確率論の基礎 「ロジスティクス工学」 第3章 鞭効果 第4章 確率的在庫モデル 補助資料 確率論の基礎 「ロジスティクス工学」 第3章 鞭効果 第4章 確率的在庫モデル 補助資料 東京商船大学 久保幹雄
標本空間，事象，確率 標本空間（sample space)：何か試行（ランダムさを加味した実験）をしたときの結果の集まり．たとえば，コインを投げたときの{表，裏}，サイコロを１回振ったときの出る目の数{1,2,…,6} ． 事象（event)：標本空間の部分集合．たとえば，サイコロを投げたときに偶数の目がでる事象は{2,4,6} となる． 確率（probability)：事象の起きやすさを表す0以上1以下の値をとる関数．P{A}が事象Aが起きる確率．P{標本空間}=1，共通部分をもたない事象A,Bの和の起きる確率=P{A}+P{B}を満たす．
確率変数，期待値，分散，標準偏差 確率変数（random variable)：標本空間の各点に対して定まる実数値関数．たとえば，コインを投げたときに表が出れば100円，裏が出れば50円もらえるときの金額．サイコロを振ったときの目の値． PX(x)=P{X=x}：確率変数Xが実数値xをとる確率 期待値（expected value）： 分散（variance)： 標準偏差（standard deviation)：
期待値，分散の計算 W,V=aW+b が確率変数，a,b が定数のときE[V]=E[aW+b]=aE[W]+b よって
共分散 PX,Y(x,y)=P{X=x,Y=y}：同じ標本空間で定義された確率変数X,Yがそれぞれ実数値x,yをとる確率 共分散(covariance)： Ｘ，Ｙ，S=X+Yが確率変数のとき
平均と分散の推定 独立な観測値 X1,X2,・・・,Xn 平均の推定値＝ （X1＋X2＋・・・＋Xn ）/n
その理由（期待値をとる）
確率過程 確率過程：時刻の集合 T に対して定められた確率変数 Xt の集合 株価の推移，為替相場の推移，需要の変化などを表すための数学モデル 例：前期との相関(共分散を標準偏差で割ったもの）ρをもつ需要過程 平均 0, 標準偏差σの独立な分布
期待値 E，分散 Var 鞭効果の解析的モデルにおける需要過程
共分散 Cov DtとDt-1 の共分散 分散を代入して変形 DtとDt-2 の共分散 分散を代入して変形 以下同様の計算によって，一般式
正規分布 平均μ，標準偏差σの正規分布 N(μ,σ２) の確率密度関数（連続な確率変数Xが[x,x+dx]の間の値をとる確率）は， Gauss（ガウス）分布ともよぶ．どんな（有限分散の独立な）分布でも，たくさん足すと（中心極限定理より），近似的に正規分布として扱える．
累積分布関数 平均μ，標準偏差σの正規分布 N(μ,σ２) の累積分布関数（連続な確率変数Xが[-∞,x]の間の値をとる確率）は， Excelによる表現 FX(x) =NORMDIST(x,μ,σ,TRUE) TRUEは1 fX(x) =NORMDIST(x,μ,σ,FALSE) FALSEは0 F-1(p)=NORMINV(p, μ,σ) 累積分布関数の逆関数 -> 平均μ,σの正規分布が確率pでx以下になるxの値