3次元での回転表示について.

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3次元での回転表示について

最初に 計測データは3次元のベクトルである。 ベクトルとは スカラとは 物理的な意味は方向と大きさ。 記述上は複数の要素(スカラ)を並べたもの。 例)(1,2,3) ※3次元の場合。 スカラとは 数字としての大きさを指す。

ベクトルのスカラ倍 ・方向が同じで大きさがスカラ倍 k倍 a k*aで表される。

ベクトルの和 a+bを表現する 赤い直線はaとbを足したものと等しい a+b b a

ベクトルの内積(1) ベクトルの長さについて aの長さは|a|で表すことができる。 b a=(a,b,c)とすると |a|= θ(なす角) ※直角三角形の定義から求められる。 a a・b=|a|・|b|・cosθ Σaj・bj とも表すことができる。 ※aとbの各要素をかけた総和・・・理由は次頁

ベクトルの内積(2) b c θ a ∴ 一般的に、内積 a・b=|a|・|b|・cosθ= Σaj・bj ベクトル化し、c = a-bとすると、 |c|^2=|a| ^2 +|b| ^2 -2・|a|・|b|・cosθ 左辺=(ax-bx)^2+(ay-by)^2+(az-bz)^2 右辺=(ax^2+ay^2+az^2)+(bx^2+by^2+bz^2)-2・|a|・|b| ・cosθ ∴ |a|・|b| ・cosθ=ax・bx+ay・by+az・bz b c θ a ∴ 一般的に、内積 a・b=|a|・|b|・cosθ= Σaj・bj

回転表示について(1) Z ←モニタ(動座標) y z x Y 静止座標 X ここで静止座標と動座標の相互変換が必要になる。 =点群 モニタ内の x=画面の横方向 y=画面の縦方向 z=画面の垂直方向 x Y 静止座標 =点群 X ここで静止座標と動座標の相互変換が必要になる。

回転表示について(2) 変換の方法 一般的にはロール・ピッチ・ヨー角が使われているのでこれを使用する。 ロール・ピッチ・ヨー角を用いた3次元座標変換法 オイラー角を用いた3次元座標変換法 一般的にはロール・ピッチ・ヨー角が使われているのでこれを使用する。

回転表示について(3) ロール・ピッチ・ヨー角とは 船に例えると ヨー角 z xは船の進む方向 yはxに垂直な方向 ピッチ角 y

変換式 (X,Y,Z)=(x、y、z)・[M] 動座標から静止座標への変換 = [M]・ 静止座標から動座標への変換

動座標から静止座標への変換 z P=x ・ i + y ・ j + z ・ k P P(X、Y、Z)=(x,y,z)・ y 回転行列[M]

静止座標から動座標への変換 P(X、Y、Z)=(x,y,z)・ を転置すると = ・ 左から回転行列を乗算すると ・ = ・ ・ = i j k P(X、Y、Z)=(x,y,z)・     を転置すると x y z X Y Z =     ・ i  j k 左から回転行列を乗算すると i j k i j k x y z x y z X Y Z x y z ・   =   ・     ・   = X Y Z i  j k ∴   = [M]・

回転行列について 回転行列はα、β、γで表すと [M]= となる 理由を以下の3ページに示します Sα=Sinα Cα=Cosα -Sγ Cγ 0 0   0  1 Cβ 0 –Sβ 0  1  0 Sβ 0  Cβ 1  0  0 0 Cα Sα 0 –Sα Cα [M]= となる Sα=Sinα Cα=Cosα 理由を以下の3ページに示します

X軸で回転 Z Z’ Y’ α α Y X i’ j’ k’ 1  0  0 0 Cα Sα 0 –Sα Cα i j k =

Y軸で回転 Z’ Z’’ Y’ X’ X’’ = Cβ 0 –Sβ 0 1 0 Sβ 0 Cβ i’’ j’’ k’’ i’ j’ k’ β 0  1  0 Sβ 0  Cβ i’ j’ k’ =

Z軸で回転 Z’’ Y’’’ Y’’ X’’ X’’’ = Cγ Sγ 0 -Sγ Cγ 0 0 0 1 i’’’ j’’’ k’’’ 0   0  1 i’’ j’’ k’’ =