Large N reduction on group manifolds　and a novel non-perturbative formulation of supersymmetric gauge theories 土屋麻人（静岡大） 　 「第2回A01班研究会」＠KEK　2010年2月15日 川合光氏（京大)、島崎信二氏（HRI）との共同研究 arXiv:0912.1456, 1002.2308 本多正純氏（総研大）、石井貴昭氏（阪大）、伊敷吾郎氏 （CQUeST）、Sang-Woo Kim氏（KEK)、西村淳氏（KEK)

Introduction Large N reductionの基本的主張 Eguchi-Kawai (’82) 概念的に重要　　行列の自由度からの時空の出現 実用上 重要　 ラージNゲージ理論の非摂動的定式化　　 　　　　　　　　　　特に超対称ゲージ理論。　超対称性を最大限に保てる。 今までflat space-timeで調べられてきた。 S3への拡張、特にN=4 SYM on RxS3の非摂動的定式化　 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) 曲がった時空への拡張 　　　行列模型における曲がった時空の記述　cf.)Hanada-Kawai-Kimura(’06) 　　　flat space-timeでの実用上の問題点を解決 ここでは、一般の群多様体およびcoset空間上で成り立つことを示す。 　　 通常large N reductionは運動量空間で説明されるが、実空間で再考すること　　　　　 によりこの拡張が簡単になる。bi-local field theoryとしての解釈。

目次 Introduction Bi-local field theory interpretation of reduced model Large N reduction on group manifolds Large N reduction for N=4 SYM on RxS3 and the AdS/CFT duality Summary and outlook

Bi-local field theory interpretation of reduced model

Scalar phi^3 theory on Rd Action : NxN エルミート行列 Propagator Vertex Planar (’t Hooft) limit

Scalar phi^3 theory on Rd (cont’d) Free energy at the two-loop level Planar Non-planar suppressed

Large N reduction Rule : Rd上の関数の空間に作用するエルミート演算子 : 座標基底 Reduced model

Large N reduction (cont’d) UV and IR cutoffs 運動量のカットオフ Λを導入し、　　　　　とおく Rd　上の関数の空間　 N次元ベクトル空間 が一様に分布 　　を対角化する基底をとる 実空間の体積 (実空間は N個の体積 のセルに分割) : NxN エルミート行列

Reduced model as a bi-local field theory Change of variables

Perturbative expansion in real space Propagator 両端はparticleとして伝搬する 相対座標　　　　　は保存する 両端は平行移動される Vertex

Free energy at the two-loop level Planar

Free energy at the two-loop level (cont’d) Non-planar planar diagramに比べて 1/V2でsuppressされる

Correspondence b/w reduced model and original theory Limit in reduced model reduced modelはoriginal theoryのplanar極限を再現する Free energyの対応 相関関数の対応

Large N reduction on Torus Td トーラスの体積Vが有限　　　　1/Vによるsuppressionがない とおき、運動量のカットオフ　　　　　　　を導入 トーラス上の関数の空間　　　n次元ベクトル空間 n次元ベクトル空間と k次元ベクトル空間のテンソル積空間を導入 テンソル積空間の次元: N=nk はテンソル積空間に作用 Reduced modelでの極限 Non-planar diagramは1/k2以上でsuppressされて、reduced model はoriginal theoryのplanar極限を再現する

Large N reduction for gauge theory Apply the rule to the field strength Reduced model of YM theory YM理論の０次元への次元還元 は　　のbackgroundと解釈される Backgroundは０次元 massless 場によって不安定 quenching SUSYと両立しない ! Bhanot-Heller-Neuberger (’82) Gross-Kitazawa (’82)

Large N reduction on group manifolds

Notes on group manifolds Lie group G: コンパクト連結リー群 : Gのリー環の基底 : G上の関数の空間の座標基底 Left and right translations 左移動 右移動 G上の関数　　　　　　に対して

Notes on group manifolds (cont’d) Killing vectors 右不変キリングベクトル 左移動の生成子 右移動の生成子 左不変キリングベクトル 交換関係 微分演算子として

Notes on group manifolds (cont’d) Invariant 1-forms 右不変1形式 左不変1形式 Maurer-Cartan equation Right and left invariant metric 両側不変 Haar measure 両側不変 体積

Notes on group manifolds (cont’d) Example: SU(2)=S3 S3のisometry オイラー角 右不変キリングベクトル 右不変1形式 両側不変計量 S3の半径2 Haar測度

Scalar phi^3 theory on G Scalar phi^3 theory on G : NxNエルミート行列、各要素はG上の関数 GxG対称性をもつ Propagator right G対称性をもつ Vertex

Large N reduction on G Rule G上の関数の空間とk次元ベクトル空間のテンソル積空間を考える : テンソル積空間に作用するエルミート演算子 Reduced model 省略

Reduced model as a bi-local field theory : G上のbi-local kxk matrix field Change of variables Haar測度は不変

Perturbative expansion Propagator Haar measureのもとでのデルタ関数 flat spaceのときと、同じ構造をもつ 摂動展開はflat spaceのときと、並行に進む 理論がright G対称性を持つ ＝微分をすべて　　で書いたときラグランジアン密度に陽な座標依存性がない Large N reductionはG上で成り立つ

UV regularization G上の関数の空間はGの正則表現の表現空間と同一視される Peter-Weylの定理 rはGの既約表現をラベル : r表現での　　の表現行列 : r表現の次元 UVカットオフ　　の導入し、　　　　　　　　　　　　を定義　　　　　　　　　　　　 rの和を　 に制限 GxG対称性を保つ

Correspondence b/w reduced model and original theory 作用 GxG対称性をもつ : NxNエルミート行列 G上の関数の空間～n次元ベクトル空間 パラメータ 全体の行列のサイズ セルの体積 極限 Free energyの対応 reduced modelはoriginal theoryのplanar極限を再現する 相関関数の対応 に対して

Example: G=SU(2)=S3 SO(4)=SU(2)xSU(2)を保つ正則化 極限

Another background for S3 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) S3~S2上のS1束 : S2上の運動量カットオフ : S1上の運動量カットオフ SU(2)を保つ正則化 極限 Universality？

Another background for S3 (cont’d) (I,J) block of the fluctuation around the background I (I,J) J Action of SU(2) on the (I,J) block irreducible decomposition (I,J) tensor product of spin jI and spin jJ representations basis ~ fuzzy spherical harmonics

Another background for S3 (cont’d) S3は局所的にはS2xS1、大局的にはS2上の非自明なS1束。 S1方向のKK展開より得られるS2上のKK モードのKK運動量は整 数または半整数。これはモノポール磁荷と同一視できる （cf.)Diracの量子化条件）。 　KK運動量ｑのKKモードはモノポール磁荷qのmonopole harmonics(Wu-Yang)で展開される。 モノポール磁荷qのmonopole harmonicsの許されるモノポール 磁荷は　　　。 　 なので、(I,J) ブロックはKK運動量(I-J)/2のKK モードとみなせる。Cf.)(i,j)成分の運動量は 。 　　　　より、S1方向の運動量のカットオフは　　。　　 はS2上の角運動量のカットオフとみなせる。

Another background for S3 (cont’d) Fuzzy spherical harmonicsはmonopole harmonicsの正則 化とみなせる。　がカットオフ。 　SU(2)の作用の対応。積の対応。積分とトレースの対応。 k→∞極限により、プラナーの寄与のみが残り、 fuzzynessは取り除かれ、Fuzzy S2からふつうのS2へ。　 S3とS2の間のlarge N reductionも成立する。 結局、違うタイプのS3上のlarge N reductionが成立する。 因みに正則表現のとき スペクトラムは理解できる

Gauge theories on group manifolds ゲージ場1形式を展開し、Maurer-Cartan equationを使う YM action Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) Reduced model backgroundを吸収 YM actionの次元還元 　　　　　　は古典解

Gauge theories on group manifolds (cont’d) 随伴表現の物質場に対しても同じ吸収 次元還元 ゲージ対称性 Gが半単純なら理論はmassive、摂動展開の全次数でbackgroundは安定 他の古典解へのtunnelingは　　　　　でsuppressされる quenchingなどのremedy必要なし。ただ、backgroundの周りで展開するだけ ゲージ対称性とSUSYとGxG対称性を保つ正則化

Large N reduction on coset spaces H: Gの部分リー群 G/H H G/H上の理論を得るための拘束条件 理論はright G対称性をもつ large N reduction成立 Reduced model ゲージ場についても同様 例　　S4=SO(5)/SO(4)上のゲージ理論 体積∞極限でR4上の理論？

Chern-Simons-like theories on group manifolds Reduced model の周りで展開 coset space上でも同様 G=SU(2)の場合、S3上のpure Chern-Simons theoryになる をとったとき、分配関数やunknot Wilson loopの期待値のplanar limitを再現することを陽に示せる。 Ishiki-Shimasaki-A.T. (’09)

Large N reduction for N=4 SYM on RxS3 and the AdS/CFT duality

AdS/CFT correspondence Maldacena (’97) N=4 SU(N) super Yang-Mills theory Type IIB superstring on AdS5xS5 identification of parameters : ’t Hooft coupling : string coupling : radius of AdS5 and S5 symmetry SU(2,2|4) (32 supercharges) super conformal symmetry in 4D ’t Hooft limit (planar limit) String loop correction suppressed correction suppressed SUGRA approximation is good Large ’t Hooft coupling

From R4 to RxS3 Conformal mapping S3の半径2 N=4 SYM on R4 at a conformal point N=4 SYM on RxS3

N=4 SYM on RxS3 10次元のnotationで PSU(2,2|4)対称性 （32 supercharges） Reduced model 時間方向は連続 plane wave matrix model (Berenstein-Maldacena-Nastase (’02))の形 SU(2|4)対称性　（16 supercharges）

Background ゲージ対称性とSU(2)xSU(2|4)を保つ正則化 保っているSUSYの数最大

Deconfinement transition at finite T Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. (’08) 有限温度の弱結合極限では時間方向のホロノミー以外のすべてのmassive modeの積分ができる。得られたホロノミーに対する有効理論を解析的、数値的に調べることができる。 known results for N=4 SYM on RxS3 in the weak coupling limit Aharony-Marsano-Minwalla-Papadodimas- Van Raamsdonk (’03)) 1st order phase transition ~Hawking-Page transition

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops Locally BPS Wilson loop in N=4 SYM Maldacena (’98) λが大きいとき重力側で C Sは極小局面の面積 AdS5の境界 Corresponding Wilson loop in the reduced model 　　は　　または　　の周りで展開

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops (cont’d) 重力側の予言と一致 Circular Wilson loop ( globally half-BPS) R4 large R4でファインマンゲージ+planar ladder近似 Erickson-Semenoff-Zarembo (’00) conformal mapping localization Pestun (’07) R RxS3 S3 grand circle Reduced modelでR4におけるファインマンゲージに相当する ゲージをとり、planar ladder近似を適用すると上の結果を再現する Ishiki-Shimasaki-A.T. 数値シミュレーションで再現→formulationの検証

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops (cont’d) Honda-Ishiki-Nishimura-A.T. Rectangular Wilson loop (non-BPS) W-boson potential R4 λが小さいときゲージ理論での結果 Erickson-Semenoff-Zarembo (’00) reduced modelで再現 λが大きいとき重力側からの予言 Maldacena (’98) 数値シミュレーションで再現→AdS/CFTの非自明な検証

Testing AdS/CFT duality: chiral primary operators Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. Chiral primary operator half-BPS traceless symmetric reduced modelでは Correspondence free limitで確認 Tests of AdS/CFT 2点、3点については非くりこみ定理 例えば4点non-extremal を数値シミュレーションで求めることにより、 AdS/CFTの非自明な検証ができる

Summary and outlook

　　まとめ 群多様体上でlarge N reductionが成立することを示した。 SU(2)＝S3のとき、もうひとつのlarge N reduction。 coset空間上の理論に対してlarge N reductionは成立す ることを示した。 群多様体上およびcoset空間上のChern-Simons-like theoryを構成し、そのreduced modelを与えた。 N=4 SYM on RxS3のlarge N reductionを用いて、 AdS/CFT対応の検証を提案した。 展望 非コンパクトの場合 一般の多様体　 N=4 SYMの数値シミュレーション、解析的手法の開発　　　　　　　　　 重力、弦理論