確率と統計2008 平成20年12月4日(木) 東京工科大学 亀田弘之

復習

はじめにデータありき ５ ９ ２ ８ １ ６ １ １ ４ ２ ７ 社会調査や実験の実施 により得られる

データを全体として眺めるとき，集団として何らかの性質を持っている． ＝＞統計的性質 この性質（分布の様子）を例えば，(算術)平均・中央値・モードなどのいわゆる代表値や，分散・標準偏差・範囲(range)などで数値的に捕らえた． 定義や計算方法が重要． 統計ソフトの利用も考えよう．

統計ソフトウェア EXCEL：お手軽？ R：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS：本格的なソフトウェア（有償） 参考情報 統計ソフトウェア EXCEL：お手軽？ R：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS：本格的なソフトウェア（有償） SAS：本格的なソフトウェア（有償） GnunPlot・Maximaなども便利 （いろいろと学んでください．）

基本的な統計量 平均 中央値 モード 最大値・最小値 範囲 分散 標準偏差　など

平均 定義 ： m =(x1 + x2 + ・・・+Xn)÷n 意味：データ群の中心 考え方：データ群の中心で，データ群 　　　　を代表させる．（代表値） 特徴：量 の最小値を与える点． 　　（基準点としてふさわしい）

中央値 定義：データを大きさの順に並べたときに 中央にくるデータ値． 意味：順序的観点から真ん中辺り． 定義：データを大きさの順に並べたときに 　　　中央にくるデータ値． 意味：順序的観点から真ん中辺り． 考え方：順序的観点から中庸を捉えている． 　　　　真ん中辺りを代表値とする． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 　　　量 　　　の最小値を与える点．

モード 定義：度数（出現回数）がもっとも 多いデータ値． 意味：多数派がデータ群を代表する． 考え方：度数の多いもの程重要． 定義：度数（出現回数）がもっとも 　　　多いデータ値． 意味：多数派がデータ群を代表する． 考え方：度数の多いもの程重要． 特徴：飛び離れ値に影響されない． 　　　代表値として素直な定義．

データの散らばりも大切 分散 標準偏差 範囲

範囲（レンジ） 定義：R = 最大値 ー 最小値 考え方：データの存在範囲 （すべてのデータはこの 範囲内にある） 考え方：データの存在範囲 　　　　（すべてのデータはこの 　　　　　　　　　　範囲内にある） 特徴：計算が簡単 　　　（工場などで実用されている）

分散 定義： 考え方：「各データの平均mからのずれ」に着目して，その平方数の平均を求め，データ全体の散らばりを捉える． 特徴：数学的に取り扱いやすい．

標準偏差 定義：分散の平方根（√分散） 考え方：分散をもとに，データと同じ 次元の量にする． 考え方：分散をもとに，データと同じ 　　　　次元の量にする． 特徴：データに対して，足したり 　　　引いたりすることができる．

以上で，得られたデータ群の特徴をとらえることができるようになった．

さて，…

知りたい対象（母集団） 母集団 ４ ３ １ ５ １ ６ ７

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 無作為抽出

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 統計的分析

標本 母集団 ４ ５ １ ３ １ ５ ３ １ １ ６ ７ 統計的推論

抽出法 無作為抽出法： どのデータも等確率で抽出されるようなサンプリング法．どの単純事象も等確率で取り出される抽出法．Laplaceの確率の定義参照．高校で習った確率の定義でOK． 詳しく知りたい人は，社会調査法などの勉強をしてください．（データは適切に集めなければ，分析しても意味がない．サンプル数の決め方なども重要です．）

分析法 統計的推定 統計的検定 　この授業では「モデルに基づく分析」を主に取り扱っているが，近年モデルに基づかない分析法も重要になっている．（例：データマイニングの分野）

統計的推定 点推定 区間推定 信頼区間 信頼限界 　興味のある人は，教科書p.136～p.142を参照のこと．

統計的検定 この授業では，まず，これを学んで欲しいと思っています． （理由：とにかく役に立つから． 　　　　そして，なれないと結構 　　　　難しいから．）

仮説検定の考え方 前提： 方法論： 調査や実験によりある事実Eが得られた． この事実からあることを主張したい． （これを仮説という．） モデルを仮定する（仮説設定：帰無仮説H0） その仮説が正しいとして，事実Eの生起確率pを計算する． pの値が異常に小さければ，仮説H0を棄却する． （誤謬法の考え方）

検定の考え方の例 実験：サイコロを600回振ったら，１の目が180回出た（事実E）． 主張したいこと：１の目が出やすい． 仮説の設定：どの目も等確率で出る． Eの生起確率pの計算： p≒0 判断：出易い． 計算方法と判断の基準の理解が重要

(重要)確率分布の相互関係図

例題（教科書p.163例１） 　ある市役所ではこれまで数年間銘柄Aの電球を購入していたが，銘柄Bの電球の方が価格が安いのでBへの切り替えを考えている．銘柄Bのセールスマンは自社の製品が品質においてAの製品と同じであると主張している．数年間の経験によれば，製品Aの平均寿命は1180時間で，標準偏差は90時間であった．

製品Bのセールスマンの主張をテストするため，その銘柄の電球100個を正規販売店から購入して試験をした．この結果，m=1140,s=80が得られた．電球の品質の尺度として平均寿命時間を考えるとすれば，どう結論すべきか？

問題の整理 事実：製品Bのm=1140,s=80 製品Aのm=1180,s=90 知りたいこと：Bの方が劣っている． 仮説：AとBは品質的に同等． 確率の計算：Bのデータの生起確率pを，平均μ=1180,分散σ2=90の母集団からの抽出として計算する． 危険率（有意水準）αを設定する． Α＝１０％とする．

確率の計算をしてみよう

理論的根拠（１） 標本平均の平均mは母平均と等しい． 標本平均の分散σm2は母分散のｎ分の１倍．(nは標本の大きさ) つまり， E(m) = μ E(σm2)=σ2/n

理論的根拠（２） ｘが平均μ，分散σ2 の任意の分布に従うとき，大きさｎの無作為標本に基づく標本平均mは，ｎが限りなく大きくなるとき，平均 μ，分散 σ2 /n の正規分布に近づく． 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 教科書p.130 定理２

計算 標本平均の分散： 90/√100 = 9 標準化： Z = (1140 – 1180) / 9 = -40/9 = -4.4 標準正規分布表（教科書p.295 表IV）： 　Zがー∞～－4.4の範囲の値をとる確率は，p≒0．

判断 確率p≒０ < 0.1 (10%) ． おきにくい事が起きたのではなく，仮設が間違っていると考えて，仮設を捨てる． 最終結論：有意水準10％において， 　　　　　銘柄BはAよりも劣っている．

コメント 確率の計算方法を理解するためには，数学の勉強が必要であるが，検定をすることが目的の場合，基本的考え方と手順をしっかりとマスターすればよい． 理論的なものは，必要に応じて，必要になったものだけを一生かけて勉強してください．

χ2検定 いろんな場面で使えて便利な検定法． （先ほどのサイコロの例を再び取り上げてみる．）

１の目が出る回数 他の目が出る回数 実測値A １８０ ４２０ ６００ 理論値B １００ ５００ (A-B)2/B 64 64/5 合計 ７６．８ 自由度φ= ２－１＝１

結論：有意水準１％のもとで，１の目は出やすい． χ2 = 76.8 ＞　χ02 = 6.6(有意水準1%) 結論：有意水準１％のもとで，１の目は出やすい． 手法は異なっても結論は同じ

２つの平均の差の検定 先の電球A，Bの品質の差の問題を再度取り上げる．これは２つの平均同士に差があるかどうかの検定と考えることもできる．これを「２つの平均の差の検定問題」という． 教科書p.172～p.176

定理 x1,x2がそれぞれ独立に平均μ1,μ2，標準偏差σ1,σ2の正規分布に従うとき，変数x1-x2 は 平均 μ1ーμ2, 標準偏差 σx1-x2 = √(σx12+ σx22) = √(σ1/n1 + σ2/n2) の正規分布に従う．

Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線の面積を求めると，表VIより，p≒0 結論：AとBの平均の差は同じではない． 計算： 変数x1-x2は， 平均 = ０ 標準偏差 = √（90*90/100 + 80*80/100） = 12 の正規分布に従う． Z＝(1140-1180)/12=-40/12=-10/3=-3.3 Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線の面積を求めると，表VIより，p≒0 結論：AとBの平均の差は同じではない．

コメント 「２つの平均の間に差があるのか？」はしばしば問題となるので，この検定方法は役に立つ． ただし今の場合，母分散σ1,σ2が既知である．これらが既知でない場合はもう一工夫が必要となる．（t検定を導入する必要がある．）

練習問題

Problem1 さいころを180回投げて、１の目の出る確率が28回以上、34階以下である確率を求めよ。

ヒント B(n,p)の二項分布は、nが十分大きければ、平均np, 分散np(1-p)の正規分布で近似できる。 N(μ, σ2)の正規分布は、標準化変換 Z = (X – μ)/σ により、標準正規分 N(0, 1)に変換される。

Problem2 １つのさいころを120回投げたら以下のようになった。このさいころは正しく作られているか？ 有意水準5%で検定せよ。 目の数 １つのさいころを120回投げたら以下のようになった。このさいころは正しく作られているか？　有意水準5%で検定せよ。 目の数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 合計 出現回数 １９ ３１ １７ ２３ １１ 120

Problem3 ある町で無作為に選ばれた618名に対して、とある伝染病の予防接種の効果を調べたら、以下のようになった。この予防接種は有効といえるか？有意水準5%で検定せよ。 罹病　　　健康 　合計 予防接種した 予防接種せず 　４　　　３５４ 　９　　　２５１ 　３５８ 　２６０ 　　　計 １３　　　６０５ 　６１８