確率と統計2007 - 確率編- 平成19年10月25日(木) 確率と統計2007

高校までの「確率」の知識は必要ありません。 この授業で「確率」の基礎を身に付けましょう。 今日から「確率」の話しをします。 高校までの「確率」の知識は必要ありません。 この授業で「確率」の基礎を身に付けましょう。 でも、とても難しい話も少しりますが、そこは聞いているだけでもいいです。わかる人だけ理解してください。 確率と統計2007確率と統計2006

ある質問 イタリアのある貴族がGalileo(1564-1642)にこう尋ねた。「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」 Galileoに代りあなたは答えられますか？ 確率と統計2007確率と統計2006

それでは本題に入りましょう。 確率と統計2007確率と統計2006

不規則現象 例： サイコロ投げの結果 コイン投げの結果 明日の天気 測定誤差 雑音 手書き文字・発話音声 確率と統計2007確率と統計2006

確率はこのような不規則現象（偶然現象）を取り扱う、数学の１分野である。 以下では、まず確率の基本用語を定義する。 確率と統計2007確率と統計2006

用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2007確率と統計2006

試行 実験や観測において、繰り返えされる行為のこと。 例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。 例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。 確率と統計2007確率と統計2006

標本点ω 試行により起こる結果のこと。 例えば，コイン投げでは、 「表が出る」 とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。 例えば，コイン投げでは、 「表が出る」　とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。 　<注>標本点を根元事象と呼ぶこともある。 確率と統計2007確率と統計2006

標本空間Ω すべての標本点からなる集合のこと。 例えば、コイン投げでは、 { H, T } ただし、 H: 表が出る T: 裏が出る を表す。 確率と統計2007確率と統計2006

まず、ここまでのことを例題で確認しよう。 確率と統計2007確率と統計2006

例題１ サイコロ投げ 試行： サイコロを投げ、出る目を記録する。 例題１　サイコロ投げ 試行：　サイコロを投げ、出る目を記録する。 標本点：　 １の目が出る (①と記す) ２の目が出る (②と記す) ３の目が出る (③と記す) ４の目が出る (④と記す) ５の目が出る (⑤と記す) ６の目が出る (⑥と記す) 標本空間： Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } 確率と統計2007確率と統計2006

例題２ ２個のコイン投げ 試行： コイン２個を同時に投げ、出る面を記録する。 例題２　２個のコイン投げ 試行：　コイン２個を同時に投げ、出る面を記録する。 標本点：　 「表が出る 」をH、「裏が出る」をTと記すと、 HH, HT, TH, TT 標本空間： Ω={ HH, HT, TH, TT } 確率と統計2007確率と統計2006

例題３ くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く 例題３　くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く 標本点： A, H1, H2 A: 当たりくじ H1, H2: はずれくじ 標本空間： Ω={ A, H1, H2 } 確率と統計2007確率と統計2006

例題４ じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を出したかを記録する。 例題４　じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を出したかを記録する。 標本点： (G, G), (G, C), (G, P), (C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) 標本空間Ω={ (G, G), (G, C), (G, P),(C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) } 確率と統計2007確率と統計2006

例題５　２個のサイコロ投げ 試行： 標本点： 標本空間： 確率と統計2007確率と統計2006

例題６ 壺からの球の取出し(1) 設定：赤球２個、白球１個、１個を取り出す。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。 例題６　壺からの球の取出し(1) 設定：赤球２個、白球１個、１個を取り出す。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。 標本点：①, ②, ① 標本空間Ω={ ①, ②, ① } 確率と統計2007確率と統計2006

例題7 壺からの球の取出し(２) 設定：赤球２個、白球１個。２個を同時に取り出す。 試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。 例題7　壺からの球の取出し(２) 設定：赤球２個、白球１個。２個を同時に取り出す。 試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。 標本点：{①, ②}, {①, ①}, {②,①} 標本空間 Ω={ {①, ②}, {①, ①}, {②,①} } 確率と統計2007確率と統計2006

用語の定義(2) 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2007確率と統計2006

用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 確率と統計2007確率と統計2006

事象 標本空間Ωの部分集合のこと。 例えば、コイン投げでは、 {H}, {T}, {H, T} などはすべて事象である。 {H}は「表が出る出来事」と解釈でき、 {H,T}は「表が出るか裏が出る出来事」と解釈できる。 確率と統計2007確率と統計2006

単一事象と複合事象 単一事象：要素が１個の事象 複合事象：要素が２個以上の事象 例えば、Ω={HH, HT, TH, TT}に対して、 単一事象： {HH}, {HT}, {TH}, {TT} 複合事象： {HH,HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, 　{HT,TH}, {HT,TT}, {TH,TT}, 　{HH,HT,TH},{HH,HT,TT},{HH,TH,TT}, HT,TH,TT} 確率と統計2007確率と統計2006

ここまでのことをまとめると… 確率と統計2007確率と統計2006

例題８　コイン投げ 標本空間Ω={H, T} 事象の集合F={φ, {H}, {T}, Ω} {H}: 単一事象 {T}: 単一事象 φ: 空事象 Ω: 全事象 確率と統計2007確率と統計2006

例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} 例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω} 確率と統計2007確率と統計2006

例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} 例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω} 確率と統計2007確率と統計2006

ここまで準備ができれば後は簡単。 確率を定義しよう！ 確率と統計2007確率と統計2006

確率の定義 ある試行で起こりうる単一事象の総数（標本点の個数と同じ）がNで、これらの単一事象がすべて同じ確からしさ（蓋然性）で起こるものとする。このとき、ある事象Aがｎ個の単一事象からなるならば、その事象Aの起こる確率は、 P(A) = n / N である。 確率と統計2007確率と統計2006

確率の定義（２） P(A)=#A / #Ω ただし、#Sとは集合Sの要素の個数を表す。 確率と統計2007確率と統計2006

例題１０　サイコロ投げ Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } １の目が出る確率： P({①}) = #{①} / #Ω = 1 / 6 奇数の目が出る確率： P({①,③,⑤}) = #{①,③,⑤} / #Ω = 3 / 6 = 1 /2 ５以上の目が出る確率： P({⑤,⑥}) = 2 / 6 = 1 / 3 確率と統計2007確率と統計2006

例題１０　サイコロ投げ(2) ⑤ ① ③ ⑥ ② ④ 確率と統計2007確率と統計2006

例題１１ 確率と統計2007確率と統計2006

自由研究　Galileo問題 ３個のサイコロを投げるとき、その目の和をTとする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ? 実際にサイコロを投げて調べてみよう。 （理論値は次週説明します。） 確率と統計2007確率と統計2006