学部：天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 講義の狙い＝天体輻射の基礎的な知識を、 （１） 天文学の学習を始めた学部３年生 と、 　　　　　　　　　（１）　天文学の学習を始めた学部３年生 　　　　　　　　　　　　　と、 　　　　　　　　　（２）　学部時代に天文学の講義を取らなかった大学院生 　　　　　　　　　　　　に与える。 天体輻射に関する知識は（ほとんど）ゼロと想定しているので、どんな質問でも歓迎します。 毎授業毎に出す問題に対し、次の授業にレポートを出すと単位が取得できます。

講義のファイルは http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html に置いてあります。 質問は nakada@kiso.ioa.s.u-tokyo.ac.jp へ。

第１課： 輻射強度 Intensity １．１．フラックス（Flux）と輻射強度(Intensity) ｋ ｋ′ θ 位置＝ｘ、法線ベクトル＝ｋの微小面ｄS＝ｋｄSを考える。 ｋ ｄS=ｋdS dΩ＝ｋ´ｄΩ θ ｋ′ ｎ（ｘ、ｋ´） ｄΩ´＝ｋ´ｄΩ´＝ｋ´方向の微小立体角 ｎ（ｘ、ｋ´）＝位置ｘ、進行方向ｋ´の光子の個数密度 （ｋ・ｋ´）＝cosθ　である。 ｄＳを通る光のエネルギー ｄＦを計算してみよう。 時間ｄｔ内にｄＳを通るｄΩ´方向の光子数ｄＮは、 ｄＳのｋ´方向射影＝ｄＳ・ｋ´＝ （ｋ・ｋ´） ｄＳ＝cosθｄＳなので、 ｄＮ＝ c ｎ（ｋ´）cosθｄΩ´ｄＳ ｄｔ (c=光速） θ ｋ ｋ´ cosθｄＳ ｄＳ

ｄS=ｋdS θ ε（ν）＝ｈν＝光子のエネルギーを用いると、 時間ｄｔ内にｄＳを通るｄΩ´方向の光子のエネルギーｄＥは、 ｄＥ＝ εｄＮ 　　＝ cεｎ（ｋ´）cosθｄΩ´ｄＳ ｄｔ θ 単位時間にｄＳを通る光子エネルギーｄＦは、ｄＦ＝∫（ｄＥ/ｄｔ）ｄΩ′ dF(ｋ)=∫cεｎ（ｋ´）cos θdSｄΩ´ =ｄS∫ cεｎ（ｋ´）（ｋ・ｋ´） ｄΩ´ = ∫ cεｎ（ｋ´） （ dS・ dΩ´ ）

ＩｎｔｅｎｓｉｔｙとＦｌｕｘ Ｉ（ｋ´）＝cεｎ（ｋ´） ＝輻射強度（Intensity） Ｆ＝∫I（ｋ´）dΩ´ ＝輻射流束（Flux） Ｉ(ｋ´) Ｆ 積分 前ページの式は、Ｉ　とＦを使うと ｄＦ(ｋ) ＝ ∫I（ｋ´） dS・ dΩ´ 　　　　　=　ｄS・Ｆ 　　　　　＝ｄＳ Ｆ（ｋ） Ｆ（ｋ） Ｆ Ｆ ｋ ｄＳ 射影

改めて、輻射強度（Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ） ｋ方向微小面ｄＳを通り、同じくｋ方向の微小立体角ｄΩ方向に向かう、光子のエネルギーは単位時間当たり、 　　Ｉ（ｋ）ｄＳｄΩ である。 Ｉ（ｋ） ＝cεｎ（ｋ）は、ｋ方向の一立体角当たり、単位時間に流れるエネルギー流量である。 ｄΩ ｄＳ

改めて、フラックス ｄS=ｋdS θ ｄＳを通る光子のエネルギーは、単位時間当り Ｉ（ｋ´） F(ｋ)dＳ=dS∫Ｉ（ｋ´）cosθｄΩ´ である。 Ｉ（ｋ´） ｄS=ｋdS θ dΩ´＝ｋ´ｄΩ´ Ｆ(ｋ)は、 ｋ方向の面に対するフラックス と呼ばれる。 フラックス（輻射流束）ベクトルＦのｋ成分とみなせる。

１．２． Intensityの表示 Intensity Ｉ(ν) の単位 Ω dS dΩ 光子の振動数（ν）分布、または波長（λ）分布を考える時は、 　　　　Ｉ＝∫Ｉ（ν）ｄν ＝∫Ｉ（λ ）ｄλ　となる　Ｉ（ν）や　Ｉ（λ）を使う。 Intensity Ｉ(ν) の単位 ｄＥ＝エネルギー＝Ｊ（ジュール） ｄＳ＝面積＝ｍ２ ｄΩ＝立体角＝無次元 ｄν＝周波数＝Ｈｚ＝ｓ－１ ｄｔ＝時間＝ｓ ｄＥ＝Ｉ(ν) ｄＳｄΩｄｔｄν Ω dS dΩ 従って、Ｊ＝Ｉ(ν) ｍ２ ｓｓ－１ Ｉ(ν)=Ｊ／ｍ２ ／ｓ／ｓ－１＝Ｗ／ｍ２ ／Ｈｚ＝Ｊ／ｍ２

Ｉ（λ） ： Intensity の別な表現 Ｉ（ν）から Ｉ（λ）への変換？ ｄＥ＝Ｉ（λ）ｄＳｄΩｄｔｄλなので、前と同様に単位を揃えると、 Ｊ＝Ｉ（λ）ｍ２ ｓ ｍ　となり、 Ｉ（λ）＝Ｊ／ｍ２ ／ｓ ／ｍ＝Ｗ／ｍ３ Ｉ（ν）から Ｉ（λ）への変換？ ｄＩ＝Ｉ（ν）ｄν ＝　Ｉ（λ）ｄλ 　　　　　νλ＝ｃ　なので、 ｄν/ν＝ーｄλ/λ 　　　　　ｄＩ＝Ｉ（ν）ν（ｄν/ν） ＝　Ｉ（λ）λ（ｄλ/λ） 　　　　　と書き直すと、　　　　　　 Ｉ（ν）ν ＝　Ｉ（λ）λ 　　　である。

＝[νＩ（ν）](ｄν/ν) = [λＩ（λ）] (dλ/λ) νＩ（ν）= λＩ（λ） ｄI＝Ｉ（ν）dν=Ｉ（λ）dλ 　　＝[νＩ（ν）](ｄν/ν) = [λＩ（λ）] (dλ/λ) ln10λI(λ) logλ -1 0 0.3 1 1 2 3 I(λ) 1 2 λ 0 1 2 3

１．３．　輻射強度Ⅰ不変の法則 吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。 Ⅰ　　　　＝　　　　　　Ⅰ´

ｄＳ´から輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩ´で放射した光がＲ離れたｄＳを輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩで通過する。 dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´　　　　　ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ よって、Ⅰ＝Ⅰ´ dS´ Ⅰ´ Ｒ ｄΩ´ Ⅰ dS dΩ

もう少し詳しく光線の広がり具合を観察すると、 S S1 =X12Ω S2 =X22Ω 　Ω　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ω１=S/X12 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ω２ =S/X22

ＳをΩで出た光子の集団の運動を、位置（Ｘ、Ｓ）と運動量（Ｐ，Ω）の位相空間 の中で考える。 輻射強度一定の法則とLiouvilleの定理 ＳをΩで出た光子の集団の運動を、位置（Ｘ、Ｓ）と運動量（Ｐ，Ω）の位相空間 の中で考える。 実空間（Ｓ）で広がる。　⇔　運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定） 位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理） S S1 S0 X X１ Ω0 Ω1 Ω

Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙと位相数密度 Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν） 速度がｋ方向立体角ｄΩ内、振動数 Pz νがｄν内にある光子の位相数密度は、 　　速度がｋ方向立体角ｄΩ内、振動数 　　νがｄν内にある光子の位相数密度は、 　　ｄｎ＝ｎ（ｋ、ν）ｄΩｄν Px Pz Py dPx dPz dPy 光子の運動量ｐ分布関数　ｆ（ｐ）が直交座標系ｐｘ、ｐｙ、ｐｚで表示されている場合、ｈν＝ｃｐ＝εから、 ｄｎ＝f(p)ｄｐｘｄｐｙｄｐｚ 　　　＝ f(p)ｐ２ｄΩｄｐ＝ f(p)（ｈν/ｃ）２ （ｈ/ｃ）ｄΩｄν P p2 dΩ dＳ 上の式と見比べて、 ｎ（ｋ、ν）＝ f(p)（ｈ/ｃ）３ν２ Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν）＝ f(p)（ｈ４ν３/ｃ２ ）

１．４． 輻射強度 Ｉ の簡単な例 （Ａ） 等方的に光る壁（ｎ＝壁の法線ベクトル） １．４．　輻射強度 Ｉ の簡単な例 （Ａ）　等方的に光る壁（ｎ＝壁の法線ベクトル） Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io　（ｋ・ｎ＞０）　表面輝度（Ｓｕｒｆａｃｅ　Ｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓ） 　　　　　＝０　 （ｋ・ｎ＜０） k y x Ｉ（ｙ，ｋ）＝Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io 　（ｋが壁をヒットする時） 　　　　　＝０　　　　　　　　（ｋが壁をヒットしない時）

小さくなるが、壁の色、明るさは変わらない ｙ ｚ 点ｙから見た壁 点ｚから見た壁 小さくなるが、壁の色、明るさは変わらない

壁表面でのフラックス　F F ＝∫Io cosθｄΩ 　＝∫Io cosθ２πsinθｄθ 　＝２πIo ∫cosθsinθｄθ 　＝πIo 　黒体輻射を等方に出す壁からのフラックス　　　　Ｆo＝πＢ（Ｔ）＝σＴ４

（Ｂ）　等方的に光る球面 I（R、θ）＝Io　　（|θ|＜90°） Ｒ I（D、θ）＝Io　（ sin θ< R/D ) 　　　　　 ＝０ (otherwise) θ Ｄ F（D)=∫ I（D、θ）cosθｄΩ 　　　＝２πIo ∫cosθsinθｄθ ＝ ２πIo[sin2θ/２] 　　　＝πIo（R/D )２

球状天体のフラックスと輻射強度 ２Ｒ 半径Ｒの球表面でＩｎｔｅｎｓｉｔｙが等方的、 I(θ)＝Ａ とする。 球表面でのフラックスＦｏは？ Fo=∫I(Ω)cosθdΩ = ∫∫A cosθdφsinθdθ 　 =2πA∫0π/2cosθsinθdθ = 2πA∫01μdμ =πA ２Ｒ 球面全体からは、 Ｌ＝４πＲ２Ｆｏ＝４π２Ｒ ２Ａ

距離ＤにおけるフラックスＦ（Ｄ）と輻射強度Ｉ（Ｄ，θ） 等方的輻射強度Ａの半径Ｒの球中心から、Ｄ離れた点での　Ｉ（Ｄ，θ）とＦ（Ｄ）を求めよう D θ´ θo θ I(D,θ) Ｒ Ｉ(D,θ)＝Ｉ(Ｒ,θ′)＝Ａ　なので、 Ｆ（Ｄ）＝∫Ｉ(D,θ)cosθｄΩ＝２πＡ∫μo１μｄμ=πＡ（１－μo２）＝ πＡ（Ｒ／Ｄ）２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝Ｌ/４πＤ２　

Ｘ Ｙ Ｆ（Ｄ) Ｘ Y R I(X,θ) 　　Ａ ０　　　　θo π/2 　　　　　　θ ０　θo 　　　 π/2 　　　　　　　θ I(Y,θ) 　　Ａ D

（Ｃ）　体積輻射率ε 微小体積ｄＶからの輻射率がεｄＶのとき、εを体積輻射率と呼ぶ。光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布している時、ε＝Ｌｎである。 ｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射率をε（Ｘ）とする。ｄＳから見て、ｄΩに含まれる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄΩｄＸ内の ｄω ｄＳ ｄΩ ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ Ｘ ｄＸ 各点からｄＳを見込む角はｄω＝ｄＳ/Ｘ２である。したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、ｄＩｄＳｄΩ＝εｄＶｄω/４π＝εＸ２ｄΩｄＸｄＳ/ ４πＸ２＝（ε/４π）ｄＸｄＳｄΩ。

コラム密度と輻射強度 このように、微小長さｄＸからＩ（Ｘ）への貢献は、ｄＩ＝ （ε/４π）ｄＸ である。 このように、微小長さｄＸからＩ（Ｘ）への貢献は、ｄＩ＝ （ε/４π）ｄＸ　である。　　　 　光度Ｌの星が数密度ｎ（Ｘ）で分布している。　ε（Ｘ）＝Ｌｎ（Ｘ） コラム密度　Ｎ＝ ∫ｎ（Ｘ）ｄＸ　とすると、Ｉ（Ｘ）＝∫ｄＩ＝ （Ｌ/４π）Ｎ　となるので、上の二つの場合のように、密度分布が異なっていてもＮが等しいと、Ｉ も等しい。このように、Ｉ　は　Ｎ　と直接つながっている。

銀河の表面輝度 Ｈ 例 ＸＹ方向には無限に広がり、Ｚ方向に厚みＤ＝１００ｐｃの平らな銀河を考える。 例　　ＸＹ方向には無限に広がり、Ｚ方向に厚みＤ＝１００ｐｃの平らな銀河を考える。 　　　星の数密度は ｎ＝２ｘ１０２／ｐｃ３、星の光度は太陽と同じで　Ｌ＝Ｌｏ　とする。 　　　この星団を表面からの高さ、Ｈから観測したときの　Intensity 　Ｉo（θ）を 　　　求めよう。θは真下方向からの角度である。 Ｉ（θ） Ｈ θ １００ｐｃ

前々ページでやったように、Ｉ（θ）＝（Ｌo/４π）Ｎ（θ） ここに、 Ｎ（θ）＝ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここに、　Ｎ（θ）＝ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ 従って、Ｉ（θ）＝ （Ｌo/４π）ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ＝（１０４ /４π）（１ /ｃｏｓθ）（Ｌｏ/ｐｃ２） ５ 　　　　Ⅰ （１０３Ｌｏ/ｐｃ２） ４ ３ Ｉ（θ）にＨ（面までの距離）が入っていないことに注意せよ。 ２ １ ０ ０ ３０ ６０ ９０ θ(°）

（Ｄ）　望遠鏡のＦ比 直径Ｄ、焦点距離　ｆ　の収差なし単レンズ　Ｌ　を考える。焦点位置Ｆには天体Ａの像Ｂができている。Ｆに置いた画像検出器（写真乾板、ＣＣＤ）が受ける輻射量を考える。　 ｆ 表面輝度　Ｉ　の天体Ａ Ｄ Ｂ＝天体Ａの像 Ｌ Ｆ Ａからの光はＢ上で円錐状に焦点を結ぶ。円錐の頂角を２θo　とすると　ｔａｎθo≒ θo＝Ｄ/２ｆ　、円錐の張る立体角Ωo＝πθo２＝（π/４）（Ｄ/ｆ）２である。

Ｂでの輻射強度　 Ｉ´(θ)　＝　Ｉ　　（ θ＜θo） Ｂでのフラックス　Ｔ＝∫Ｉ´(θ) ｃｏｓθdΩ 　　　　　　　　　　　　＝ （π/４）Ｉ（Ｄ/ｆ）２ つまり、広がった天体画像の表面の明るさはＦ比＝ ｆ/Ｄ で決まる。口径が大きくても　Ｆ比（通常Ｆと書く）が大きいと画像は暗くなる。　

天文専攻の学生は、なるべくならＢを選択せよ。 問題１：　出題平成１６年１０月４日　　　提出１０月１８日 Ａ，Ｂどちらかの問いに答えよ。 天文専攻の学生は、なるべくならＢを選択せよ。 Ａ．太陽光度（Ｌ＝Ｌｏ）の星からなるリング状銀河がある。リングの形状は、　　　　　　　　　　厚み　Ｗ＝１ｋｐｃ、　外半径　Ｒ１＝１０ｋｐｃ、　内半径　Ｒ２＝８Ｋｐｃ　　　　　　　　である。リング内の恒星密度分布は一様で、ｎ＝１００星／ｐｃ３である。この銀河　　を１Ｍｐｃ離れて真横から観測したときの輝度分布　Ｉ（Ｗ／ｍ２）を、中心から縁方　　向への角度θの関数として表わせ。 　　さらに結果を図示せよ。 グラフの縦軸は log I （Ｗ／ｍ２） 　横軸はθ（′） を使用すること。 θ

Ｂ．太陽光度（Ｌ＝Ｌｏ）の星からなる、半径Ｒ＝１０ｐｃの球対称な星団がある。この　　星団を距離Ｄ＝１０ｋｐｃ離れた点から観測し、下のような輝度分布 Ｉ（θ） を得た。 　　　　　　Ｉ＝Ｉｏ［１－（θ／θ ｏ）２］　 　　　　　　ここに、　Ｉｏ＝３．３６　１０－８　Ｗ／ｍ２　　は中心方向の表面輝度、 　　　　　　　　　　　　θ ｏ＝３．４４′は星団の中心から縁までの角度である。 　星団内部の恒星密度分布　ｎ（ｒ）を中心からの距離　ｒ　も関数として表わせ。 　次に、その結果を縦軸　ｎ（個／ｐｃ３）、横軸　ｒ（ｐｃ）のグラフとして図示せよ。

点光源では？ 点光源からの輻射強度の定義にはこれまでの方法が通用しない。 点光源に対しては、通常、フラックスのみ使用する。