ミクロ経済学第9回 企業と費用２：費用最小化

生産関数のグラフ　(立体図） 2 2

生産関数を二次元で表したのが等生産量曲線 Y=3 Y=2 Y=1

今日やること ０．前回の復習： 等生産量曲線 １．技術的な限界代替率 ２．等費用曲線 ３．費用最小化 4 4

技術的な代替率 等生産曲線上で、どちらかの生産要素を増やす（減らす） ⇒生産量を一定に保つには、もう一方の生産要素をどれだけ減らせば（増やせば）よいか LのKに対する代替率 ＝　Kの減少分　÷　Lの増加分 ＝　Lの増加1単位あたりKをどれだけ減らせるか ＝　KをLの増加分の何倍減らせるか 5 5

技術的な（平均の）代替率 労働の資本に対する（平均の）代替率 ＝ 資本の減少分÷労働の増加分 資本 資本の減少分 等生産量曲線 労働の増加分 6 6

技術的な限界代替率 労働の資本に対する技術的な限界代替率 ＝労働を限界的に増加させたときの平均代替率 ＝|（その点での）等生産量曲線の接線の傾き| 資本 等生産量曲線 労働 7 7

増やす？ 減らす？ 労働の限界代替率 労働が限界的に1単位増えたとき生産量を一定に保つためには資本をどれだけ減らせばよいか 増やす？　減らす？ 労働の限界代替率 労働が限界的に1単位増えたとき生産量を一定に保つためには資本をどれだけ減らせばよいか 労働を限界的に1単位減らしたとき生産量を一定に保つためには資本をどれだけ増やせばよいか 労働の変化分を０に近づければどちらでも同じ （瞬間の傾きを求める＝微分する）

投入量と限界代替率 原点に対して凸の等生産量曲線では、労働が増えると労働の（技術的な）限界代替率はどうなる？ 資本 資本少し、労働たくさん ⇒労働を増やしても、資本を少ししか減らせない 労働の限界代替率減 ⇔|傾き|　減 労働少し、資本たくさん ⇒労働を増やすことで、資本をたくさん減らせる 労働 9 9

技術的な限界代替率＝限界生産の比率　１

技術的な限界代替率＝限界生産の比率　２ 11 11

今日やること ０．前回の復習： 等生産量曲線 １．技術的限界代替率 ２．等費用曲線 ３．費用最小化 12 12

生産要素の調達 企業は生産要素を料金を払って市場で借りて生産を行う 労働者を人身売買するのではなく、労働者に一定時間働いてもらって賃金を払う 資本を買うのではなく、資本を借りてそれにレンタル料を払うと考える レンタル料や賃金は生産要素市場で決定されると仮定　（後期に詳しくやります）

等費用曲線（曲線じゃないけど） 生産に要する費用が等しくなる生産要素投入量の組み合わせ 横軸にL、縦軸にKをとってグラフを描いてみよう 生産にかかる総費用をCとすると、　C=wL+ｒK 　これをKについて解くと、　K=C/ｒ-(w/ｒ)L 　等費用曲線は切片C/ｒ、傾き-w/ｒの右下がりの直線 例題） 資本１単位のレンタル価格が１、労働１単位の賃金が２のときの等費用曲線を描きなさい 14

等費用曲線からわかること 等費用曲線はtrade-offの関係を表している 等費用曲線の傾き ＝ -ｗ/ｒ = （費用を一定に保つためには）労働投入量Lを1単位増やすために減らさなければならない資本投入量Kの量 消費者にとっての予算線と似ているが、生産者の場合、費用がいくらになるかあらかじめ決められているわけではない ⇒費用に応じて無限にたくさん等費用曲線がかける 15 15

今日やること ０．前回の復習： 等生産量曲線 １．技術的限界代替率 ２．等費用曲線 ３．費用最小化 16 16

費用最小化 資本の1単位当たりのレンタル率をｒ、労働1単位当たりの賃金(wage)をｗとする 資本レンタル率と賃金は市場で決定（各企業にとって所与） 　「生産量をY０にするという制約条件のもとで、費用を最小化する資本投入量Kと労働投入量Lをもとめよ」

費用最小化と等生産量曲線 等生産量曲線： Y=Y0 生産量Y0を生産するために費用を最小化する資本と労働の投入量を選ぶ 等生産量曲線より左下の点 　⇒　生産量が足りない 等生産量曲線より右上の点 　⇒生産要素の投入量を減らせば費用減　（作りすぎ） 　⇒費用最小化点ではない ⇒費用を最小化する点はY=Y0の等生産量曲線上にある 等生産量曲線： Y=Y0 18

主体的均衡点 Y=Y0 生産量Y0を達成しながら費用を最小化する点 ≝主体的均衡点 ＝等生産量曲線と等費用曲線の 接点 これ以外の等生産量曲線上の点は、より高い費用に対応する等費用曲線と交差 19

等生産量曲線と等費用曲線の交点は費用最小化点ではない Y=Y0 △では等生産量曲線と等費用曲線が交差 同じ等費用曲線上にあるので、 △点と○点での費用は同じ ○より左下の点、例えば◇は、生産量Y0を達成しながら費用は△より少ない ⇒△は費用最小化点では　ない 20

限界メリット＝限界デメリット 主体的均衡点では等生産量曲線の傾き(-ΔK/ΔL）と等費用曲線の傾き（-w/r）が同じなので 　　労働の限界代替率＝ｗ/ｒ 労働の限界代替率：　労働を1単位増やすとき、生産量一定で資本をどれだけ減らせるか 　　→労働を増やすことの限界メリット ｗ/ｒ ：　労働を1単位増やすとき、費用を一定に保つには資本をどれだけ減らさなければならないか　　　 　　→労働を増やすことの限界デメリット ⇒主体的均衡点では、限界メリット＝限界デメリット 21

限界生産均等の法則 費用を最小化しているなら、1円当たりの限界生産が等しくなるはず 22

消費者と生産者の主体的均衡点 消費者： 効用最大化 生産者： 費用最小化 与えられた予算で効用を最大化するように消費を決定 消費者：　効用最大化 生産者：　費用最小化 与えられた予算で効用を最大化するように消費を決定 各財の価格と所得から予算線がかける 予算線に接する無差別曲線をかく 接点が均衡点 与えられた生産量で費用を最小化するように投入量を決定 生産量に対応する等生産量曲線がかける 等生産量曲線に接する等費用曲線をかく 接点が均衡点 23

宿題(提出の必要なし） 資本投入量をK、労働投入量をLとすると、ある企業の生産関数がY=2KLだとします。資本一単位あたりの資本レンタル率が500円、労働一単位あたりの賃金率が1000円であるとします。 （１）10000円の総費用に対応する等費用曲線のグラフを描きなさい。 （２）生産量が100のとき、費用を最小化する資本投入量と労働投入量をそれぞれ求めなさい。 （３）（２）において、労働の資本に対する技術的な限界代替率を求めなさい。 24