千葉大学 理学部数学・情報数理学科 松井宏樹 非周期的なタイル張りについて 千葉大学 理学部数学・情報数理学科 松井宏樹
タイル張り（タイリング tiling） 多角形などの図形を重ならないよう に配置し、平面を隙間なく敷き詰める こと。
ペンローズタイリング（Penrose tiling） 周期的でないタイル張りの代表例
各辺が色で塗られた正方形を色付き正方形と呼ぼう。
色付き正方形を並べて、平面をタイル張りすることを考えよう。 ただし、隣り合う辺は必ず同じ色で塗られていないといけない、としよう。 ←こんな並べ方ならOKだが こっちは駄目→ 正方形を、回転させたり、裏返したりするのは禁止！！
何種類かの色付き正方形の組み合わせが、ひとつ与えられたとする。 この例だと、 5色を使った４種類の色付き正方形 この４種類の色付き正方形だけを使って、平面全体をタイル張り出来るだろうか。
実はこの例だと、どんなに頑張っても平面全体をタイル張りすることは出来ない、という事がわかる。 使えるタイル a b c d d b d a b a b c a b 実はこの例だと、どんなに頑張っても平面全体をタイル張りすることは出来ない、という事がわかる。
このパターンを繰り返せば、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来る！！ 使えるタイル a b c d c a b b c a a b c このパターンを繰り返せば、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来る！！
？？？？ 問題 （１９６１年 Hao Wang） 最初の例では、平面全体をタイル張りすることは出来なかった。 2番目の例では、平面全体を周期的にタイル張りすることが出来た。 問題 （１９６１年 Hao Wang） 「平面全体をタイル張りすることは可能だが、周期的にタイル張りすることは不可能である」というような、色付き正方形の組み合わせは存在するだろうか？ ？？？？
答えは………？ 存在する！！ すなわち、平面全体をタイル張りすることは可能だが、決して周期的にはタイル張りすることは出来ない、というような色付き正方形の組み合わせが存在する。 １９６６年 Robert Berger 20426種類の色付き正方形 １９９６年 Karel Culik １３種類の色付き正方形
１９９６年にCulikが発見した、13種類からなる色付き正方形の組み合わせ
宿題 1次元空間（つまり、ただの直線）の場合に今の問題を考察せよ。 色付き線分による、直線の「タイル張り」
おしまい