超幾何分布とポアソン分布 超幾何分布 ポアソン分布
超幾何分布(Hypergeometric distribution) 定義：母集団がN個の要素を持ち、ある属性を持つ要素がそのうちM個あるとする。この母集団からn個の要素を取り出したとき（非復元抽出）、その属性を持つ要素がx個含まれている確率が超幾何分布で表される。 N:母集団の要素の数 M:ある属性を要する要素の数 n=標本の大きさ
超幾何分布の確率関数 確率関数 範囲： M/N=pとすれば 期待値： 分散：
超幾何分布と二項分布の関係 P=M/Nを一定に保ちつつ、Nを大きくすれば、超幾何分布は二項分布に近づく。 と書き直すと
超幾何分布と二項分布の関係 ところが したがって
練習問題１ (p87) 山にいる猿500匹のうち、100匹に標識をつけてから自然に返されてある。いま山から猿を５匹取ったとき、そのうち標識が付いた猿が0匹である確率はどれくらいか。また、1匹の場合はどれほどか。 [解説] ここで、N=500,M=100,n=5として計算すると、0匹である確率は
練習問題2 20 個の飴が入った箱があるとする。20 個のうち 8 個は赤色で、12 個は黄色である。この箱から 4 個の飴を無作為に抽出するとき、その中の 1 個が赤色である確率を求めよう 解答：
ポアソン分布(Poisson distribution) ｎが大きいが、Pが小さいとき、Xの確率分布を二項分布から求めることは困難である。 定義 パラメータと期待値と分散 二項分布とポアソン分布の比較
定義 npが→λとなるように、n→∞のとき、p→０となった極限では、各ｘについて → が成り立つ。 → が成り立つ。 この分布をポアソンと呼び、Po(λ）で表す。 eは自然対数の底で、e＝2.71828・・・・
証明：
超幾何分布とポアソン分布 P=M/Nが小さく、ｎが大きいとき、超幾何分布は次のようにポアソン分布で近似することができる。
ポアソン分布の パラメータ、期待値、分散 パラメータ：λ=np 期待値： 分散：
二項分布とポアソン分布の近似（１）
二項分布とポアソン分布の近似（２）
二項分布と超幾何分布とポアソン分布の関係
例題：P103,③ 解説：2時間の間に釣った魚の数Xはλ=np=2×2=4のポアソン分布に従う。 ① ②
解説 ③ 参考：