確率と統計 メディア学部２００8年後期 No.3 平成20年10月16日（木）

前回の内容 データ解析の演習 度数分布表の作成 ヒストグラムの作成

今日の内容 データ解析 度数分布表の作成（復習） ヒストグラムの作成（復習) グラフの分析 （データの）代表値 （データの）散らばり

新生児６０人の体重（１９９８） 表. 新生児の体重 (1998年） 単位はグラム

度数分布表の作成 最大値=____， 最小値=___ 範囲R=最大値－最小値 区間数k=____ 区間幅h=____ 最大値=____，　最小値=___ 範囲R=最大値－最小値 区間数k=____ 区間幅h=____ 最小値と最大値とを勘案して、区間の両端を決める。

新生児の体重（1998年） 体重(g) 人数 ～2000 2000～2400 3 2400～2800 14 2800～3200 16 3200～3600 3600～4000 7 4000～4400 4 4400～4800 2

ヒストグラム

グラフに関する考察（思考実験） データの個数ｎをどんどん増やすと 区間の幅ｈをどんどん小さくすると 棒グラフがどんどん高くなる 度数がゼロの区間がなくなっていく 区間の幅ｈをどんどん小さくすると 棒グラフがどんどん低くなる 度数がゼロの区間が増えていき、ほとんどの区間で度数がゼロ、あっても１になる。

グラフに関する考察（思考実験） ｎを増やすとともにｈを減らしていくと．．． ヒストグラムがある形状に落ち着く！ これは統計的性質の１つ。 （大数の法則）

集団としての特徴値（代表値） いろんなグラフを比べてみよう！ （正規分布、賃金分布、双峰分布など）

いろいろなグラフ

集団構造の記述 調査や測定により得られるデータの集まりに対して、その集団の構造(特徴）を端的に表現する指標（代表値）を求めることを、集団構造の記述という。 平均（平均値）はその代表例。

平均値 例（身長のデータ）： データ群A = {167, 150, 161, 158, 164} データ群B = {169, 174, 160, 165, 172} 　　　　(単位：cm) 150 155 160 165 170 175 cm

平均値の数学的定義 平均m = (x1 + x2 + x3 + … + xn)÷n

いろいろな代表値 算術平均 （いわゆる平均のこと） モード (mode) 中央値 (Median)

ここまでのまとめ

記述統計学 まず、データ(data)ありき データの分析 以上により、データ全体の様子（分布の形状）が 視覚的・感覚的にわかる。 全体を眺める 整列（ソート）する 度数分布表の作成 => どんな値が何個あるのか？ ヒストグラムの作成 => よりvisualな表現へ 分布曲線（ヒストグラムの概形）を求める => 数式表現可能 以上により、データ全体の様子（分布の形状）が 視覚的・感覚的にわかる。

記述統計学 まず、データ(data)ありき データの分析 以上により、データ全体の様子（分布の形状）が 視覚的・感覚的にわかる。 全体を眺める 整列（ソート）する 度数分布表の作成 => どんな値が何個あるのか？ ヒストグラムの作成 => よりvisualな表現へ 分布曲線（ヒストグラムの概形）を求める => 数式表現可能 以上により、データ全体の様子（分布の形状）が 視覚的・感覚的にわかる。

ポイント 個々のデータ１つ１つに目を奪われることなく （データを）全体的にとらえる （データの）集団としての特徴をとらえる ことがポイント。 データの集団としての特徴を数値的にとらえられないか？ 代表値という考えが生まれる。

代表値 例： データ：　｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データの個数 n=

代表値 例： データ：　｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データの個数 n=12 それでは、簡単に分析してみよう！

例： データ： ｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} 個数 n=12 合計 T=48 データ値 個 数 データ：　 ｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} 　　　個数　n=12 　　　合計　T=48 表．度数分布表 データ値 個 数 （度数） 小 計 1 2 3 9 4 8 5 6 12 7 合 計 n=12 T=48 図．ヒストグラム

ヒストグラム 図．ヒストグラム

特徴を分析してみよう データの重心（平均） m = (データの合計)÷（データの個数） = T / n = _____

モード（最頻値） 出現頻度が一番多いのはどれ？ Mode= _____

最大値maxと最小値min max = _____ min = _____

大きさの順番に並べたとき、真ん中にあるデータの値が中央値 今の場合、med = _____ 3 ? 4 ? 中央値（median） データ：　｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} 　大きさの順番に並べたとき、真ん中にあるデータの値が中央値 　今の場合、med = _____ 3 ? 4 ? 左から６個目 右から６個目

中央値（median） データ：　｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} 　大きさの順番に並べたとき、真ん中にあるデータの値が中央値 　今の場合、med = (3 + 4)÷2 = 3.5

分析結果 例： データ： ｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データの個数 n = 12 データ：　｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データの個数 n = 12 （算術）平均 m = 4 <= 代表値 モード（最頻値） mode = 3 <= 代表値 中央値(メディアン） med = 3.5 <= 代表値 最大値 max = 8 最小値 min = 1

例２： データ: {-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18} データの個数 n = （算術）平均 m = <= 代表値 モード（最頻値） mode = <= 代表値 中央値(メディアン） med = <= 代表値 最大値 max = 最小値 min =

例２： データ: {-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18} データの個数 n = 12 （算術）平均 m = 4 <= 代表値 モード（最頻値） mode = 3 <= 代表値 中央値(メディアン） med = 3.5 <= 代表値 最大値 max = 18 <= 分布の位置 最小値 min = -9 <= 分布の位置

例１と例２のデータの比較 例１： ｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データ数 n = 12 平均 m = 4 モード mode = 3 中央値 med = 3.5 最大値 max = 8 最小値 min = 1 例２ ： {-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18} データ数 n = 12 平均 m = 4 モード mode = 3 中央値 med = 3.5 最大値 max = 18 最小値 min = -9 分布が異なっているにもかかわらず、代表値は同じ！ => 何がいけないのか？

平均が同じでも分布の形状が違う例 O

平均が同じでも分布の形状が違う例 データの重心（平均）が同じでも、 データの散らばり方が違っている！ => 散らばりを定式化してみよう！

散らばりの定式化 アイデア１： データの存在範囲 範囲(range) R = 最大値 – 最小値

アイデア１ 範囲(range) R = 最大値 ー 最小値 長所： 短所： 単純（計算が楽） ２個のデータしか利用していない。

アイデア２ 平均からのズレの総和Sの平均 長所 短所 平均mから各データがどれだけズレているかが偏差。 偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n) 偏差の和　S = (x1 – m) + (x2 – m) + … + (xn – m) 　　 = 0 <= いつも必ずゼロ 偏差の和の平均 mean of S = S÷n = 0 <= いつも必ずゼロ 長所 すべてのデータの情報を利用 短所 いつもゼロになり意味がない。

アイデア3 平均からの距離の総和Sの平均 長所 短所 各データの平均からの距離 D = | di | = | 偏差 | 偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n) S = | x1 – m | + | x2 – m | + … + | xn – m | 偏差の絶対値の平均（平均偏差M.D.） = S÷n 長所 すべてのデータの情報を利用 短所 数学的取り扱いが大変（どうやって絶対値をはずす？）

アイデア４ 平均からの距離の二乗の総和Sの平均 長所 短所 各データの平均からの距離 D = | di | = | 偏差 | 偏差 di = xi – m (i=1,2,3, … , n) S = (x1 – m) 2 + (x2 – m) 2 + … + (xn – m)2 距離の自乗の平均 = S÷n 長所 すべてのデータの情報を利用 数学的に取り扱いやすい 短所 計算が大変？ <= コンピュータを利用すればOK! 解釈は？(データｘやｍと、Sの次元がちがう！)

分散と標準偏差 分散S 2 = {(x1 – m) 2 + (x2 – m) 2 + … + (xn – m)2}÷n 標準偏差S = √ S 2 (分散の平方根) （短所の２番目を配慮して平方根をとった。）

散らばり 以上のような経緯により、データの散らばりの尺度として、 などが用いられる。 標準偏差S <= 一般によく利用される。 範囲R <= 工場等でよく利用される。 平均偏差M.D. <= これも利用されることが ある。 などが用いられる。

平均の考え方の重要性 データ{xi | i=1, 2, 3, …, n} 平均 m = (x1 + x2 +…+ xn)÷n 分散： xi から (xi – m)2 を作り出し、この平均を求めている。

例１と例２のデータの比較 例１： ｛1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8} データ数 n = 12 平均 m = 4 モード mode = 3 中央値 med = 3.5 最大値 max = 8 最小値 min = 1 分散 例２ ： {-9, -7, -4, -1, 3, 3, 4, 6, 8, 12, 15, 18} データ数 n = 12 平均 m = 4 モード mode = 3 中央値 med = 3.5 最大値 max = 18 最小値 min = -9 分散 分布が異なっているにもかかわらず、代表値は同じ！ => 散らばりも考慮しよう！

おまけ http://www.stat.go.jp/　の左下にある「統計学習サイト」をクリックすると「How to 統計」のページが出てきます。そを参考に、自習 することをお勧めします。特に、世の中に どのような統計データが収集・公開されて いるのかを知ってください。（統計学習も経験の積み重ねが大切。）