｈν　：　運動量ｐの光子一つのエネルギー　 Es=ｓｈν：　光子ｓ個のエネルギー 　　　 Ps　： その量子状態に光子がｓ個存在する確率 すると、<ｓ>=∑ｓ・Pｓ　 熱平衡のギブス分布は、Pｓ∝ exp(-Es/kT)=exp (ーｓｈν/kT)　 となるので、ΣPn=1の規格化を課すと、

この式を計算するため、ｘ＝exp(-hν/kT) とおく。 exp(-ｎhν/kT)＝ｘｎ なので、 （計算には下の二式を使った）

こうして、振動数νの光子の量子状態１つに存在する光子数の平均、 　<ｓ> ＝ 1／ [ exp (ｈν/kT)－１] であることが分かった。 D（ν、Ω） 次に、大きさL３＝Vの箱の中の光子の量子状態密度 D(ｐ, Ω)を考えよう。 一辺Lの箱の中の定常波と考えると、量子状態はΔ（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）＝１ 毎に２つ（光子の偏光があるため）存在する。　 したがって、箱の中の量子状態の数は、 ΔN=２・Δ｛（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）｝ 　　　　＝（２L３Δ｛（１/λｘ）（１/λy）（１/λz）｝ 　　　　＝（２V/ｃ３）・Δ｛（ｃ/λｘ）（ｃ/λy）（ｃ/λz）｝ 　　　　＝（２V/ｃ３） （Δν）３＝ （２V/ｃ３）ν２dΩｄν D(ν、Ω)＝ΔN/（V・Δν・ΔΩ）＝２ν２/ｃ３　　　

B（ν、T） D(ν、Ω)と＜ｓ（ν、T）＞が求まったので、 B(ν、Ω、T)＝ｃ・ｈν・ ｎ(ν、Ω、T) ＝ｃ・ｈν・ D(ν、Ω)・ ＜ｓ（ν、T）＞ を計算すると、 第１課　I（ν、Ω）のところでやったように、黒体輻射強度（Intensity）B（ν、T）は、温度Tの熱平衡輻射が、単位面積を通って、その法線方向に単位立体角、単位時間、単位振動数当たりに流れるエネルギー量という言い方もする。

３．２．黒体輻射の性質 ｄB=Bν（ν、T)ｄν＝Bλ（λ、T)ｄλでBλ（λ、T)を定義する。 （ｄν/ν）＝ （ｄλ/λ） したがって、 Bν（ν、T)・ν＝ Bλ（λ、T)・λ Bλ（λ、T)＝Bν（ν、T)・ν/λ＝（ｃ/λ２）Bν（ν、T)　なので、

Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ λＩ（λ） νＩ(ν) logλ logν Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点　＝　νとλが対称に扱える。 　（BlackbodyＢ(ν,T)に限らず Intensity 一般に通用するのでＩで話す） 例：　Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示では λＩ（λ） νＩ(ν) logλ logν

νＩν λＩλ logν logλ Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点 （２） 総輻射強度（total intensity）の計算 Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点　（２） 　　 総輻射強度（total intensity）の計算 dＩ= Iνdν= Iνν(dν/ν)=2.30 [Iνν] dlogν ＝ 2.30 [Iλλ] dlogλ νＩν λＩλ logν logλ 総輻射強度（total intensity）を概算する際には、 νＩν ＝λＩλ のピーク値にピーク幅を掛ければよい、 Δlogλ[λＩλ]max 、 ので便利。

Ｂ(T)=∫Bν(T,ν)dν= ∫Bλ(T,λ)dλ σ = 2π5k4/15h3c2 　　＝5.6696 10 ー8 W/m2/K4 = ステファンボルツマン係数 全輻射強度Ｂ(Ｔ）を黒体表面からの全輻射フラックスと混同しないように。 Intensity = (σ/π)T4 Flux = σT4

黒体輻射の数値表現 h=6.626×10-34 Js, 　　k=1.381×10-23 J/K, 　　ｃ＝2.998×10^8 m/s

B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われる。

黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わる。 B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ]なので、 黒体輻射のピーク 図に見えるように、ピーク位置波長はＢ（ν）が一番長い。 Ｂ（λ）が短く、Ｂ（λ）λが中間。 B(ν) B(λ) 　　B(λ)λ ＝[B(ν)ν] ピーク波長を求めるため、輻射強度を　ｘ＝hν/ｋT　で表す。 logλ

の極大に対応する。 数値的に極値を探した結果は以下のようになる。 ピーク波長（振動数）は、 （ｎ＝３，４，５） の極大に対応する。　数値的に極値を探した結果は以下のようになる。 ４ ３ ２ １ の解がピーク位置を与える ０ ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｘ 　　　　　　　　　　　　　　B(T,λ)　　　　　　νB(T,ν) ＝ B(λ)λ　　　　　　 B(T,ν) 　　 Fn(x) 　　ｘ5/[exp(ｘ)-1]　　　ｘ4/[exp(ｘ)-1]　　　　ｘ３/[exp(ｘ)-1] 　　ｘ　　　　　　　4.965　　　　　 　3.92　　　　　　　　　　　　　　 2.82 T4λμ 　　　　0.290　　　　　 0.367　　　　　　　　　　　　　　0.510 　

レーリー・ジーンズ近似　（ｈν/ｋＴ＜＜１） ウイーン近似　　（ｈν/ｋＴ＞＞１）

黒体輻射強度のグラフ表示 黒体輻射は同じ形 log B(T,ν）＝3・logT+F(logν－logT) の形をしているので、 logＴ+Δ logＴのBν（ν、Ｔ）のグラフは右図のように左図の曲線を平行移動したものである。 Ｂν（ν、Ｔ）のグラフが左図のようであるとき log Bν ３Δ logＴ log Bν Δ logＴ logν logν

黒体輻射のエネルギー密度 U ＝ （ ４ σ ／ｃ）T4 ＝ａ T4 エネルギー密度Ｕは、Ｕ＝∬ε（ν）ｎ（Ω、ν）ｄνｄΩから、 Ｕ＝４πＢ／ｃ 　　＝ （ ４π／ｃ）(σ/π)T4 　＝ （ ４ σ ／ｃ）T4 　＝ａ T4 a=8π５ｋ４/１５ｃ３ｈ３＝radiation density constant =7.5659 10-16 J/m3/K4

有効温度 Ｉ＝Ｂ（Ｔ） θ Ｌ＝∫σT4dＳ 黒体の壁からのフラックス ＝ ∫B(T)cosθdΩ ＝ πＢ(T） ＝ σT4

３．３．カラー フラックス⇒等級 フラックスの勾配⇒カラー Ｆ 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 　フラックス⇒等級 Ｆ フラックスの勾配⇒カラー 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν 近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、 Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。 λ１ λ２ 天文では等級の差、すなわちフラックス比の対数表示（カラー）を採用している。 カラー（ λ1 、λ2 ）＝ｍ（λ１）－ｍ（λ２） 　　　　　　　　　　 ＝－２．５ log[Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）]+２．５ log[Ｆo（ λ1 ）/ Ｆo（ λ2 ）]

カラーの表現 約束 カラー ｍ（λ１）－ｍ（λ２） では、λ１＜λ２ カラー　ｍ（λ１）－ｍ（λ２）　では、λ１＜λ２　 天文でよく使われるバンド：　　Ｂ＝ｍ（0.44μｍ）　　　　Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ）　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｏ（Ｂ）＝４０６３Ｊｙ　　　Ｆｏ（Ｖ）＝３６３６Ｊｙ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ 　　　　　　　　　　　　　　フラックス　 天体　　　　　　　　F(B　　)　　　　F(V)　 　　　　　　　　　　　　（Ｊｙ）　　　 　（Ｊｙ） 　シリウス　　　１.４９３ ×１０４ 　１.３５６ ×１０４ 　太陽　　 　　　１.１０２×１０１４　１.８０４×１０１４ ベテルギウス　　６６３　　　　　　　２３８０ 　　　　　　バンド　　　 カラー Ｂ　　　 Ｖ　 　 Ｂ－Ｖ 　 温度 　 色 －１.４３　 －１.４４　　０.０１　 ９４００　白 －２６.１０　－２６.７５　 ０.６５ 　５７８０　黄 １.９５ 　　０.４５ １.５０　 ３３７０　赤　　　　　　 一般に、天体の温度が高いと 　　（１）　短波長側のフラックスが大きい。 　　（２）　短波長の等級が小さい。　　 　　（３）　カラーが小さい

[Ｂ－Ｖ]BB＝-2.5 log[B（T,B ）/ B（T,V ）] +2.5 log[Ｆo（B ） /Ｆo（V）] （黒体輻射の）カラーと温度 このBはBバンドのB 黒体輻射のカラー 　[Ｂ－Ｖ]BB＝-2.5 log[B（T,B ）/ B（T,V ）] +2.5 log[Ｆo（B ） /Ｆo（V）] このBはB等級のB このBは黒体の輻射強度（プランク関数） Ｆo，Ｂ　を　ν表示で計算すると、 　Ｆo（ν＝B ）＝４０６３Ｊｙ，Ｆo（ν＝Ｖ）＝３６３６Ｊｙ 　B（T, ν）=1.3338 10 ７ T(K) 3 [ Ｘ3 / (expＸ- 1) ] Jy　　　 　　　Ｘ＝1.4388/λ（μ)/T4　　 λ（Ｂ) ＝０.４４　λ（Ｖ) ＝０.５５　　 T4 ＝Ｔ／１０,０００　　　　

したがって、 [Ｂ－Ｖ]BB＝－2.5 log[ｆ（ＸＢ）／ｆ（ＸＶ）]＋２.５ ｌｏｇ（４０６３／３６３６） 　ｆ（Ｘ）＝Ｘ３／［ｅｘｐ（Ｘ）－１］、　ＸＢ＝1.4388/ ０.４４ /T4、　　ＸＶ＝1.4388/ ０.５５ /T4 [Ｂ－Ｖ]BB=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.270/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]} Ｕバンド（λ＝０.３6μｍ）では、　 　　Ｆo（ν＝Ｕ ）＝１７９０Ｊｙ、　ＸＵ＝1.4388/ ０.３6 /T4 [Ｕ－Ｂ]BB＝ー2.5 log[ｆ（ＸＵ）／ｆ（ＸＢ）]＋２.５ ｌｏｇ（４０６３／１７９０） 　　　　　　=0.8９０+ 2.5 log{[exp(3.997/T4)- 1] / [exp(3.270/T4)- 1]} Ｔ→∞では、 Ｂν２ｋＴ（ν/ｃ）２＝２ｋＴ/λ２　なので、（レーリージーンズ近似） [B-V]BB=-2.5log10(0.55/0.44)2+2.5log10(4063/3636)＝-0.484+0.121=-0.363 [U-B]BB= -2.5log10(0.44/0.36)2+2.5log10(1790/4063)＝-0.436-0.890=-1.326 　　　　このように、高温極限ではカラーはー∞ではなく、有限の値でとまる。 T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT)　なので、（ウイーン近似） 　 [B-V]BB＝-2.5log10(0.55/0.44)３－2.5log10[-0.654/T4]+2.5log10(4063/3636) 　　　　[U-B]BB＝-2.5log10(0.44/0.36)３－2.5log10[-0.727/T4]+2.5log10(1790/4063) [B-V]BBも[U-B]BBも∞に発散する。

二色図 （Ｔｗｏ Ｃｏｌｏｒ Ｄｉａｇｒａｍ） 二色図　（Ｔｗｏ　Ｃｏｌｏｒ　Ｄｉａｇｒａｍ） 二つのカラーを縦軸、横軸にしたグラフを二色図と呼ぶ。その大きな特徴は、減光が無いとき、２色図は距離に依らないことである。 [U-B]対[B-V]二色図 B0V 左図ではU-Bの上がマイナスになっている。天文の習慣の１つである。 B-Vは黒体輻射と似て、温度が下がると大きくなる。 U-Bは１０００Kから７０００Kの間は温度が下がるとマイナス方向に小さくなる。 30,000 -1 U-B 1 10,000 6,000 A0V G0V 4,000 黒体輻射 主系列星 M0V 3,000 0 B-V 1 2

モデル　t=107 yr Z=0.02 （Bertelli 1994） 　　　　　　　　　　　　　AQ 2002 主系列星 K-M型主系列星 K-M型赤色巨星

３．４．色等級図 （color magnitude diagram) 縦軸に等級、横軸にカラーのグラフを色等級図と呼ぶ。 縦軸：log(L/Lo), logF 横軸：有効温度Te、log[F（ν１）/F(ν２)] などをとる場合も多い。 等級 HR図と呼ぶこともある。 カラー HR図と呼ぶこともある。 縦軸が示量性、横軸が示強性なので、天体の大きさ（R,L,M、Vなど）と 強度（T,ρ、ｖなど）を論じるには都合がよい。 二色図が示強性のカラーだけの図でしたがって距離に依存しないのに対し、 色等級図は縦軸が示量性で距離に依存する点に注意。

色等級図の例 （１）　最初の色等級図 　　縦軸＝絶対等級 　　横軸＝スペクトル型

（２）　ヒッパルコス衛星が 　　　観測した太陽近傍星 右下から斜めに延びるのが主系列。主系列の中ほどから上に赤色巨星枝が立ち上がっている。 この赤色巨星枝は老齢の小質量星であることが分かる。枝分かれ点がターンオフである。M=-1、V-I=1付近の塊が ターンオフの先に主系列が伸びているのは星形成が継続して続いた証拠である。

(3) バーデの窓（Baade’s Window）と太陽近傍星のレッドクランプ星 縦軸は絶対等級　MI 縦軸は見かけ等級　I バーデの窓のレッドクランプは太陽近傍よりも赤い。これは平均メタル量が高いためと考えられる。両者の等級差が距離指標(Distance Modulus)である。 Paczynski/Stanek 1998 ApJ 494, L219-222

（４）　銀極（左）と銀河中心（右）の２方向での赤外色等級図 銀極J-K＝０．４で垂直に立ち上がるのはTHICK DISKに属する色々な距離のレッドクランプ星。 銀河中心方向の色等級図は解釈が難しい。

３．５． 輻射補正 logλF(λ) 1 Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通 Ｂ型 暗い Ａ型 やや明るい Ｆ型 Ｆ型 明るい Ｍ型 Ｍ型 暗い ３．５．　輻射補正　 Ｆ＝ ∫Ｆ(λ)ｄλ＝共通 Vバンド logλF(λ) 1 B型 Ａ型 　Ｂ型　　　暗い 　Ａ型　やや明るい Ｆ型 　Ｆ型　　　明るい Ｍ型 　Ｍ型　　　暗い －１ －０．５ V ０ logλ(μ) 同じ総フラックス同士でＶ等級をくらべると、Ｆ３Ｖ型星が最も明るい。 そこで、Ｖ＝０のＦ３Ｖ星の輻射等級ｍＢＯＬ＝０と定めた。 すると、Ｖ＝０の星のｍＢＯＬは全て０より小となる。ｍＢＯＬ（Ｖ＝０）＝ＢＣと呼ぶ。

輻射補正BC (Bolometric Correction)は、下式で定義される。 mBOL = ｍV+BC ここに、 　　ｍBOL=見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude =-2.5log[∫F(λ)dλ/FoBOL]＝-2.5log(Ｆ/FoBOL) 　 ｍV=見かけV等級 Apparent V Magnitude FoBOL ： ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス＝２．５ １０－８　Ｗ／ｍ２ ＢＣは、ｍＶ　とカラー［Ｂ－Ｖ］(か温度Ｔ程度)の情報しかない天体の全フラックスを推定するために使用される。 黒体輻射に対する輻射補正ＢＣ ｍBOL＝ｍｖ＋ＢＣ　 　　　　ｍBOL=-2.5log[∫F(ν) dν/FoBOL]、　ｍｖ＝ -2.5log[Fｖ(ν) /FoＶ] ただし、　 F(ν) ＝ＢＢ（ν、Ｔ）　 ∫F(ν) dν ＝（σ/π）Ｔ４　　　 　　　　　　　　　　 Fｖ(ν) ＝３６３６Ｊｙ、　FoBOL ＝２．５ １０－８　Ｗ／ｍ２

ＢＣ＝ｍBOL－ｍｖ 　　　＝ -2.5log [∫F(ν) dν/FoBOL]　+　2.5 log [Fｖ(ν) /FoＶ] 　Fｖ(ν) ＝３６３６Ｊｙ、　FoBOL ＝２．５ １０－８　Ｗ／ｍ２　を代入して、

矮星のＴｅを上式に代入して求めたＢＣ（ＢＢ）を加えた表は以下のようになる。 Ｓｐ　　　　 Ｏ５　 B0 A0 F0 G0 K0 M0 M5 Ｔｅ 　　　42,000 30,000 9,790 7,300 5,940 5,150 3,840 3,170 BC (star) -4.4 -3.16 -0.30 -0.09 -0.18 -0.31 -1.38 -2.73　 ＢＣ（ＢＢ）　　-3.68 -2.73 -0.34 -0.12 -0.14 -0.26 -0.89 -1.64 M型、Ｏ型で　黒体輻射より大きい補正が必要とされるのは、それぞれのスペクトルピーク付近（Ｍ型では近赤外、Ｏ型では紫外領域）でＢＢより大きいフラックスを持つことを示唆している。

大マゼラン雲（ＬＭＣ）方向の近赤外色等級図を示す。破線領域の縦に伸びた指は、銀河系内の星、Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ の系列はＬＭＣの赤色巨星枝である。 問題３　２００５年１１月７日　　　　　　　　　　　提出　３Aまたは３B １１月１４日　　　　　　　　 大マゼラン雲（ＬＭＣ）方向の近赤外色等級図を示す。破線領域の縦に伸びた指は、銀河系内の星、Ａ－Ｂ－Ｃ－Ｄ の系列はＬＭＣの赤色巨星枝である。 星は黒体輻射と仮定する。 　点　　　Ｊ－Ｋｓ　　　Ｋｓ 　Ａ　　　　０．８　　１４．０ 　Ｂ　　　　１．２　　１１．１ 　Ｃ　　　　１．９　　１０．２ 　Ｄ　　　　３．７　　１１．２　 バンド　波長（μｍ）　Ｆｏ（Ｊｙ）　 　　Ｊ　　　１．２１５　　１６３０　 　　Ｋｓ　　２．１５７　　　６６７ ＬＭＣまでの距離は８０Ｋｐｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ

３A．　黒体輻射のカラー [J-Ks] が、温度Tの関数として下の式で表わされることを 　　　　示し、グラフとして図示せよ。 　　　　その図と全ページの [J-Ks] から　Ａ、Ｂ，Ｃ，Ｄ　の温度　Ｔ（Ｋ）　を推定せよ。 （Ｊ－Ｋｓ） ３B．　A,B,C,Dの見かけ輻射等級ｍBOLと、星間減光＝０としたときの光度L/Lo 　　　　を求めよ。