ベクトル空間 　　実数体 体：数の集合で四則がその中で行えるもの 例）有理数全体、実数全体、複素数全体 Ｒ：実数体　　　　　Ｃ：複素数体 　ベクトル空間 （ベクトルの和）　　　　　　　ｕ＋ｖ　　（ｕ，ｖ∈Ｖ）， （ベクトルのスカラー倍）　　ａｕ　　（ｕ∈Ｖ， ａ∈Ｒ） Ｖ：Ｒ上のベクトル空間

　ベクトル空間の性質 （ｕ，ｖ，ｗ∈Ｖ， ａ，ｂ∈Ｒ） （１）ｕ＋ｖ＝ｖ＋ｕ （２）（ｕ＋ｖ）＋ｗ＝ｕ＋（ｖ＋ｗ） （３）ｕ＋０＝０＋ｕ＝ｕ　となるベクトル０が存在する （４）ａ（ｂｕ）＝（ａｂ）ｕ （５）（ａ＋ｂ）ｕ＝ａｕ＋ｂｕ （６）ａ（ｕ＋ｖ）＝ａｕ＋ａｖ （７）１ｕ＝ｕ （８）０ｕ＝０

　　零ベクトル 　ｕ＋０＝０＋ｕ＝ｕ　（ｕ∈Ｖ） ベクトル空間の例 （１）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の列ベクトル全体 （２）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の行ベクトル全体 （３）Ｒ［ｘ］ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の多項式全体 （４）Ｃ（ａ，ｂ）：区間（ａ，ｂ）で連続な実数値関数全体

ａ1 ａn （１）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の列ベクトル全体 Ｒｎ＝ ａ＝ ａ1, ・・・ ,ａn∈Ｒ ・・・ ａ1　　　　 Ｒｎ＝　ａ＝　　　　ａ1, ・・・ ,ａn∈Ｒ　　 ・・・ ａn （２）Ｒｎ：実数を成分とするｎ次の行ベクトル全体 Ｒｎ＝ {ａ＝[ ａ1 ａ2 ・・・ ａn ] | ａ1, ・・・ ,ａn∈Ｒ} 　　 （３）Ｒ［ｘ］ｎ：実数を係数とする高々ｎ次の多項式全体 Ｒ［ｘ］ｎ＝ {ａ0xn+ａ1xn-1+ ・・・+ ａn | ａ0, ・・・ ,ａn∈Ｒ} 　　

ＷがＶの和とスカラー倍を用いてベクトル空間となる Ｗ：Ｖの部分空間 　　　部分空間 Ｗ：ベクトル空間Ｖの部分集合（Ｗ⊆Ｖ） ＷがＶの和とスカラー倍を用いてベクトル空間となる　　　 Ｗ：Ｖの部分空間 定理４.１.１ ベクトル空間Ｖの部分集合ＷがＶの部分空間 となる必要十分条件。 (i) 0∈Ｗ (ii) ｕ，ｖ∈Ｗ　ならば　ｕ＋ｖ∈Ｗ (iii)　ｕ∈Ｗ，ｃ∈Ｒ　ならば　ｃｕ∈Ｗ　　　　　　

　　　解空間 Ｗ＝｛ｘ∈Ｒｎ｜Ａｘ＝０｝ （Ａ：ｍ×ｎ行列） Ｗ：同次形の連立１次方程式　Ａｘ＝０ 　　の解空間

ｖ＝ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃnｕn＝Σｃiｕi （ｃi ∈Ｒ） 　　　　１次独立と１次従属 　　１次結合 n ｖ＝ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃnｕn＝Σｃiｕi 　（ｃi ∈Ｒ） i=1 　　１次関係 n Σｃiｕi＝ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃnｕn＝０　（ｃi ∈Ｒ） i=1 　　１次独立 ｕ1，ｕ2，・・・，ｕn　が自明でない１次関係を持たない ｃ1 ＝ ｃ2 ＝ ・・・＝ｃn＝０　に限る

基本ベクトル 1 0 ･･･ 0 0 1 ･･･ 0 0 0 ･･･ 1 e1 = , e2 = , ・・・ , en = ｃ1e1＋ｃ2e2＋・・・＋ｃnen＝０　とすると ｃ1 ＝ ｃ2 ＝ ・・・＝ｃn＝０　 Ｖ＝Ｒ［ｘ］ｎ　とする。　 1, x, ・・・,xn は一次独立　

定理４.２.１ Ｖのベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕn　が１次従属で ある必要十分条件は、ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnのうち少 なくとも１個のベクトルが他のｎ－１個のベクトル の１次結合で書けることである。 定理４.２.２ ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnが１次独立で、ｕ，ｕ1，ｕ2，・・・ ｕnが１次従属ならばｕはｕ1，ｕ2，・・・ｕnの１次結合で書ける。

定理４.２.３ Ｖのベクトルの２つの組ｖ1，ｖ2，・・・，ｖnとｕ1， ｕ2，・・・，ｕm　に対し （１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn　の各ベクトルは、ｕ1，ｕ2， 　　・・・，ｕmの１次結合で書ける。 （２）ｎ＞ｍ ならばｖ1，ｖ2，・・・，ｖnは１次従属である。

定理４.２.４ ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmが１次独立なベクトルで、Ａが ｍ×ｎ行列のとき 　　（ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ａ＝（０，０，・・・，０） ならば　Ａ＝０． 定理４.２.５ ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmは１次独立なベクトルとする。 ２つのｍ×ｎ行列Ａ，Ｂに対し 　　（ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ａ＝ （ｕ1，ｕ2，・・・ｕm）Ｂ ならば　Ａ＝Ｂである。

　ベクトルの１次独立な最大個数 １次独立な最大個数 ｒ個の１次独立な集合∈ベクトルの集合Ｘ Ｘのどのｒ個のベクトルも１次従属 ｒ：集合Ｘのベクトルの１次独立な最大個数 定理４.３.１ 　Ｖのベクトルの２つの組｛ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn｝，｛ｕ1,ｕ2， ・・・，ｕm｝　に対しｖ1，ｖ2，・・・，ｖn　の各ベクトルが、 ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmの１次結合で書けるならば、 ｛ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn｝の１次独立な最大個数≦ ｛ｕ1，ｕ2，・・・，ｕm｝の１次独立な最大個数．

定理４.３.２ 　ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmの１次独立な最大個数＝ｒ ⇔ｕ1，ｕ2，・・・，ｕmのなかにｒ個の１次独立なベクト 　ルがあり、他のｍ－ｒ個のベクトルはこのｒ個のベ 　クトルの１次結合で書ける． 定理４.３.３ ｒａｎｋ（Ａ）＝Ａの列ベクトルの１次独立な最大個数 　　　　　　＝Ａの行ベクトルの１次独立な最大個数．

定理４.３.４ 　ｎ次正方行列について、次の３条件は同値である． （１）Ａは正則行列である． （２）Ａのｎ個の列ベクトルは１次独立である． （３）Ａのｎ個の行ベクトルは１次独立である． 定理４.３.５ 　行列の簡約化は唯一通り決まる．

定理４.３.６ 　Ｖのベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕmは１次独立とする． ベクトルｖ1，ｖ2，・・・，ｖnがｍ×ｎ行列Ａを用いて 　（ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn）＝（ｕ1，ｕ2，・・・，ｕm）Ａ と書けているとする． （１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn と Ａの列ベクトル ａ1,ａ2,・・・,ａn 　　　には同じ１次関係が成り立つ． （２）　ｍ＝ｎ　のとき 　　ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn が１次独立　 ⇔　Ａが正則行列．

　　ベクトル空間の基と次元 ベクトル空間のベクトルｕ1，ｕ2，・・・，ｕnがＶを生成する Ｖのすべてのベクトルがｕ1，ｕ2，・・・，ｕnの１次結合で表される 　ベクトル空間の基 ベクトル空間Ｖのベクトルの組｛ｕ1，ｕ2，・・・，ｕn｝が次の２つの条件をみたす。 （１）ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnは１次独立である。 （２）ｕ1，ｕ2，・・・，ｕnはＶを生成する

基本ベクトル 1 0 ･･･ 0 0 1 ･･･ 0 0 0 ･･･ 1 e1 = , e2 = , ・・・ , en = a1 a2 ･･･ ＝ a1e1＋a2e2＋・・・＋anen an {e1, e2, ・・・, en} 　Ｒｎ の標準基 {1, x, ・・・,xn } 　Ｒ［ｘ］ｎの標準基

定理４.４.１ 　ベクトル空間Ｖの基に含まれるベクトルの個数 は、基の取り方によらず一定である。 ベクトル空間の次元 ｄｉｍ（Ｖ）：Ｖの次元 Ｖの１組の基を構成するベクトルの個数 （Ｖが零空間ー＞ｄｉｍ（Ｖ）＝０） 定理４.４.２ 　ベクトル空間Ｖが有限次元である必要十分条 件はＶのベクトルの１次独立な最大個数が有限 であることである。このとき 　ｄｉｍ（Ｖ）＝（Ｖのベクトルの１次独立な最大個数）

　　基本解 同次形の連立１次方程式の解空間の１組の基 　解空間の次元 Ｗ：Ａｘ＝０の解空間 ｄｉｍ（Ｗ）＝基本解の個数 ＝変数のうち任意に取れる個数 定理４.４.３ 　同次形の連立１次方程式　Ａｘ＝０　の解空間 　　Ｗ＝｛ｘ∈Ｒn｜Ａｘ＝０｝　　　　Ａ：ｍ×ｎ行列　 　の次元は次のように表される。 　　　　　ｄｉｍ（Ｗ）＝ｎ－ｒａｎｋ（Ａ）

ベクトル空間Ｖのベクトルで ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt の１次結合全体のなす集合 　ベクトルの集合で生成される部分空間 ベクトル空間Ｖのベクトルで ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt の１次結合全体のなす集合 Ｗ＝｛ｃ1ｕ1＋ｃ2ｕ2＋・・・＋ｃtｕt｜ｃi ∈Ｒ｝ はＶの部分空間である。 ＜ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt＞R： ｕ1，ｕ2，・・・，ｕtで生成 されるＶの部分空間 定理４.４.４ 　ｄｉｍ（＜ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt＞R）＝ｕ1，ｕ2，・・・，ｕt 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の１次独立な最大個数

定理４.４.５ ｄｉｍ（Ｖ）＝ｎ とする。Ｖのｎ個のベクトルｖ1，ｖ2，・・・， ｖnについて次の３条件は同値である。 （１）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn はＶの基である。 （２）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn は１次独立である。 （３）ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn はＶを生成する。