コンピュータの高速化により， 即座に計算できるようになってきたが， 手法的にはコンピュータ出現以前に考え出された 方法が数多く使われている。 ４．非線型方程式 コンピュータの高速化により， 即座に計算できるようになってきたが， 手法的にはコンピュータ出現以前に考え出された 方法が数多く使われている。 1642/12/25 - 1727/3/20 Sir Isaac Newton

非線型方程式の種類 ①代数方程式 ②超越方程式（sin関数や指数関数など超越関数を含む方程式）

注意 ①複素数の範囲内では， 代数方程式の解の個数は，分かっているが， 超越方程式の解の個数は，一般的には分からない。 ②いずれの方程式を解くにしても， あらかじめ概略のグラフを描く等の手段により， 解の存在と，どの範囲に解があるかを 確認しておく必要がある。

４．１ 実根（複素数は含めない）の求め方 （１）繰返し法 ４．１　実根（複素数は含めない）の求め方 （１）繰返し法 解くべき方程式 を と置き換えることができるとき とし，適当な解の予測値 を与えて， 繰返し演算を行う。

繰返し法の例題 ［例］ 解 に急速に近づく

厳密解との比較のための式定義 繰返し法を Excel で式定義して様子を眺めよう 2次方程式の 根の公式による解

繰返し法での収束の様子 グラフを描いて確かめよう

課題（１） 下記の方程式を繰返し法を用いて， Excelで定義し， 収斂の様子をグラフで確かめること

交点における g(x) の傾きが１より大きい場合 繰返し法では，ほとんど収束しない 収束しない例

解決策 交点の傾きが 1 より小さくなるような等価な方程式に変換する。たとえば， とおけば， とすればよい。 を求めて，

解決策 ［確認］ とおいて を求めて元に戻す。

課題（２） ① 下記の方程式が繰返し法では収斂しないことを確認せよ。 ② また，どのようにすれば収斂するかを検討せよ。 ①　下記の方程式が繰返し法では収斂しないことを確認せよ。 ②　また，どのようにすれば収斂するかを検討せよ。 ③ 収斂する方法をＥｘｃｅｌで定義して提出せよ。

ＶＢＡでのプログラム Function 漸化式(X) As Double 漸化式 = (X * X + 1) / 2 '　この部分に漸化式を書く End Function Function 繰返し法(E, iter, EPS, iterMax) As Double iter = 0: X1 = 0: E = EPS * 100 Do While E > EPS And iter < iterMax iter = iter + 1 X2 = 漸化式(X1) E = Abs(X2 - X1) X1 = X2 Loop 繰返し法 = X2 Sub ボタン1_Click() R = 繰返し法(E, iter, 0.0000001, 5000) MsgBox " 繰返し回数 = " & iter & _ " 結果 = " & Format(R, "#0.0000") & " 誤差 = " & E End Sub

（２）区間縮小法 区間 の間に解が一つだけあることが分かっていれば， は， と の間で符号を変える。すなわち もし， ならば である。 ここで，中点 における関数値の正負によって区間を 縮小できる。すなわち

例題とする関数 ［例］ の場合

区間縮小法の式定義 Excel式定義で確かめてみよう（１） の場合 式が変わればここを変更

区間縮小法の収束の様子 Excel式定義で確かめてみよう（２）

ＶＢＡでのプログラム Function F(X) As Double F = X * X - X - 2 ' ここに解くべき関数を書く End Function Function 区間縮小法(E, iter, EPS, iterMax) As Double iter = 0: X1 = 1: X2 = 4: E = EPS * 100 Do While E > EPS And iter < iterMax iter = iter + 1: X = (X1 + X2) / 2: Y = F(X) If Abs(Y) < EPS Then: Exit Do ElseIf Y > 0 Then: X2 = X Else: X1 = X End If E = Abs(X2 - X1) Loop E = Abs(Y): 区間縮小法 = X Sub ボタン4_Click() R = 区間縮小法(E, iter, 0.000001, 500) MsgBox " 繰返し回数 = " & iter & " 結果 = " & _ Format(R, "#0.0000") & " 誤差 = " & E End Sub

課題（３） 下記の方程式を区間縮小法を用いて， Excelで定義し， 収斂の様子をグラフで確かめること

（３）ニュートン・ラプソン（Newton-Raphson）法 （ニュートン・ラフソン法と呼ぶ人もいるが？…ニュートン・ラプソン法が多勢） 近似値 として，真の解との誤差を とすると 左辺をテーラ展開して，1次の項までとれば したがって， は，より高い精度の近似値となる。 これを繰り返して，解に収束させていく。

ニュートン・ラプソン法の式定義 Excel式定義で確かめてみよう（１） の場合 式が変わればここを変更

ニュートンラプソン法の収束の様子 Excel式定義で確かめてみよう（２）

課題（４） 下記の方程式をニュートンラプソン法を用いて， Excelで定義し， 収斂の様子をグラフで確かめること

Function ニュートンラプソン法(E, iter, EPS, iterMax) ' X^2 - X - 2 = 0を解く Function F(X) As Double F = X * X - X - 2 ' ここに解くべき関数を書く End Function Function DF(X) As Double DF = 2*X - 1 ‘ ここに微分式を書く Function ニュートンラプソン法(E, iter, EPS, iterMax) ' X^2 - X - 2 = 0を解く iter = 0: X = 1: E = EPS * 100 Do While iter < iterMax iter = iter + 1 Y = F(X): If Abs(Y) < EPS Then Exit Do X = X - Y / DF(X) Loop E = Abs(Y): ニュートンラプソン法 = X Sub ボタン5_Click() R = ニュートンラプソン法(E, iter, 0.00001, 500) MsgBox " 繰返し回数 = " & iter & " 結果 = " & _ Format(R, "#0.0000") & " 誤差 = " & E End Sub

（４）セカント（secant）法 （secantとは，「割線」，「交差する」等の意味） 導関数を求めることができない場合，解の近似値を２個用意し， ２点を結ぶ直線とＸ軸との交点を新たな近似値とする方法。すなわち， 曲線に交差する割線 これを繰り返すことで解に収束させる。

セカント（secant）法 k 回目の式は以下のように表すことができる。 （セカント法の弱点） 初期値を２個与える必要があるので， 　　初期値を２個与える必要があるので， 　　多変数への拡張が困難である。 曲線に交差する割線

ニュートンラプソン法との比較 微分値の替わりに 割線を用いていると捉えてよい。

セカント法の式定義 Excel式定義で確かめてみよう（１） の場合 式が変わればここを変更

セカント法による収斂

課題（５） 下記の方程式をセカント法を用いて， Excelで定義し， 収斂の様子をグラフで確かめること

ＶＢＡでのプログラム（関数F(X)はニュートンラプソンと共通） Function セカント法(E, iter, EPS, iterMax) EPS = 0.00001: iter = 0: iterMax = 500 X1 = 1: X2 = 4: E = EPS * 100 Y1 = F(X1) ' X1に関する式を書く Do While E > EPS And iter < iterMax iter = iter + 1 Y2 = F(X2) ' X2に関する式を書く Y = (Y1 + Y2) / 2 If Abs(Y) < EPS Then Exit Do X = X2 - Y2 * (X1 - X2) / (Y1 - Y2) X1 = X2: X2 = X: Y1 = Y2 '前回式の保存 Loop E = Abs(Y): セカント法 = X End Function Sub ボタン6_Click() R = セカント法(E, iter, 0.00001, 500) MsgBox " 繰返し回数 = " & iter & " 結果 = " & _ Format(R, "#0.0000") & " 誤差 = " & E End Sub

課題（６） サンプルＶＢＡプログラムを用いて 以下の方法による収斂回数を比較せよ。 ① 繰返し法 ② 区間縮小法 ③ ニュートンラプソン法 　　① 繰返し法 　　② 区間縮小法 　　③ ニュートンラプソン法 　　④ セカント法