火力発電所の現場で役立てた数値解析手法 １．火力発電所での技術検討の実例 電気が届くまでの概略の経路 発電所 変電所 一般家庭 工場 送電線 タービン 発電機 変圧器 送電線 配電線

送電線の地絡故障

高速度再閉路 時間 負荷 雷による地絡事故の発生 発電機 地絡 保護装置による検出 地絡事故の両側にある遮断器の自動開放 事故電流の消滅 地絡事故の両側にある遮断器の自動投入 地絡事故からの復旧 発電機 負荷 自動投入

高速度再閉路が機器に与える影響 この現象の解析は電気と機械の複合問題 地絡事故が発生し、高速度再閉路をすると・・・ タービン 発電機 ：タービンが発電機を回すトルク ：発電機が送り出す電流により 　押し返されるトルク（反作用） 地絡事故が発生し、高速度再閉路をすると・・・ 電流により押し返されるトルクが大きく変動し、 回転軸に大きな負担がかかる。 この現象の解析は電気と機械の複合問題

質点の運動の基本式 質点 剛体の回転 力 Ｆ ［Ｎ］ トルク Ｔ ［Ｎ・ｍ］ 質量 ｍ［ｋｇ］ 慣性モーメント Ｉ［ｋｇ･ｍ２］ 力　　　　Ｆ　［Ｎ］ トルク　　Ｔ　［Ｎ・ｍ］ 質量　　ｍ［ｋｇ］ 慣性モーメント　Ｉ［ｋｇ･ｍ２］ 速度　　ｖ［ｍ／ｓ］ 角速度　ω［ｒａｄ／ｓ］ 加速度　ａ［ｍ／ｓ２］ 角加速度　　［ｒａｄ／ｓ２］ 運動方程式　 運動方程式 仕事率　Ｐ［Ｗ］＝　Ｆｖ 仕事率　Ｐ［Ｗ］＝　Ｔω

剛体の回転運動の基本式 質点 剛体の回転 力 Ｆ ［Ｎ］ トルク Ｔ ［Ｎ・ｍ］ 質量 ｍ［ｋｇ］ 慣性モーメント Ｉ［ｋｇ･ｍ２］ 力　　　　Ｆ　［Ｎ］ トルク　　Ｔ　［Ｎ・ｍ］ 質量　　ｍ［ｋｇ］ 慣性モーメント　Ｉ［ｋｇ･ｍ２］ 速度　　ｖ［ｍ／ｓ］ 角速度　ω［ｒａｄ／ｓ］ 加速度　ａ［ｍ／ｓ２］ 角加速度　　［ｒａｄ／ｓ２］ 運動方程式　 運動方程式 仕事率　Ｐ［Ｗ］＝　Ｆｖ 仕事率　Ｐ［Ｗ］＝　Ｔω ここにトルクが出てくるが、これがそのまま軸にかかるトルクというわけではない

タービンと発電機をつなぐ軸にかかるトルク ：タービンが発電機を回すトルク ：発電機が送り出す電流により 　押し返されるトルク（反作用） 発電機の回転運動の式と タービンの回転運動の式を個別に立てる。 軸のねじれにより伝達されるトルクは 作用・反作用の法則で逆向き・同じ大きさ

発電機およびタービンにはたらくトルク ﾀｰﾋﾞﾝ内部を流れる蒸気によるトルク 発電機を流れる電流によるトルク 軸のねじれにより 発電機ローター タービンローター 運転時の回転方向 （正方向） 発電機を流れる電流によるトルク 軸のねじれにより 伝達されるトルク （大きさ同じで逆向き）

発電機の運動方程式 回転運動の基本式 発電機を流れる電流によるトルク 軸のねじれにより 伝達されるトルク 運転時の回転方向 （正方向） 発電機ローター 軸のねじれにより 伝達されるトルク

タービンの運動方程式 ﾀｰﾋﾞﾝ内部を流れる蒸気によるトルク 回転運動の基本式 軸のねじれにより 伝達されるトルク タービンローター 運転時の回転方向 （正方向） 軸のねじれにより 伝達されるトルク

ねじれをどう考えるか 発電機ローター タービンローター 仮想の目印線 目 仮想の目印線 仮想の目印線 一定回転速度なら

発電機ローター タービンローター 運転時の回転方向 （正方向） 軸のねじれによるトルクは 軸のねじれによるトルク伝達は 仮想の目印線

ここまでの方程式を列挙 P 発電機の回転の運動方程式 タービンの回転の運動方程式 発電機の角速度は回転角の微分 タービンの角速度は回転角の微分 軸のねじれによるトルク伝達 変数７つに式５つ・・・短時間だから P t 一定と考えれば残るは１つ

発電機の出力は 発電機の内部誘起電圧 発電機の端子電圧 発電機の同期インピーダンス 発電機の「(内部)相差角」 ってなんだろう？

観測者が定格回転数で回っていると考える そして、出力ゼロの時の仮想の目印線を基準にして回転角を表現する。 発電機ローター タービンローター 仮想の目印線 目 そして、出力ゼロの時の仮想の目印線を基準にして回転角を表現する。 から定格回転分を差し引いた分が相差角だと考えることができる についても同様の変換をして

これですべての方程式がそろった P 発電機の回転の運動方程式 タービンの回転の運動方程式 発電機の角速度は回転角の微分 タービンの角速度は回転角の微分 軸のねじれによるトルク伝達 発電機の出力式 P t は一定値 変数変換の２式

連立微分方程式を整理すると f dt d Z EV k I g p 2 sin ) ( + - = 解けそうにない？

実際に解析したモデル もっと解けそうにない？ 刻めば解ける！ HIP LP-A LP-B Ge P１ k12 θ1 (φ1) θ2 (φ2) θ3 (φ3) θ4 (φ4) k34 k23 P２ P３ I 1 I 2 I 3 I 4 P４ 高中圧ﾀｰﾋﾞﾝ 低圧Ａﾀｰﾋﾞﾝ 低圧Ｂﾀｰﾋﾞﾝ 発電機 もっと解けそうにない？ 刻めば解ける！

２．副産物としてできた単純明快な数値解析手法 最も基本的な　オイラー法による数値解析 微分の定義式（速度と位置の例） が十分小さいときの近似式 変形すると ある瞬間における速度が、その後の微小時間継続するとみなして、 微小時間経過後の位置を求めるという考え方

オイラー法とは・・・直線近似 ：位置 ：時刻 この点における接線(速度)が 曲線を近似していると考える

オイラー法の計算例 １分きざみで速度計の読みがわかっているとき 時刻０分の時の速度を０～１分の速度だとみなす方法 570 540 8 9 10 550 610 580 590 680 450 490 4 5 6 7 1 300 2 3 時刻（分） 速度計（m/分） 570 300 550 610 580 590 680 450 490 7～8 8～9 9～10 時間内の移動(m) 0～1 時間（分） 代表速度(m/分) 1～2 2～3 3～4 4～5 5～6 6～7 4820 2630 3310 3760 4250 8 9 10 位置(m) 300 850 1460 2040 時刻（分） 1 2 3 4 5 6 7 （＋） 区間の速度を初期速度で代表させる 「前進オイラー法」とも呼ばれる

別のオイラー法 区間の速度を終期速度で代表させる 「後退オイラー法」と呼ばれる

運動方程式でのオイラー法の活用 運動方程式では加速度が関数として表されるので、 上の２式を使って計算を進めることができる。 位置と速度の関係式 速度と加速度の関係式 運動方程式では加速度が関数として表されるので、 上の２式を使って計算を進めることができる。 では、一番単純な単振動で計算してみよう。

単振動をオイラー法で計算 ・おもりの質量：ｍ＝１［ｋｇ］ ・ｔ＝０における 位置：ｘ(0)＝０.1［ｍ］、 速度：ｖ(0)＝０［ｍ／ｓ］ 自然長の状態 ・おもりの質量：ｍ＝１［ｋｇ］ ・ｔ＝０における　位置：ｘ(0)＝０.1［ｍ］、 　　　　　　　　　速度：ｖ(0)＝０［ｍ／ｓ］ ・ばね定数：ｋ＝１［Ｎ／ｍ］(ばねの質量は無視できる) ・ばねの力＝－ｘ　なので運動方程式は　ａ(t)＝－ｘ(t)　

表計算ソフトに式を入れてみる ａ（ｔ）＝－ｘ（ｔ） v（ｔ+Δｔ）＝ v（ｔ）＋ａ（ｔ）・Δｔ x（ｔ+Δｔ）＝ x（ｔ）＋v（ｔ）・Δｔ 時刻をΔｔ 進める

オイラー法で計算・グラフ作成ができた！？

しかし、よく見ると振動が発散していく・・・ 刻み時間0.01秒 刻み時間0.005秒 オイラ－法では時間の経過と共に，振動が発散 細かくきざめば精度は向上するが・・・　やはり振幅に拡大傾向

オイラー法を改善してみる 速度と加速度の関係式 位置と速度の関係式 速度を平均速度に 結果は・・・振幅の増大は改善されたが依然として発散する傾向

さらに改善してみる 位置と速度の関係式 速度を平均速度に 平均速度をこのように考える 初期速度と終期速度の比率が　０．５：０．５

初期速度と終期速度の最適比 修正オイラー法をさらに修正するための視点として、 ｘ（ｔ+Δｔ）算出に用いるｖ（ｔ）とｖ（ｔ+Δｔ）の比率に着目 区間初期速度 　ｖ（ｔ）の比率 区間終期速度　 ｖ（ｔ+Δｔ）の比率 評価 オイラー法 １ ０ 精度低い 修正オイラー法 ０．５ やや改善 さらなる改善 ？ 最適比は ０.４：０.６？ ｏｒ ０.３：０.７？ ｏｒ・・・・・？？？

思い切って ０：１ で試してみると 振幅の拡大傾向がなくなった 区間速度を終期速度で代表させるのがベスト

求めた最適比による式をながめる 速度と加速度の関係式 位置と速度の関係式 この式は後退オイラー法の式

前進オイラー・後退オイラーの組み合わせ ｢ミックスオイラー（Ｍｉｘｅｄ-Ｅｕｌｅｒ）法」と呼ぼう 計算ステップ 計算方法 オイラー法の種類 　加速度から速度への計算 前進オイラー 　速度から 位置への計算 後退オイラー 　｢ミックスオイラー（Ｍｉｘｅｄ-Ｅｕｌｅｒ）法」と呼ぼう

文献調査結果 【各手法の代表的な解説内容】 2π 非減衰自由振動方程式： ｘ”＋ ( ) 2 ｘ = 0 に対する時刻歴応答波形 T 【各手法の代表的な解説内容】　 ○オイラー法： 　『大きく発散。……不安定であり，精度も悪いため， 　　実際に用いられることは少ない』 ○ホイン法（修正オイラー法）： 　 『発散が現れる。　オイラー法より精度は改善され 　　２次の精度を有するが……あまり実用されていない』 　非減衰自由振動方程式：　ｘ”＋ (　　　) 2 ｘ = 0 　に対する時刻歴応答波形 T 2π （参考）破線は厳密解 時間刻み幅 h=0.02T h=0.05T h=0.1T 文献調査結果 発散する事実が　　　述べられている程度 単純に計算を進めることができず繰り返し計算が必要に。 しかも解析結果は減衰する。 ○後方(後退）オイラー法： 　 『安定ではあるが，精度が悪く，実用には不向き』

ルンゲクッタ４次法とミックスオイラー法との比較（ばねの単振動） 計算の手数が約１／４に圧縮，精度は同等 x[m] ｔ[s] ・ ：オイラー法 ・ ：ルンゲクッタ（４次）法 ・ ：ミックスオイラー法

ミックスオイラー法の限界 振幅は発散しないが、位相のずれが誤差として発生する

手法の限界は事実上問題あり？ また、ﾙﾝｹﾞｸｯﾀ法との併用も可能 ○ 「振動」のような実際の問題を取り扱う場合、 ○　「振動」のような実際の問題を取り扱う場合、 　　　「位相」は「振幅」ほど重要ではない。 ○　刻み時間を細かくすることによって改善が可能 また、ﾙﾝｹﾞｸｯﾀ法との併用も可能 特徴 活用方法 併用の効果 ミックス オイラー法 単純 精度やや劣 概略検討 スクリーニング ダブルチェックによる解析結果の確認が可能 ルンゲ クッタ法 複雑 精度良 　スクリーニング後の詳細検討

何故か？ （概念図で理解） 【オイラー法】 t=0 t=Δt t=2･Δt a v x 何故か？ （概念図で理解） 【オイラー法】 t=0 t=Δt t=2･Δt 加速度 a 速 度 v 変 位 x a → v → x の段階的近似において，時刻の適用は全体的に遅れ気味 【修正オイラー法】 t=0 t=Δt t=2･Δt 加速度 a 速 度 v 変 位 x オイラー法よりは改善 【ミックスオイラー法】 t=0 t=Δt t=2･Δt 加速度 a 速 度 v 変 位 x a → v 時刻の適用は遅れ v → x 時刻の適用は進み 全体的に補正しあう効果が期待できる （参考）後退オイラー法 t=0 t=Δt t=2･Δt 加速度 a 速 度 v 変 位 x a → v → x の段階的近似において， 時刻の適用は全体的に進み気味

テイラー展開的な理解① 【テイラー展開】 第１項 第２項 第３項 第（ｎ+１）項 【オイラー法】 テイラー展開の第２項までに相当

テイラー展開的な理解② 【テイラー展開】 第１項 第２項 第３項 第（ｎ+１）項 【修正オイラー法】 テイラー展開の第３項までに相当

テイラー展開的な理解③ 【テイラー展開】 【ミックスオイラー法】 テイラー展開第４項以下の合計を第３項に等しいとおいた式に相当 第１項 第２項 第３項 第（ｎ+１）項 【ミックスオイラー法】 テイラー展開第４項以下の合計を第３項に等しいとおいた式に相当

エピローグ 算出したトルクを強度評価に活用 タービン発電機の軸ねじれの解析結果 （ミックスオイラー法を活用） 主要計算シート 諸元入力シート 出力（グラフ） 算出したトルクを強度評価に活用

ミックスオイラー法を役立てる 解析が必要となる問題の認識 背景となる知識 モデル化（方程式化） 解析作業 解析作業 結果の妥当性チェック 解析手法 解析ツール の活用 解析作業 解析作業 ネックだった解析作業の難解さがﾐｯｸｽｵｲﾗｰ法により解消!! モデル化への意欲が増す 結果の妥当性チェック 解析結果の評価 問題の解決へ

エピソード･･･発電機の内部相差角を測定する アルミ箔 レーザー装置 （検出器つき） 発電機端子電圧 時刻 レーザー光線パルス 発電機無負荷運転時 ずれ 時刻 発電機負荷運転時 おわり