確率と統計 メディア学部2009年 2009年11月26日（木）

今日は若干盛りだくさんです。頑張りましょう！ 確率と統計2009

これまでの内容（復習） 統計学の構成 記述統計学 （確率） 推計学（数理統計学） データの整理（効果的な表・図の作り方） 推計学（統計的推論）の基礎 推計学（数理統計学） 推定・検定など 確率と統計2009

統計学の構成 記述統計学 確率の基礎 推計学（数理統計学） 確率と統計2009

1. 記述統計学 データ解析の演習 基本統計量： その他 EXCEL 平均・中央値（メディアン）・最頻値（モード） 分散・標準偏差 確率と統計2009

定義（１） 確率と統計2009

定義（２） 確率と統計2009

問題 分散の定義は次の２つがある。 これら２つの定義の使い分けを 説明しなさい。 確率と統計2009

回答例 分散とはそもそも「データの散らばり具合」を知るための指標である。そこで、定義1では「各データの偏差(基準点からのずれ)の二乗」の平均でもってデータの散らばりを捉えようとしている。一方、定義2では、「各データの偏差の二乗の総和（散らばりの総量）」を自由度で割ることでデータの散らばりを捉えようとしている。 確率と統計2009

E(s2)はσ2の不偏推定値である。教科書P.124-125. 回答例（続き） なお、定義2の方は、数学的に母分散の良い推定値になっているので、統計的推論の際には積極的に使われている。 （注）「良い推定値」とは次の式が成り立つことをここではいう。 E(s2)はσ2の不偏推定値である。教科書P.124-125. 確率と統計2009

証明 自力で証明を考えてみよう。難しければ自分で本などを調べて、ここにまとめておこう。将来のために．．． 確率と統計2009

2. 確率の基礎 確率の定義 確率の計算 試行・標本点ω・標本空間Ω・事象・確率関数 加法定理・互いに素 乗法定理・独立性 ベイズの定理(事後確率) その他 確率と統計2009

3. 推計学（数理統計学） 推定 検定　など 確率と統計2009

標本平均mの性質（重要） 大きさｎの標本から求めた標本平均mの 「平均（期待値）と分散」は、次の性質を持つ。 E(m) =μ V(m) = σ2/n （標本平均mの分散は、母分散σ2の1/n。） 確率と統計2009

標本分散s2の性質（重要） 大きさｎの標本から求めた標本分散s2の 平均は、次の性質を持つ。 E(s2) =σ2 （注） E(s) =!=σ 確率と統計2009

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確率と統計 (続き)

確率と統計2009

今日の内容 推定と検定（続き） 確率と統計2009

推定 推定とは、標本のデータを利用して（標本の分析を通じて）、母集団に関するパラメータ（母平均や母分散など）の値を推測すること。 確率と統計2009

Probability & Statistics 2009 推測 知りたい対象 （未知な調査対象） 得られたデータ （分析可能） 調査 記述統計 確率（sampling） 確率（推定・検定） Probability & Statistics 2009

推定（標本が１つのとき） （事実）標本の平均がm （結論）母集団の平均の推定値　　は = m 確率と統計2009

推定（標本が２つのとき） （事実）標本の平均がm1とm2 （結論）母集団の平均の推定値 は =(m1+m2)/2 確率と統計2009

推定（標本がn個のとき） （事実）標本の平均がm1,m2, …, mn （結論）母集団の平均の推定値 は （結論）母集団の平均の推定値 は 　 = (m1 + m2 + …+ mn ) / n 確率と統計2009

推定(一般に) （事実） 標本の平均がｍ 標本の標準偏差がσ （結論）母集団の平均の推定値 はm、 　（その誤差は ） 確率と統計2009

検定 こちらの方も実用上重要。 ゆっくりと導入しましょう。 理解できるまで何度も読み返し、考えてください。 （ここからの話は、１つの思想です。） 確率と統計2009

サイコロ実験 サイコロAとBとをそれぞれ１００回ずつ 投げたところ以下のようになった。 サイコロA： 偶数４０回 奇数６０回 サイコロB： 偶数３０回 奇数７０回 AもBもサイコロはただしく作られているか？ 確率と統計2009

問題をもっと単純にして解説する。 サイコロを５個投げる。 確率と統計2009

目（偶）の出方は以下の通り： (場合１) 偶０回-奇５回： 奇-奇-奇-奇-奇 (場合２) 偶１回-奇４回： 偶-奇-奇-奇-奇 (場合１)　偶０回-奇５回：　奇-奇-奇-奇-奇 (場合２)　偶１回-奇４回：　偶-奇-奇-奇-奇 (場合３)　偶２回-奇３回：　偶-偶-奇-奇-奇 (場合４)　偶３回-奇２回：　偶-偶-偶-奇-奇 (場合５)　偶４回-奇１回：　偶-偶-偶-偶-奇 (場合６)　偶５回-奇０回：　偶-偶-偶-偶-偶 確率と統計2009

P0 =(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = (1/2)5 = 1 / 32 (場合１)　偶０回-奇５回：　奇-奇-奇-奇-奇 の生起確率を計算してみる。 ＝＞乗法定理を用いる。 P0 =(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2) = (1/2)5 = 1 / 32 確率と統計2009

(場合３) 偶２回-奇３回： 偶-偶-奇-奇-奇 個々の系列の生起確は(1/2)5 。 個々の系列は同時には起きない（互いに排反）。 (場合３)　偶２回-奇３回：　偶-偶-奇-奇-奇 ○ ○ X X X ○ X ○ X X ○ X X ○ X ○ X X X ○ X ○ ○ X X X ○ X ○ X X ○ X X ○ X X ○ ○ X X X ○ X ○ X X X ○ ○ 個々の系列の生起確は(1/2)5 。 個々の系列は同時には起きない（互いに排反）。 ＝＞　加法定理 従って、（場合３）全体の生起確率は P2 = 10× (1/2)5 となる。 確率と統計2009

目（偶）の出方は以下の通り： (場合１) 偶０回-奇５回： P0 = 1× (1/2)5 確率と統計2009

疑問：「５回中２回偶数が出た。 偶数の目は出にくい？」 疑問：「５回中２回偶数が出た。 偶数の目は出にくい？」 これを調べる方法を「検定」という。 それでは、検定してみよう。 確率と統計2009

検定（考え方） 【仮説設定】検定したい事柄に対して 「仮説H」を立てる。 【確率計算】　仮説Hが正しいものとして、着目して 　　　　　　　　 いる出来事の生起確率Pを計算する。 【判断・結論】　 Pの値が極めて小さい ＝＞普通では起きないことが起きた。 ＝＞何かが変だ。 ＝＞「仮説Hが正しい」としたことがいけない。 ＝＞仮説を棄てる。 Pの値が特に小さくない ＝＞起きてもおかしくないことが起きた。 ＝＞特に何も結論なし。（新たな知見なし） 確率と統計2009

極めて小さい値として、習慣的に5%(0.05)や1%(0.01)、10%(0.10)がとられる。 ＜＝特に根拠なし。 極めて小さい値として、習慣的に5%(0.05)や1%(0.01)、10%(0.10)がとられる。　 ＜＝特に根拠なし。 　　(3%や7%でもいいが、習慣に従おう） このような値を、「有意水準」あるいは 「危険率」という。 ＝＞この意味は後で検討する。 確率と統計2009

検定(実行例１) 事実：「５回中、偶２回、奇３回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。 仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が２回以下の確率を求める。 P = P0+ P1+P2 = (1+5+10)×(1/2)5 　= 16 / 32 = 1 / 2 ３．P = 0.5 > 0.1 ４．仮説は棄却されない。 確率と統計2009

検定(実行例２) 事実：「５回中、偶１回、奇４回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。 仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が１回以下の確率を求める。 P = P0+ P1 = (1+5)×(1/2)5 　= 6 / 32 = ３ / １６ = 0.2 ３．P = 0.2 > 0.1 ４．仮説は棄却されない。 確率と統計2009

検定(実行例3) 事実：「５回中、偶0回、奇5回」 検定課題：「偶の目が出にくい」 検定の有意水準を決める。ここでは10%とする。 仮説H：「偶奇ともに等確率」 偶数の目が０回以下の確率を求める。 P = P0 = 1×(1/2)5 　= 1 / 32 = 0.03 ３．P = 0.03 < 0.1 ４．Hは棄却される。偶奇の目の出方は等確率ではない。偶の方が出にくい。 確率と統計2009

有意水準あるいは危険率 ＊有意水準１０％の意味： 検定を行うと、結論として、 という２つの結論のいずれかを下すことになる。 仮説Hを棄却する 確率と統計2009

検定における判断の問題点 仮説Hは 本当は正しい 仮説Hは 本当は誤り 仮説Hを棄却する 正しいのに棄却 正しい判断 誤りなのに棄却しない （注）第一種の過誤、第二種の過誤 確率と統計2009

１００回中１０回は誤った判断をしていることになる。 有意水準１０％で仮説を棄却するとき、 １００回中９０回は正しい判断をしているが、 １００回中１０回は誤った判断をしていることになる。 ＝＞これ以降は、データ解析例でさらに勉強してみましょう。 確率と統計2009

確率と統計2009

母集団と標本の関係 無作為抽出 母平均μ 母分散σ2 標本平均m 標本分散s2 推測 確率と統計2009

推定と検定 推定： 検定： 適当な統計量を選び、現実の標本から計算した それの現実値をたよりにして、母集団の未知母数 に関し、ある程度、信頼のおける命題をたてること。 検定： あらかじめ母集団の型や母数の値を仮定し、現実 のデータがどの程度この母集団からの標本とみな せるか決定すること。 母集団について知る 母集団と標本の関係を知る 確率と統計2009

検定 母集団と標本の関係 ？ 無作為抽出 母平均μ 母分散σ2 標本平均m 標本分散s2 ホントにこの母集団の標本？ 確率と統計2009

検定の例 問題１ ある人がコインを投げ、表の出た回数と裏の出た回数とを調べたら、表が２２０回、裏が１８０回であった。 　ある人がコインを投げ、表の出た回数と裏の出た回数とを調べたら、表が２２０回、裏が１８０回であった。 　これだけの事実から、このコインは歪みなく作られているといえるか？ 確率と統計2009

考え方(No.1) コインを無限回投げなければ、表と裏の出る確率が等しいことはいえないのではないか？ ー＞ 無限回投げることは無理！！！ ー＞　無限回投げることは無理！！！ ー＞　何も結論できないのだろうか？ 確率と統計2009

考え方(No.2) 次のように考えてみよう！ もし「コインが正しく作られている」ならば、 表と裏の出る確率は等しい。そのような母集団から無作為抽出により n = 400個 のデータからなる標本を作り出したとして、標本中の表の回数Hと裏の回数Tの割合が 220/400 を超える可能性 p1、および逆に、180/400 を下回る可能性 p2 を求める。P = P1 + P2 とする。 確率と統計2009

考え方(No.３) Pの値が十分小さい ー＞めったに起きないことがいま起きた ー＞普通起きないことが起きた ー＞起きるはずのないこと（奇跡）が起きた ー＞何かがおかしい！ 　（仮説を捨てる） Pの値が大きい　－＞仮説は捨てない （仮説を採用するわけではない） 確率と統計2009

考え方（No.4) つまり… 出現率 p = 1/2 = 0.5 の無限母集団から、n = 400 のデータを無作為に取り出したとする。このとき、 P = P( m > 220 ) + P( m <180 ) を求めて判断しよう、ということ。 それでは具体的にやってみよう。 確率と統計2009

計算 コイン投げは、いわゆる２項分布と 呼ばれているものに相当する。 したがって、 P = P(m>220) + P(m<180) = nC221・(1/2)221・(1/2)179 　+ ・・・ + nC400・(1/2)400・(1/2)0 + nC179・(1/2)179・(1/2)221 　+ ・・・ + nC0・(1/2)0・(1/2)400 2項分布は 後日お話します。 確率と統計2009

２項分布はｎが大きければ正規分布で近似できる。（教科書、108-114ページ） 定理： ２項分布はｎが大きければ正規分布で近似できる。（教科書、108-114ページ） このことを利用して計算すると楽。 確率と統計2009

２項分布の計算を正規分布で！ 変数変換を行う。 Z = (X – m)/s = (X – n・p)/√(n・p・q) 今の場合、 m = np = 400・0.5 = 200 s = √(npq)=√(400・0.5・0.5) = 10 この式の意味は？ 考えてみること。 確率と統計2009

したがって、 P = P(m>220) + P(m<180) = P(Z>(220-200)/10) + = P(Z>2) + P(Z<-2) = 1 - P(-2<Z<+2) = 1 – 2・P(0<Z<2) = 　　　　　　　（教科書295ページ参照） 確率と統計2009

ー＞１００回のうち４回か５回の割合でこのようなこと（表が４００回中に２２０回出る）がおきうる。 P は約 0.046 ー＞１００回のうち４回か５回の割合でこのようなこと（表が４００回中に２２０回出る）がおきうる。 仮説「表と裏の出現確率が等しい」が正しければ、このようなことは１００回に４回か５回しか起きない。 めったに起きないことがおきた？ 確率と統計2009

統計学的結論： めったにないことが起きたのではなく、 「仮説が正しくない」 と結論する。 つまり、このコインは歪んでいると。 　「仮説が正しくない」 　と結論する。 　つまり、このコインは歪んでいると。 　（ただし、．．．　）　＜－ ここからが大切！ 確率と統計2009

そこで、統計学的には以下のように結論する。 「有意水準5％のもとに、このコインは歪んでいる。」 ただし、このようなことは１００回中に数回起こりえるのだから、このような実験を行ってこのような結論を下すことは、１００回中４から５回程度間違っていることになる。 そこで、統計学的には以下のように結論する。 「有意水準5％のもとに、このコインは歪んでいる。」 確率と統計2009

有意水準としては、通常１％、５％、１０％などが採用される。（３％、７％などでもいいのだが…） 確率と統計2009

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（おまけ） 以下の定理も重要な定理です。 確率と統計2009

定理１ ｘ が正規分布 N（μ，σ２） に従うとき、大きさ ｎ の無作為標本に基づく標本平均 ｍは、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。 （ｘの標本分布に関する定理） 確率と統計2009

定理２（重要） ｘが任意の分布（平均＝μ，分散＝σ２）に従うとき、大きさ ｎ の無作為標本に基づく標本平均 ｍ は、 ｎ が無限に大きくなるとき、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。 （中心極限定理） 確率と統計2009

問題１ ある学力テストの得点ｘは、正規分布 Ｎ（１６０，２０２）に従うとする。大きさ１６の標本をとり、ｍの値を求めるとき、 　　ある学力テストの得点ｘは、正規分布 Ｎ（１６０，２０２）に従うとする。大きさ１６の標本をとり、ｍの値を求めるとき、 ｍが１６５を超える確率は？ ｍが１５０未満となる確率は？ 確率と統計2009

中心極限定理の利用法 問題１．　 　　　ある大学の受験生の母集団から無作為に選んだ１人の受験生の成績を ｘ とする。いま、過去の経験から ｘ は平均 μ＝ ２．５、標準偏差ｓ ＝ ０．４であることがわかっているものする。このとき、この母集団から ３６人の受験生の標本を採り、標本平均 ｍ を求めるとき、 ｍが２．４未満となる確率は？ ｍが２．４～２．７となる確率は？ 確率と統計2009

問題１のヒント 後日解説します。 中心極限定理より ｓ＝σ／√ｎ ＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ ＝（２．４－２５）・０．０６７＝ ｓ＝σ／√ｎ　＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ　＝（２．４－２５）・０．０６７＝ Ｐ｛ｍ＜２．４｝　＝Ｐ｛ｚ＜－１．５０｝＝ （標準正規分布表を利用） 後日解説します。 確率と統計2009