第Ⅱ部 協力ゲームの理論 第7章 提携形ゲームと配分 2008/07/01(火) ゲーム理論合宿 Ｍ１ 藤井敬士
内容 提携形ゲーム 提携形ゲームとは 提携形ゲームの特性 全体としての協力関係 湖の汚染浄化問題 タダ乗り 全体提携の成立 配分
提携形ゲームとは 提携：共同事業のようなものをプレイヤーNの部分集合として表したときの，その部分集合 企業３ 企業１ 企業２ 提携構造：[{1,2},{3}] 提携：共同事業のようなものをプレイヤーNの部分集合として表したときの，その部分集合 許容提携：可能性として想定できるすべての提携（たとえば，φや{1,2,3}も含む）
提携形ゲームとは 提携形ゲーム：プレイヤーの集合 と特性関数 と利得ベクトルの集合 の組 によって表されるもの． 利得ベクトル ※利得をどのように分けるかについてはまた別のプロセスによる． 提携形ゲーム：プレイヤーの集合 と特性関数 と利得ベクトルの集合 の組 によって表されるもの． 提携の特性関数
多数決ゲーム 12万円を3人の多数決で分け，多数派が全部取って山分けしてよい．
多数決ゲーム の形式で表された プレイヤーの集合 まとめると 多数派になるのは，のときのみ 利得ベクトル 特性関数は以下のようになる たとえば という利得ベクトルの集合が考えられる．
協力ゲームの提携形（定義） プレイヤーの集合 提携 特性関数 以上のような形で定義された特性関数を，フォン・ノイマン／モルゲンシュテルン型関数という． 利得ベクトル プレイヤー１の利得
協力ゲームの提携形（定義） 提携形ゲーム 譲渡可能効用と別払い ここで扱う利得は制限なしに分割可能で，プレイヤーの間で自由に譲渡できる．プレイヤーAからBに譲渡した場合，Aの失った利得の大きさとBの得た利得の大きさは等しい． 譲渡した利得を別払いという． ゲームの解 解集合
提携が大きくなると全体として利得が大きい 提携形ゲームの特性 提携が大きくなると利得も大きい バラバラよりも一緒にやったほうがいい 合理性 単調性とゼロ単調性 提携が大きくなると全体として利得が大きい 提携してもしなくても一緒 非本質的と本質的 弱優加法性と優加法性 任意の部分集合でゼロ単調 提携したらよくなる 小さい提携複数よりも，大きな提携一つ
提携形ゲームの特性 定和 （例） 提携系ゲームとしては定和ゲームである 戦略系ゲームとしては定和ではない
湖の浄化問題 排水を，浄化してから放流するor浄化しないで放流する．（浄化には費用がかかる） 浄化しないと，使うときに各工場で浄化する費用が発生
湖の浄化問題 ・・・ 水１単位を浄化するには，B円必要 K個の工場が浄化しないと，利用するときに水１単位当たりkD円かかる．
湖の浄化問題 Nの部分集合Sが，浄化するという協定を結ぶ． →提携Sと提携N-Sについて考える．
湖の浄化問題 N=10,B=9,D=2として費用の変化を見る 提携Sのメンバーの数 ＜ ＜ r=B/D=9/2=4.5とすると， 参加者は多ければ多いほどいいが，実際はどうなるのか？
タダ乗りの存在 実際は最初から全員が集まるのは不可能． →熱心な提携Sのメンバー（s人）は浄化する このとき，提携N-Sの費用は それぞれの提携の費用関数をまとめると， このとき，残りのN-S＝｛7,8,9,10｝は，r=4.5よりもメンバー数が少ないので浄化しないほうが費用が安い． →（浄化する，浄化しない）という均衡点
タダ乗りの存在 →タダ乗り 提携N-Sのメンバーは，自分たちでは浄化しないで浄化してもらうことによって利益を得ている [{1,2,3,4,5,6},{7,8,9,10}]という提携構造になると，それぞれの提携における一人当たりの負担額は， S:102/6=17 N-S:32/4=8 ＜ もし全員が浄化すると，一人当たりの費用は， 9×10/10=9 ※水不足などの際に自粛的な行動をとる人は約６０％という社会心理学者の調査結果もある．