博士たちの愛する円周率 徳山 豪 東北大学 “ＰＩ” that professors love Mathematics that the professor loved 徳山 豪 東北大学 “ＰＩ” that professors love 博士たちの愛する円周率
円周率 π＝３．１４１５９２６５３５８９……. 今日のテーマ： 円周率四方山話 気楽に聞いてください 無理数、 超越数 古代からの不思議 π＝３．１４１５９２６５３５８９……. 無理数、 超越数 古代からの不思議 数学のあらゆる場で出てくる数 今日のテーマ： 円周率四方山話 ビュホンの針 有理数でないことの証明 不思議な等式たち 気楽に聞いてください
円周率 半径1の円の面積は、周長は？ 球の体積は、球の表面積は？ 単位円の面積＝単位円の周長/２ 単位球の体積 ＝ 単位円の面積＊４/3 半径1の円の面積は、周長は？ 球の体積は、球の表面積は？ 単位円の面積＝単位円の周長/２ 古代ギリシャ以前に既知 証明してみてください 同様に、表面積と体積の関係は？ 単位球の体積 ＝ 単位円の面積＊４/3 これは簡単ではない？？ ピタゴラス＋天才アルキメデス だれか、証明を知ってますか？
円周率を計算しよう：１ 実験による計算： モンテカルロ法 Ｂｕｆｆｏｎの針 幅１の間隔で横線を引く 長さ１の『針』を落とす 実験による計算： モンテカルロ法 Ｂｕｆｆｏｎの針 幅１の間隔で横線を引く 長さ１の『針』を落とす 針が横線と交わる回数からπが計算できる
演習 幅１の間隔で横線を引く 長さ１の『針』を落とす 針が横線と交わる確率を求めよ
エレガントな解法 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察 長さaの『針』での期待値ｆ(a) f(a) +f(b) = f(a+b) 『確率』の代わりに、『交点数の期待値』を考察 長さaの『針』での期待値ｆ(a) f(a) +f(b) = f(a+b) 長さ1/nの針を正ｎ角形に並べる ｎを無限大にすると、円周になる
円周率の性質 無理数である 超越数である （代数方程式の解にならない） 証明は易しくないが、初等的に出来る 証明には2000年以上掛かった アリストテレスからＬａｍｂｅｒｔ（１７６６）まで 講義ではやらない（Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｏｏｋ参照） 超越数である （代数方程式の解にならない） 証明は易しくない Ｌｉｎｄｅｒｍａｎｎの定理（１８８２）
面白い等式 オイラーの等式 超越数の理論の出発になった等式
面白い等式 証明のアウトライン 下記の積分を2通りに計算する
等式から求める円周率 この公式から円周率（の２乗）を計算できるはず。 大きいｎまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能 この公式から円周率（の２乗）を計算できるはず。 大きいｎまで計算して、誤差は1/n程度 1兆桁まで計算するのは不可能 よりよい等式を利用する 逆正接関数を用いた式（オイラー以来たくさん） 計算法について、調べてみてください。