Ｃ：ハヤシライン 単位名 大学院：恒星物理学特論II 教官名 中田 好一 授業の内容は下のHPに掲載される。 ２００８年１０月２７日　 単位名 　　大学院：恒星物理学特論II 教官名　　　　　中田　好一 授業の内容は下のHPに掲載される。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 成績は出席とレポートの双方により決めます。 Ｃ：　ハヤシライン

授業タイトル A： 赤色巨星をめぐって ２００８年１０月 ６日 Ｂ： 赤色巨星構造の追究 ２００８年１０月２０日 　　　　　　　　　　授業タイトル A：　赤色巨星をめぐって 　　　　　　　　２００８年１０月 ６日 Ｂ：　赤色巨星構造の追究　　　　　　　２００８年１０月２０日 Ｃ：　ハヤシライン　　　　　　　　　　　 　 ２００８年１０月２７日 Ｄ：　スペクトル　　　　　　　　　 ２００８年１１月１０日 Ｅ：　等級　　　　　　　　　　　　 ２００８年１１月 １７日 Ｆ：　ダスト　　　　　　　　　　　　　 ２００８年１２月　１日 Ｇ：　ダストシェル　　　　　　　　　　　　　 ２００８年１２月１５日 Ｈ：　変光　 　　　　　　　　　　　　２００８年１２月２２日 Ｉ：　 銀河系の赤色巨星　　　　　　　　 ２００８年　１月１９日 Ｊ：　系外銀河のの赤色巨星　　　 　２００８年　１月２６日 Ｃ：　ハヤシライン

Ｃ．1．赤色巨星の構造 Ｃ．１．1．ＵＶ平面 星の構造は次の４本の方程式で与えられる ① ② ③ ④ Ｃ：　ハヤシライン

その解を表すのによく使われるのが（Ｕ，V) 平面である。Ｕ，Ｖの定義は、 である。星の中心では、（Ｕ，Ｖ）＝（０，３）、表面では（Ｕ、Ｖ）＝（０,∞）　となる。 したがって、星の構造は（Ｕ，Ｖ）面では左下のようになる。 化学組成に飛びがある赤色巨星のような場合には、右下のようになることは前回話した通りである。 表面　　　　 外層　　　　 Ｖ　　　　 Ｖ　　　　 境界　　　　 中心核　　　　 境界　　　　 中心　　　　 ３　　　　 ０　　　　 ３　　　　 ０　　　　 Ｕ　　　　 Ｕ　　　　 組成が一様な星のＵＶカーブ　　　　　　　　　　組成に飛びがある星のＵＶカーブ Ｃ：　ハヤシライン

Ｃ．１．２．ポリトロープ 前に述べた４つ構造方程式は５つの未知数Ｍ，Ｐ，Ｔ，ρ，Ｆを含んでいて式の数が不足している。それを与えるのは状態方程式で、Ｐ＝Ｐ（Ｔ,ρ）であるが、この状態方程式がＴを含まず、 と与えられると、構造方程式はＭ，Ｐ，ρに関する次の３つで閉じてしまう。 初めの２つの式から、ポアッソン方程式 が得られる。 中心密度＝ρＣとして、 ρ＝ ρＣ・θＮ　と表わすと、 この式を上のポアッソン方程式に代入し、 Ｃ：　ハヤシライン

この式はポリとロープ指数Ｎのエムデン方程式と呼ばれる。 等温の場合はＮ＝∞に対応するが、初めに戻ってＰ＝Ｋ・ρをポアッソン方程式に代入すると、 が等温のエムデン方程式である。 エムデン解から物理量に戻すには、パラメターとしてρＣ　とαを選び、その２つからＫを計算して、以下の式に入れればよい。 Ｃ：　ハヤシライン

前ページの式を使って、Ｕ，Ｖを計算すると以下のようになる。 このように、中心から伸びるポリトロープのＵ－Ｖ曲線は中心の密度や圧力に関係なく、ポリトロープ指数Ｎだけで決まる。 Ｎ＞５では表面にまで達する（Ｕ＝０，Ｖ＝∞）解を得ることはできない。 Ｃ：　ハヤシライン

UVカーブでガス塊の構造を分類してみよう。 タイプ１： 正常型。自己重力系 Ｃ．１．３．重力系の分類 UVカーブでガス塊の構造を分類してみよう。 タイプ１：　正常型。自己重力系 自己の質量が重力の源となる。ＵＶ カーブで考えると、　 　　　　　　　星の表面：　U=0　 V=∞　 　　　　　　　 星の中心：　U=3 V=0 となる。 タイプ１重力系のUVカーブ U 1 2 3 10 20 表面 中心 V 星の表面：　U=0　 V=∞　 星の中心：　U=3 V=0

タイプ２： 質点の周りに広がるガス。 タイプ２のUVカーブ タイプ２：　質点の周りに広がるガス。 　中心に質点があり、その重力場の影響のもとで広がるガス。中心から遠くではタイプ１と似た分布であるが、中心に近づくと質点重力場が支配的となる。 　　表面：　U=0　 V=∞ 　　中心近くは、 　　　　なので、 Ｕ→０ タイプ２のUVカーブ U 1 2 3 10 20 表面 中心 V タイプ２で重要な性質は、　　　　　　　　 ＵＶカーブ上の点を０と名付けるとき、点０が中心に向かうにつれ、 （Ｒ１/Ｒ０）∞　　　となることである。

主系列星 タイプ１ UVカーブは中心から外側へ伸びる単純なタイプ１型である。 表面 2 UVカーブは中心から外側へ伸びる単純なタイプ１型である。 表面 1 log V 主系列星 　　タイプ１ 太陽の内部構造をＵＶカーブで表わしてみるとタイプ１型になっているのが分かる。 0　　 中心 -1 log U

赤色巨星＝複合型 星表面 中心核＋外層 という２重構造 中心核UVカーブ＝タイプ１ 外層UVカーブ＝タイプ２ log U log V -1 -2 1 ３ ２ 星表面 中心核＋外層　という２重構造 中心核UVカーブ＝タイプ１ 外層UVカーブ＝タイプ２　　　　　　　　　　　　　　　　　 左下のU=0、V=N+1へ向かう。 中心核の重力場が外層には質点重力場のように働いていることが分かる。 赤色巨星＝複合型 中心核表面 中心核表面 中心 このような構造になっていると、なぜ星の半径は主系列に比べ大きくなるのだろうか？ それは、赤色巨星の中心にあるのが半径ゼロの質点でなく、有限の半径を持つ縮退核だからである。

無次元量でなく、実際の密度、半径で考えると、 中心核半径はあまり変わらないので、質量の増加は中心集中度を高めることで吸収している。その結果、下図に見るように、ＡからＢに進むと中心密度は増加するが、核と外層の境界密度、圧力は逆に低下する。低い圧力でも支えられるようにするには外側が広がって重量（質量でなく）を軽減する必要がある。 ρ A B R R１(A) R１(B)

AＥ AＩ BＥ BＩ 赤色巨星の半径は進化と共に増加する 中心核の半径Ro ≒白色矮星R0半径でほぼ一定。 外層の半径　 R１ ＝ Ro ・（ R１ / Ro ） 進化が進むと中心核の質量が増加する。その結果、外層と核の境界が例えばＡ点からＢ点に移る。外層の解はタイプ２であり、ＵＶカーヴが内側に進行すると（Ｒ１/Ｒ０）∞に増大する。こうして、星の半径Ｒ１は大きくなっていくのである。 赤色巨星の構造　　　　　　　　　　　　　　　　赤色巨星構造の進化 1 0.5 1.5 log V 1.5 表面（R=R1) AＥ AＩ 表面（R=R1) 1 （R１/ R０）Ｂ＞ （R１/ R０）Ａ log V BＥ BＩ 中心核表面 0.5 外層下面（R=R０) log U -1 -2 -2 -1 log U

赤色巨星構造の中間まとめ これまで見てきたように、赤色巨星の構造の特徴は （１）　中心核と外層との境界で平均分子量がジャンプする。（μＣ/μＥ）＞１ （２）　中心核の質量が増加していくと、（端の密度/平均密度）０となる。（Ｕ０） （３）　しかし、中心核の半径Ｒ０はあまり変化しない。 （４）　 （２）で実現された（端の密度/平均密度）０は、外層にとってはタイプ２型の構造でＲ０ ０の場合に対応する。その時はＲ/Ｒ０ ∞である。 （５）　このため、Ｒ＝Ｒ０ ・（Ｒ/Ｒ０ ） ∞　 そのままだと、Ｒ ∞、Ｔｅ０になってしまう。 このプロセスに歯止めをかけるのが、次に話す赤色巨星大気の表面条件である。 さらに詳しい議論は以下を参照するとよい。 Sugimoto,D.,Fujimoto,M.Y. 2000, ApJ 538, 837-853. Ｒ Ｒ０ μＣ μＥ

Ｃ．２．Ｈａｙａｓｈｉ Ｌｉｎｅ Ｃ．２．１．赤色矮星の表面条件 Ｃ．２．Ｈａｙａｓｈｉ　Ｌｉｎｅ Ｃ．２．１．赤色矮星の表面条件 前回、Ｈｏｙｌｅ，Ｓｃｈｗａｒｚｃｈｉｌｄ １９５５ が赤色巨星の構造を考える際には表面条件が重要であると述べていたことを学んだ。低温度星の表面条件の問題は当初赤色矮星から始まった。 Ｌ．Ｂｉｅｍａｎ　１９３５、Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｓｃｈｅ　Ｎａｃｈｒｉｃｈｔｅｎ，　２５７，　２６９ “Ｋｏｎｖｅｋｔｉｏｎ　ｉｍ　Ｉｎｎｅｒｎ　ｄｅｒ　Ｓｔｅｒｎｅ” 　　中心から表面まで対流平衡な星では、Ｐ＝Ｋργー１　が成立する。 　　表面でＰ＝０，ρ＝０という境界条件をおくと、Ｋが定まらない。したがって、このよ 　　うな星は存在しないか、少なくとも中立平衡である。 これに対し、次のような反論が加えられた。 Ｔ．Ｇ．Ｃｏｗｌｉｎｇ　１９３８、 　　　Ｍｏｎｔｈｌｙ　Ｎｏｔｉｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｏｙａｌ　Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，９８，　７３４ 　　“Ｔｈｅ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｃｏｎｖｅｃｔｉｖｅ　Ｓｔａｒｓ” 　上の議論は表面近く、少なくともτ＜１では、輻射でエネルギーを宇宙空間に放射 　になっていることを見逃している。表面条件を考えると次の関係式が成立する。

（１） 光球（Ｐｈｏｔｏｓｈｅｒｅ）条件、Ｔ（τ＝２/３）＝Ｔｅ 表面（ｒ＝Ｒ）付近で、 （１）　光球（Ｐｈｏｔｏｓｈｅｒｅ）条件、Ｔ（τ＝２/３）＝Ｔｅ 　　　表面（ｒ＝Ｒ）付近で、 を仮定すると、 （２）　Ｌ＝４πσＴｅ４Ｒ２　 （３）　Ｔ＝Ｋργー１　のポリトロープなので、 （４）　赤色矮星の場合さらに質量光度関係　Ｌ＝Ａ・Ｍαが成立する。 結局、Ｍ、Ｒ、Ｌ，Ｔｅｆｆ、Ｋに対し、４つの関係式が得られる。その結果、与えられたＭに対してＫが定まるのである。 Ｃ：　ハヤシライン

このようにして、赤色矮星では表面条件を正しく扱う必要が明らかにされた。 Ｏｓｔｅｒｂｒｏｃｋ１９５３は対流層を特徴付けるのは層の単位質量当たりエントロピーであることに着目して一連のモデル計算を行った。 Ｄ．Ｅ．Ｏｓｔｅｒｂｒｏｃｋ　１９５３、Ａｓｔｒｏｐｈｙｓ．Ｊ．１１８，　５２９－５４６ “Ｔｈｅ　Ｉｎｔｅｒｎａｌ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｒｅｄ　Ｄｗａｒｆ　Ｓｔａｒｓ” Ｍ型連星Ｃａｓｔｏｒ Ｃは平均値、Ｍ＝０．６０Ｍｏ，　Ｌ＝０．０６３Ｌｏ，　Ｒ＝０．６３Ｒｏと求まっていた。しかし、輻射層を仮定してしてモデルを作ると、光度が観測値よりはるかに明るくなることが問題とされていた。Ｓｔｒｅｍｇｒｅｎ（１９５２）は赤色矮星に対流層が発達していると温度勾配が小さいので中心温度が低くなって光度が下がるのではないか、と提案した。 Ｃａｓｔｏｒ　Ａ，Ｂ，Ｃはそれぞれが二重星で、全体で六重星と分っている。Ｃａｓtor C はフレア星ＹＹ Ｇｅｍ として有名である。 右図は赤外Ｊバンド、Ａ，Ｂ星は明るすぎて飽和している。左図はＸ線、Ｃ星以外にＡ，Ｂ星もＸ線で明るいことに注意。 ＸＭＭーニュートン（Ｘ線）　２ＭＡＳＳ　Ｊバンド（５分角） Ｃ：　ハヤシライン

線形近似ではφ（τ）＝τ＋２/３ となる。κはＨー吸収の平均値。 表面 灰色大気モデルを適用する。 輻射層 線形近似ではφ（τ）＝τ＋２/３　となる。κはＨー吸収の平均値。 灰色大気の温度勾配が対流不安定になったら、対流層開始。 まず、開始点のエントロピーを計算。 Ｓ＝一定のラインが電離層を通過し、ｌｏｇＴ＝６，ｌｏｇＰ＝１３．８でほぼ完全電離（１－ｘ）＜＜１。Ｐ＝ＫＴ２．５の関係（ｌｏｇＫ＝－１．１５）が成立する。その先は下の無次元量で計算する。 対流層 Ｅ＝１３．６となる。色々なＥ（＝８－４０）に対して計算しておく。 吸収係数：　κ＝κ０ρ０．５Ｔ－３．５ エネルギー発生：　ε＝ ε０ρＴ４．５ 　　（ｐ－ｐサイクル） 無次元量の計算では中心部での　ｄｌｏｇＰ/ｄｌｏｇＴ＝（ｎ＋１）Ｃがパラメターになる。 輻射核 Ｃ：　ハヤシライン

対流層の解でＥ≒４５が（３，０）を通ることを注意しておく。 鎖線：対流層で数字はＥの値。 実線：輻射核で数字は（ｎ＋１）Ｃの値 点線：（ｎ＋１）＝２．５となる実線の 　　　　端を結んだ線。 対流層と輻射核は点線の上でつながる。 その中で、ＣａｓｔｏｒＣは前に求めた Ｅ＝１３．６が解になるべきだが、 水素量Ｘから決まる（ｎ＋１）Ｃも適当 な値になるという条件を考えて、少し 異なる値 　　Ｅ＝１９．９、Ｘ＝０.7，Ｙ＝ｏ．２６ を採用した。 対流層 ｎ＋１＝２．５ １６ ２４ ３２ Ｅ＝４０ 対流層の解でＥ≒４５が（３，０）を通ることを注意しておく。 Ｃ：　ハヤシライン

Ｃ．２．２．赤色巨星の表面条件 前回、Ｈｏｙｌｅ，Ｓｃｈｗａｒｚｃｈｉｌｄ １９５５ が赤色巨星の構造を考える際には表面条件が重要であると述べていたことを学んだ。この問題をシステマティックに扱ったのが１９６１年の林忠四郎と蓬茨霊運の論文である。 　Ｈａｙａｓｈｉ，Ｃ．，Ｈｏｓｈｉ，Ｒ． 　　　　　　　　　　　　　　　１９６１，Ｐｕｂｌ．Ａｓｔｒｏｎ．Ｓｏｃ．Ｊａｐａｎ，１３，４４２－４４９． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“Ｔｈｅ　Ｏｕｔｅｒ　Ｅｎｖｅｌｏｐｅ　ｏｆ　Ｇｉａｎｔ　Ｓｔａｒｓ　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｗｉｔｈ　Ｓｕｒｆａｃｅ　Ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ　Ｚｏｎｅｓ”　 彼らはＯｓｔｅｒｂｒｏｃｋ（１９５３）と同様に、星の表面付近の構造を左図のように考えた。 Ｐ＝光球（Ｐｈｏｔｏｓｐｈｅｒｅ） ＰＣ＝表面輻射層 Ｃ＝輻射フラックスが対流フラックスと等しくなる点 ＣＤ＝不完全電離層の断熱線（Ｓ＝一定） ＤＥ＝完全電離ガスの断熱線　Ｐ＝ＫＴ２．５　

重力ｇ＝GM/R2 と フラックスF は一定として、構造方程式を解く。 （１）　Ｐ－Ｃ　表面輻射層 　　　重力ｇ＝GM/R2　と　フラックスF 　は一定として、構造方程式を解く。 　　　表面近くは輻射層である。 Ｔｅ＝０の解を漸近輻射構造線と呼ぶ。表面から奥に入るとＴｅによらずこの解に収束していく。

（２）. Ｃ－Ｄ：輻射層の奥に入ると対流不安定になる。その先は エントロピー一定で表わされる対流構造線になる。 　　　　　　　　エントロピー一定で表わされる対流構造線になる。 対流構造線 輻射構造線 漸近輻射構造線

対流不安定となるＣ点は通常電離層の中にある。 電離度ｘの等高線を示す。T=1万度付近で電離が起こることが分かる。

エントロピー（S/k)の等高線。電離層のところで傾きが変化。

星の構造線を電離度ｘ、エントロピーS/k等高線に重ねてみると ｌｏｇＴｅ＝３．５Ｓ/ｋ＝４０、ｌｏｇＴｅ＝３．４５Ｓ/ｋ＝３５と対応している。 Ｔｅの違いによって運ぶべきエネルギーが変わり、対流開始点に差が生じる。 対流開始

前ページの図では、Ｍ＝１Ｍｏ，Ｌ＝１０００Ｌｏの星の場合、 有効温度 ｌｏｇＴｅ 3.45 3.50 対流エントロピー（Ｓ／ｋ） 35 41 （３）　Ｄ－Ｅ：　完全電離。対流層 前ページの図では、Ｍ＝１Ｍｏ，Ｌ＝１０００Ｌｏの星の場合、 　　　有効温度　　ｌｏｇＴｅ　　　　3.45　 3.50 対流エントロピー（Ｓ／ｋ）　　 35 41 この先は完全電離となるので、Ｐ＝Ｋ・Ｔ２．５の関係が成立する。ここで、対流の エントロピー（Ｓ／ｋ）とポリトロピックな関係の定数Ｋとの関係を求めておこう。 エントロピー（Ｓ／ｋ）は下の式で定義していた。 このままでは完全電離ｘ＝１の場合が計算できない。 そこで、サハの式を用いてこの式を書き換える。 を一番上の式に代入して、 Ｃ：　ハヤシライン

次にＫの方だが、単純のため水素のみのガスを考える。 これで、ｘ＝１も計算できるようになった。 次にＫの方だが、単純のため水素のみのガスを考える。 このＫを上の（Ｓ/ｋ）の式に代入して、 一方、圧力Ｐ、温度Ｔの無次元化 を行うと　Ｐ＝ＫＴ２．５は　 ポアッソン方程式 は、 となるので、 とおいて、エムデン方程式 を得る。 Ｃ：　ハヤシライン

この方程式の解の様子は、Ｏｓｔｅｒｂｒｏｃｋ１９５５のところで見た。 Ｅ＞４５．５３だと空洞解となってしまう。これはＫが大きいすなわち（Ｓ/ｋ）が小さいことを意味する。つまり、表面温度が低すぎて対流層のエントロピーが小さくなると、圧力Ｐを低温Ｔ高密度ρで作ることになる。このため、同じ圧力差ΔＰを作るためにより多くの質量Ｍを消費し、結局中心にたどりつく前に星の質量Ｍを全て使い尽くしてしまうのである。 Ｅ＝４５．５３はｎ＝１．５のエムデン解に対応し、中心まで対流となっている解である。また、 Ｅ＜４５．５３は中心まで行ってもまだ使いきれない質量が残っている場合で、この残った質量は中心に置かれた質点と解釈される。これはタイプ２型の解で赤色巨星に対応する。 この様なわけで、ＨＲ図上にＥ＝４５．５３のラインを引くとそのラインより低温側には星が存在できないことが分かった。このラインをハヤシラインと呼ぶ。 ハヤシラインは星の質量Ｍとメタル量Ｚ毎に引かれる。 Ｃ：　ハヤシライン

S/k＝５０、中心に空洞が出来てしまう。対応する天体はない。 ここではｎ＝１．５の代わりにｎ＝２．７の図を示すが様子は同じである。 S/k＝６０、中心に芯がある、タイプ２。赤色巨星に対応する。 S/k＝５５、タイプ１とタイプ２の境界線。HAYASHI 　lineの星。

こうして表面温度が低すぎる星（膨れ上がりすぎた星）はエントロピーが低く、中心部に空洞が生じて存在不可能であることが判った。そのぎりぎりの境界線をHAYASHI　LINEと呼ぶ。 １Mo星の 禁止領域