第7回 二項分布（続き）、幾何分布 確率･統計Ⅰ ここです！ 確率変数と確率分布 確率変数の同時分布、独立性 確率変数の平均 確率変数の分散 確率変数の共分散 ベルヌイ試行、二項分布 二項分布（続き）、幾何分布 ポアソン分布 正規分布 正規分布（続き） 大数の法則、中心極限定理 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） ここです！

確率･統計Ⅰ 第7回 二項分布（続き）、幾何分布など ここです！ 確率論とは 確率変数、確率分布 確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均 確率変数の平均（続き）、確率変数の分散 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式 ベルヌイ試行と二項分布 二項分布（続き）、幾何分布など 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布 正規分布とその性質 i.i.d.の和と大数の法則 中心極限定理 統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係） 統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定） ここです！

二項分布（続き）、幾何分布 二項分布の平均・分散 幾何分布 ・幾何分布の式 ・幾何分布の平均と分散の公式 ・クーポンコレクター問題

二項分布の平均と分散 平均 分散 X が二項分布 B(n, p) に従うとき、 （問） 二項分布の式を用いて、これを証明せよ。 平均が np になるのは、直感的には当然。(「1回あたりpの割合で起こるのだから、n回あたりだと np の割合で起こるであろう。」） 　（問）のヒント：階乗を用いる方法（代数的方法）のほかに、微分を用いる方法（解析的方法）もある。 　 さらに進んで、独立確率変数の和を用いる方法（確率論的方法）もある。 （問） 二項分布の式を用いて、これを証明せよ。

二項分布 B(n, p) のグラフ p = 0.5 n = 4 np=2 約3割 約4割 約3割 成功確率p=1/2 だから、n=4回の場合、平均2回は「成功」のはずである。じっさい、X=2 の確率がいちばん大きい。 しかし、それだけ（X=2だけ）では40％もない。「一回以下」X≦1 の確率も30%以上ある。（「3回以上」も同じだけある。） 約3割 約4割 約3割

二項分布 B(n, p) のグラフ p による変化 np=1 (n = 10) np=2 np=3 np=4 np=5

二項分布 B(n, p) のグラフ n による変化 (p = 0.2) np=0.1 np=10 ～50は省略 50 ただし Xのとりうる値x の範囲も広がるから、個々の x に対する確率は小さくなる。（グラフが平坦になり、しまいには苔かカビのようになる…） ～50は省略 50

［再演習］ 確率変数と分布関数・平均・分散 (離散的な場合) ［再演習］ 確率変数と分布関数・平均・分散 (離散的な場合) [1] 偏りのないコインを3回投げる実験で、表の出る回数を X とする。 (1) 確率変数 X の確率分布を求めよ。 (2) Xの平均 E(X) 、分散 V(X) を求めよ。 (3) 表が出たら2ドル貰え、裏が出たら1ドル失うとして、獲得金額を Y とするとき、確率変数 Y の平均 E(Y) 、分散 V(Y) を求めよ。 （二項分布の概念と公式を利用して求め、 前の労力および結果と比較せよ） まったく同じ問題を、第4回の最後のところで解いた。（そのときは直接考えた。） ヒント： (1) 長さ3のベルヌイ試行（成功確率1/2）だから、B( 3, 1/2 ) (2) 二項分布の平均・分散の公式を用いれば E(X) = np = 3×(1/2), V(X) = npq = 3×(1/2)×(1/2) (3) Y = 2X – (3-X)

［まとめ演習］ 二項分布とその平均・分散 [2] 1/100で当たるくじを考える。 (1) 100回引いて、ちょうど1回当たる確率を求めよ。 ［まとめ演習］ 二項分布とその平均・分散 [2] 1/100で当たるくじを考える。 (1) 100回引いて、ちょうど1回当たる確率を求めよ。 (2) 100回引いて、1回も当たらない確率を求めよ。 (3) 100回引いたときに当たる回数 X の、平均および分散を求めよ。 (4) 「少なくとも1回当たる」確率が75%以上であるためには、最低何回引く必要があるか。 ヒント： (1) 100C1 (0.01) (0.99)99 = 100・0.01・0.37 = 0.37 37% (2) 100C0 (0.01)0 (0.99)100 = (0.99)100 = 0.366 36.6% (3) E(X)=100・0.01 = 1 V(X)=100・0.01・0.99 = 0.99 (4) 1 - (0.99)n ≧ 0.75 n≧137.9…

二項分布（続き）、幾何分布 二項分布の平均・分散 幾何分布 ・幾何分布の式 ・幾何分布の平均と分散の公式 ・クーポンコレクター問題

幾何分布 (1/6)がp, (5/6)がq=1-p 例： サイコロを何度も投げ、初めて1が出るまでの回数 を X とする。 X の確率分布は「成功」確率 p=1/6 の幾何分布。 X 1 2 3 4 …… 確率 各事象 X=r には、ちょうどひとつずつの根元事象が対応している。この点も二項分布と異なる。 (1/6)がp, (5/6)がq=1-p

幾何分布 ・幾何分布のパラメータは、 p だけ (q=1-p) 一般に、 X が幾何分布（パラメータ p ） に従う場合の確率分布表 X 1 2 3 …… r 確率 p q p q2 p qr-1 p r→∞のとき、確率→0 であることにも注意。永遠に「成功」しない確率はゼロ。 ・幾何分布のパラメータは、 p だけ　(q=1-p)

幾何分布 確率変数 X の確率分布 P( X = x ) が次の式で与えられるとき、「Xはパラメータ p の幾何分布に従う」と言う： 幾何級数（等比級数）の項になっていることから、幾何分布と呼ぶ。 問のヒント：等比級数の和の公式を使う。 （問） これが確かに確率分布であることを確かめよ。

幾何分布になる例 ・（無限）べルヌイ試行（一回あたりの「成功」確率pとする）で、はじめて「成功」するまでの回数を X とする。 （離散型） 「幾何分布」と呼ぶ理由は、分布の各項が「幾何級数」の各項になっているからであるが、数列・級数のほうで「幾何級数」はすでに古い用語であり、「等比数列」「等比級数」が一般的になっているのに、確率論のほうだけ古い用語が残っているのは変ではある。 「等比分布」と呼ぶほうがよいのだろうが、伝統習慣にはなかなか逆らえない？ 幾何分布のパラメータ p （幾何分布には特に記号はない）

幾何分布（例題） 確率変数 X を「勝負がつくまでの回数」とすると、 X は パラメータ p = 2/3 の幾何分布に従う。 例題：2人がじゃんけんをするとき、グー・チョキ・パーを出す確率はどれも1/3ずつとする。2回目までに勝負がつく確率を求めよ。 確率変数 X を「勝負がつくまでの回数」とすると、 「勝負がつく」を｢成功」と考える。グー・チョキ・パーの組み合わせは全部で3×3の9とおり。そのうちアイコは3とおりだから、 「成功」は 6 / 9 = 2 / 3 、「失敗」は 3 / 9 = 1 / 3 X は パラメータ p = 2/3 の幾何分布に従う。

幾何分布（例題） 確率変数 X を「勝負がつくまでの回数」とすると、 X は パラメータ p = 2/3 の幾何分布に従う。 よって 「勝負がつく」を｢成功」と考える。グー・チョキ・パーの組み合わせは全部で3×3の9とおり。そのうちアイコは3とおりだから、 「成功」は 6 / 9 = 2 / 3 、「失敗」は 3 / 9 = 1 / 3 ちなみに3回目までだと、26 / 27 = 0.96 となる。

幾何分布の平均と分散 平均 分散 X が幾何分布（パラメータ p） に従うとき、 （問） 幾何分布の式を用いて、これを証明せよ。 　（問）のヒント：二項分布の場合の証明のうち、この場合にも使えるのは、微分を用いる方法。 分散 （問） 幾何分布の式を用いて、これを証明せよ。

クーポンコレクター問題 n種類のクーポンが、毎回1/nずつの等確率で出るくじを考える。はじめてn種類目が出る回数 X の期待値はいくらか。 答： アサヒ飲料「Teao」の広末バッジ（12種類）とかハトムギ茶をはじめ、トレカ・ガシャポン・ボトルキャップ・チョコエッグなど、応用は広い（笑）。 この式によると、たとえばn=7のときE(X)=18.2 n=10のときE(X)=29.3 などどなる。

クーポンコレクター問題 考え方 1種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値 …1 2種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値 …n/(n-1) 理由： すでに1種は持っているから、目当てのクーポンはn-1種類。それらが出る確率は p = (n-1)/n パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p 条件付(?)期待値を次々足して意味があるのか？というもっともな疑問を抱くかもしれない。 もっと正確に論ずるには、k種類目のクーポンを得たあとk+1種類目のクーポンを得るまでの回数を Xk とおく。 Xk は p = (n-k) / n の幾何分布に従う（本当は、これは自明ではない）。これを認めれば、もちろん E(Xk) = 1/p = n/(n-k) X = X0+X1+X2+…+Xn-1 だから、E(X) = E(X0)+E(X1)+E(X2)+…+E(Xn-1) = n/n + n/(n-1) + n/(n-2) + … + n/1 となる。 3種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値 …n/(n-2) 理由： すでに2種は持っているから、目当てのクーポンはn-2種類。それらが出る確率は p = (n-2)/n パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p

クーポンコレクター問題 以上を加えれば、答えを得る。 考え方 3種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値 …n/(n-2) 理由： すでに2種は持っているから、目当てのクーポンはn-2種類。それらが出る確率は p = (n-2)/n パラメータ p の幾何分布の期待値だから、1/p …… 以下同様 …… 条件付(?)期待値を次々足して意味があるのか？というもっともな疑問を抱くかもしれない。 もっと正確に論ずるには、k種類目のクーポンを得たあとk+1種類目のクーポンを得るまでの回数を Xk とおく。 Xk は p = (n-k) / n の幾何分布に従う（本当は、これは自明ではない）。これを認めれば、もちろん E(Xk) = 1/p = n/(n-k) X = X0+X1+X2+…+Xn-1 だから、E(X) = E(X0)+E(X1)+E(X2)+…+E(Xn-1) = n/n + n/(n-1) + n/(n-2) + … + n/1 となる。 n種類目のクーポンが現れるまでの回数の期待値 …n/1 以上を加えれば、答えを得る。

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