線形写像 　線形写像 Ｕ，Ｖ：Ｒ上のベクトル空間 Ｔ：ＵからＶへの写像 （１）Ｔ（ｕ＋ｖ）＝Ｔ（ｕ）＋Ｔ（ｖ）　　（ｕ，ｖ∈Ｕ）， （２）Ｔ（ｃｕ）＝ｃＴ（ｕ）　　（ｕ∈Ｕ， ｃ∈Ｒ） Ｔ：線形写像 Ｔ（０U）＝Ｔ（０・０U）＝０・Ｔ（０U）＝０V Ｕの零ベクトルをＶの零ベクトルにうつす

Ｕ Ｖ 写像Ｔ u T(u) v T(v ) u + v T(u + v ) ＲｎからＲｍへの写像TA TA(x)=Ax (x∈Ｒｎ)　　　　Ａ：m×n行列 TA(x＋ｙ)=A(x＋ｙ)= A(x)＋A(ｙ)= TA(x)＋TA(ｙ) (x，ｙ∈Ｒｎ) TA(cx)=A(cx)= cA(x)= cTA(x) (x∈Ｒｎ，c ∈Ｒ)

（１）Ｔの像 Ｉm（Ｔ）はＶの部分空間である。 （２）Ｔの核 Ｋer（Ｔ）はＵの部分空間である。 　　線形写像の像と核 Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 Ｉm（Ｔ）：Ｔの像　　（Ｔ（Ｕ）とも書く） Ｉm（Ｔ）＝｛Ｔ（ｕ）｜ｕ∈Ｕ｝ Ｋer（Ｔ）：Ｔの核　 Ｋer（Ｔ）＝｛ｕ∈Ｕ｜Ｔ（ｕ）＝０v ｝ 定理５.１.１ Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 （１）Ｔの像 Ｉm（Ｔ）はＶの部分空間である。 （２）Ｔの核 Ｋer（Ｔ）はＵの部分空間である。 　

Ｕ Ｖ Ｉm（Ｔ） 写像Ｔ Ｕ Ｖ Ker（Ｔ） 写像Ｔ

線形写像の階数と退化次数 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｒａｎｋ（Ｔ）：Ｔの階数 ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｉm（Ｔ）） 　線形写像の階数と退化次数 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｒａｎｋ（Ｔ）：Ｔの階数 ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｉm（Ｔ）） ｎｕｌｌ（Ｔ）：Ｔの退化次数　 ｎｕｌｌ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｋer（Ｔ）） 定理５.１.２ Ｕ，Ｖ：ベクトル空間 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 　ｎｕｌｌ（Ｔ）＋ｒａｎｋ（Ｔ）＝ｄｉｍ（Ｕ）．

ＲｎからＲｍへの写像TA TA(x)=Ax (x∈Ｒｎ)　　　　Ａ：m×n行列 Ｋer（TA） ＝｛x ∈Ｒｎ｜ Ax ＝０｝ 解空間 A＝[ ａ1 ａ2 ・・・ ａn ] 　 Ｉm（ TA ）＝｛ Ax｜ x ∈Ｒｎ｝ ＝｛ x1ａ1＋x2ａ2＋・・・＋xnａn｜x1, ・・・,xn ∈Ｒ｝ 列ベクトルで生成されるＲｍの部分空間

　　線形写像の表現行列 　表現行列 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｕの基 ｛ｖ1，・・・，ｖm｝：Ｖの基 （Ｔ（ｕ1），・・・，Ｔ（ｕn））＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ａ （Ａ：ｍ×ｎ行列） 行列Ａ：Ｕの基｛ｕ1，・・・，ｕn｝，Ｖの基｛ｖ1，・・・，ｖm｝　　　　 　　　　　に関するＴの表現行列

Ｕ Ｖ 写像Ｔ v1 u1 T(u1) ui vi T(ui) vm un T(un) （Ｔ（ u1），・・・，Ｔ（un））＝（ v1，・・・， vm）Ａ

例） Ｔ：Ｕ＝Ｒ２からＶ＝Ｒ３への線形写像 1 3 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ 標準基 100 010 001 10 01 ｅ１＝　　　，ｅ２＝ ｅ’１＝　　 , ｅ’２＝ , ｅ’3＝ 1 3 (Ｔ(ｅ1)，Ｔ(ｅ2))＝(ｅ’1，ｅ’2，ｅ’3) 1 3 標準基に関するＴの表現行列　　Ａ＝　　

｛ｕ1，・・・，ｕn｝， ｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝ ：Ｕの基 ｛ｖ1，・・・，ｖm｝， ｛ｖ’1，・・・，ｖ’m｝ ：Ｖの基 　表現行列と基の変換行列 Ｔ：ＵからＶへの線形写像 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝， ｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝ ：Ｕの基 ｛ｖ1，・・・，ｖm｝， ｛ｖ’1，・・・，ｖ’m｝ ：Ｖの基 （ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ （ｖ’1，・・・，ｖ’m）＝（ｖ1，・・・，ｖm）Ｑ （Ｐ，Ｑ：正則行列） 行列Ｐ，Ｑ：基の変換行列

Ｕ Ｖ 写像Ｔ 表現行列Ａ 変換行列Ｐ 変換行列Ｑ Ｕ Ｖ 写像Ｔ 表現行列Ｂ e’1 e1 T(e1) ei e’i T(ei) e’m en 表現行列Ａ T(en) 変換行列Ｐ 変換行列Ｑ Ｕ Ｖ v1 u1 T(u1) ui 写像Ｔ vi T(ui) vm un T(un) 表現行列Ｂ

Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn},{ｖ1，・・・，ｖm}に関する表現行列 定理５.２.１ Ｔ：ベクトル空間ＵからＶへの線形写像 　　　　　　　　　Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ． Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn},{ｖ1，・・・，ｖm}に関する表現行列 Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n},{ｖ’1，・・・，ｖ’m}に関する表現行列 線形変換：ベクトル空間から自分自身への線形写像 定理５.２.２ 　　　　　　　　　Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ． ｛ｕ1，・・・，ｕn｝， ｛ｕ’1，・・・，ｕ’n｝ ：Ｕの基 （ｕ’1，・・・，ｕ’n）＝（ｕ1，・・・，ｕn）Ｐ　（Ｐ：変換行列） Ａ：{ｕ1，・・・，ｕn}に関する表現行列 Ｂ：{ｕ’1，・・・，ｕ’n}に関する表現行列

Ｐ＝［ｐij］nxn （Ｔ（ｕ’1），・・・，Ｔ（ｕ’n）） ＝（Ｔ（ｐ11ｕ1＋・・・＋ｐn1ｕn ），・・・，Ｔ（ｐ1nｕ1＋・・・＋ｐnnｕn）） ＝(ｐ11Ｔ(ｕ1)＋・・・＋ｐn1Ｔ(ｕn)，・・・，ｐ1nＴ(ｕ1)＋・・・＋ｐnnＴ(ｕn）） ＝(Ｔ(ｕ1),・・・,Ｔ(ｕn))Ｐ ＝(ｖ1，・・・，ｖm)ＡＰ (Ｔ(ｕ’1),・・・,Ｔ(ｕ’n))Ｐ＝ (ｖ’1,・・・,ｖ’m)Ｂ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ (ｖ1,・・・,ｖm)ＡＰ＝(ｖ1,・・・,ｖm)ＱＢ Ｂ＝Ｑ－１ＡＰ

3 0 0 1 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ　　（ｘ∈R２） T(e2)=e2 e2 Ｔ e1 T(e1)=3e1

　　固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトル Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 Ｔ（ｕ）＝λｕ　　　（ｕ∈Ｖ，ｕ≠０， λ∈Ｒ） λ：Ｔの固有値 ｕ：（固有値λに属する）Ｔの固有ベクトル 例） 7 -6 3 -2 Ｔ（ｘ）＝　　　　　　ｘ　　（ｘ∈R２） 21 21 8 4 ｕ＝　　　とすると Ｔ（ｕ）＝　　　　＝ 4　 　＝４ｕ　

　固有空間 Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 Ｗ（λ；Ｔ）＝｛ｕ∈Ｖ｜Ｔ（ｕ）＝λｕ｝　 　固有多項式 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜　　　　Ａ：正方行列 行列Ａの固有値：ｇA(ｔ)＝０　の根（複素根も含む） ＴA（ｘ）＝Ａｘ　　 　Ａｘ＝λｘ 　Ａｘ＝λＥｘ （λＥ－Ａ）ｘ＝０ ｘ（≠０）が存在する必要十分条件： 　　　λＥ－Ａが正則行列でない

ｆ（ｔ）＝ａmｔm＋ａm-1ｔm-1＋・・・＋ａ1ｔ＋ａ0 定理５.３.１ λがＴAの固有値　　　　ｇA(λ)＝０ 一般に多項式 ｆ（ｔ）＝ａmｔm＋ａm-1ｔm-1＋・・・＋ａ1ｔ＋ａ0 と正方行列Ａに対して ｆ（Ａ）＝ａmＡm＋ａm-1Ａm-1＋・・・＋ａ1Ａ＋ａ0Ｅ と定義する。 定理５.３.２（ケーレー・ハミルトンの定理） 　ｇA(ｔ)が正方行列Ａの固有多項式ならば 　　　　　ｇA(Ａ)＝０

Ａ：Ｔの｛ｕ1，・・・，ｕn｝に関する表現行列 ｇT（ｔ）：Ｔの固有多項式（＝Ａの固有多項式） 一般の場合の固有値と固有空間の計算 Ｔ：ｎ次元のベクトル空間Ｖの線形変換 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの１組の基 Ａ：Ｔの｛ｕ1，・・・，ｕn｝に関する表現行列 ｇT（ｔ）：Ｔの固有多項式（＝Ａの固有多項式） ｇT（ｔ）＝ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜ ｇB(ｔ)＝｜ｔＥ－Ｂ｜＝ ｜ｔＰ－１ＥＰ－Ｐ－１ＡＰ｜ 　　 ＝ ｜Ｐ－１（ｔＥ－Ａ）Ｐ｜＝ ｜ｔＥ－Ａ｜＝ｇA(ｔ) 定理５.３.3 Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 λがＴの固有値　　　　ｇT(λ)＝０

　　行列の対角化 　同値な行列 Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列 Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ　となる正則行列Ｐが存在する Ａ，Ｂは同値である。 行列の対角化 Ａ：正方行列 Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ：対角行列 行列Ａの対角化：正則行列Ｐと対角行列Ｂを求める

Σｄｉｍ（Ｗ（λi；Ｔ））≦ｄｉｍ（Ｖ） r 定理５.４.１ Ｔ：ベクトル空間Ｖの線形変換 λ1, ・・・λr：Ｔの相異なる固有値 　　　Σｄｉｍ（Ｗ（λi；Ｔ））≦ｄｉｍ（Ｖ） r i=1 定理５.４.２ Ａ：ｎ次実正方行列 λ1, ・・・λr：Ａの相異なる実固有値の全体 ＡがＲ上対角化される必要十分条件 　　　Σｄｉｍ（Ｗ（λi；ＴA））＝ｎ． r i=1

ｕｉ１,・・・ｕｉｎi：Ｗ（λi；ＴA）の基 Ｐ＝［ｕ１１・・ｕ１ｎ1・・・ｕｒ１・・ｕｒｎr］ Ｔ（ｕｉｋ）＝Ａｕｉｋ＝λｉｕｉｋ λ１ ｎ1 ・ ０ ・ λ１ ＡＰ＝ＰＢ，　　　Ｂ＝ ・ ・ λｒ ｎr ・ Ｂ＝Ｐ－１ＡＰ ０ ・ λｒ

　　　内積空間 　　内　積 ｕ，ｖ：Ｒ上のベクトル空間Ｖのベクトル ２つのベクトルｕ，ｖに対して実数（ｕ，ｖ）を対応させる対応（　，　）が次の４条件を満たす （１） （ｕ＋ｕ’，ｖ）＝ （ｕ，ｖ）＋ （ｕ’，ｖ） （２） （ｃｕ，ｖ）＝ ｃ（ｕ，ｖ） （３） （ｖ，ｕ）＝ （ｕ，ｖ） （４） ｕ≠０　ならば　 （ｕ，ｕ）＞０

例） ａ1 ａn ｂ1 ｂn ・ ・ ａ＝ ，ｂ＝ ａ，ｂ∈Ｖ（＝Ｒｎ） ・ ・ （ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ａ１ｂ１＋・・・＋ａｎｂｎ Ｒｎの標準的な内積 （１） （ａ＋ａ’，ｂ）＝ ｔ（ａ＋ａ’）ｂ＝ｔａｂ＋ｔａ’ｂ ＝ （ａ，ｂ）＋ （ａ’，ｂ） （２） （ｃａ，ｂ）＝ ｔ（ｃａ）ｂ＝ｃｔａｂ＝ｃ（ａ，ｂ） （３） （ａ，ｂ）＝ｔａｂ＝ｔ（ｔａｂ）＝ｔｂａ＝（ｂ，ａ） （４） ａ≠０　ならば　 （ａ，ａ）＝ｔａａ＞０

　ベクトルのノルム ∥ｕ∥＝　√（ｕ，ｕ） ｕ のノルム または 長さ 例） Ｖ＝Ｒｎ，　　ｕ＝ 3 -2 ∥ｕ∥＝　√32 + (-2)2 ＝ √ 13

（３） ∥ｕ＋ｖ∥ ≦ ∥ｕ∥ ＋∥ｖ∥ （三角不等式） 定理６.１.１ 　内積空間Ｖのノルムについて次が成り立つ 　　　　　　　　　　　　　　　（ｕ，ｖ∈Ｖ，ｃ∈Ｒ） （１） ∥ｃｕ∥＝ｃ∥ｕ∥ （２） ｜（ｕ，ｖ）｜≦ ∥ｕ∥ ・∥ｖ∥ 　　　　　（シュヴァルツの不等式） （３） ∥ｕ＋ｖ∥ ≦ ∥ｕ∥ ＋∥ｖ∥　　（三角不等式） ｎ ｎ ｎ （２）　（Σｕｉｖｉ）２ ≦ （Σｕｉ２） （Σｖｉ２） ｉ＝１ ｉ＝１ ｉ＝１

零ベクトルでないベクトル ｕ１，・・・，ｕｒ が互いに 直交すれば１次独立である。 　ベクトルの直交 （ｕ，ｖ）＝０ 定理６.１.２ 　零ベクトルでないベクトル　ｕ１，・・・，ｕｒ　が互いに 直交すれば１次独立である。 ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ＝０　　とおく。 ｒ ０＝（ｕｉ，ｃ１ｕ１＋・・・＋ｃｒｕｒ）＝ Σ ｃｊ（ｕｉ，ｕｊ）＝ｃｉ（ｕｉ，ｕｉ） 　 ｊ＝１ （ｕｉ，ｕｉ） ≠０　だから　　ｃｉ＝０　　（１≦ｉ≦ｒ）

　　正規直交基と直交行列 　正規直交基 ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：Ｖの基 （ｕｉ，ｕｊ）＝δｉｊ　　　（１ ≦ｉ，ｊ≦ｎ） 定理６.２.１　（シュミットの直交化） ｛ｖ1，・・・，ｖn｝：Ｖの１組の基 となる、正規直交基｛ｕ1，・・・，ｕn｝　が存在する。 ＜ｕ1，・・・，ｕr＞R ＝＜ｖ1，・・・，ｖr＞R　　 （１≦ｒ≦ｎ）

ｖ’２＝ｖ２－（ｖ２，ｕ１）ｕ１， ｕ２＝ｖ’２／ ∥ｖ２ ∥ ｕ１＝ｖ１／ ∥ｖ１ ∥　　　 　　　∥ｕ１ ∥＝１ ｖ’２＝ｖ２－（ｖ２，ｕ１）ｕ１，　　　ｕ２＝ｖ’２／ ∥ｖ２ ∥ （ｕ１，ｕ２）＝０　，　　∥ｕ２ ∥＝１ ＜ｕ1，ｕ2＞R＝ ＜ｕ1，ｖ2＞R＝ ＜ｖ1，ｖ2＞R ｒ ｖ’ｒ＋１＝ｖｒ＋１－ Σ （ｖｒ＋１，ｕｉ）ｕｉ， ｉ＝１ ｕｒ＋１＝ｖ’ｒ＋１／ ∥ｖｒ＋１ ∥ （ｖ’ｒ＋１，ｕｉ）＝０　（１≦ｉ≦ｒ）　だから　 （ｕｒ＋１，ｕｉ）＝０　 ＜ｕ1，・・・，ｕr，ｕr+1 ＞R＝ ＜ｕ1，・・・，ｕr，ｖr+1 ＞R ＝　＜ｖ1，・・・，ｖr，ｖr+1 ＞R

110 131 2 -1 1 v１＝　　 , v ２＝ , v 3＝ 110 110 1 1 u１＝ 　＝　　　 　　　　　　　　正規化 ||v１ || √ 2 131 110 -1 1 1 4 1 v’２＝v２－（v２，u１）u１ ＝ － ＝ 　　　 √ 2 √ 2 直交化 -1 1 1 1 1 u ２ ＝ v’２ ＝　　　 　　　　　　　　正規化 || v’２ || √ 3 1 -1 2 5 v’3＝v3－（v3，u１）u１ － （v3，u2）u2 ＝ 　　　 6 直交化

｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基 ｕ＝ａ１ｕ1＋・・・ ＋ａnｕn ， ｖ＝ｂ１ｕ1＋・・・ ＋ｂnｕn 定理６.２.２ ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基 　ｕ＝ａ１ｕ1＋・・・ ＋ａnｕn ，　ｖ＝ｂ１ｕ1＋・・・ ＋ｂnｕn 　と書くと　　　（ｕ，ｖ）＝ａ１ｂ１ ＋・・・ ＋ａnｂn ｎ ｎ 　　（ｕ，ｖ）＝ Σ Σａｉｂｊ （ｕｉ，ｖｊ）＝ａ１ｂ１ ＋・・・ ＋ａnｂn ｉ＝１ ｊ＝１ 　直交変換 （Ｔ（ｕ） ，Ｔ（ｖ））＝ （ｕ，ｖ）　　　 （ｕ，ｖ∈Ｖ） 定理６.２.３ ｛ｕ1，・・・，ｕn｝：内積空間Ｖの正規直交基 　　　Ｔは直交変換　 　 （Ｔ（ｕ1） ，・・・，Ｔ（ｕn ）） 　　　　　　　　　　　　　　　　はＶの正規直交基

　直交行列 ｔＰＰ＝Ｅｎ　　　（Ｐ：ｎ次の実正方行列） 定理６.２.４ Ａ：ｎ次の実正方行列 　　ＴＡ（ｘ）＝Ａｘ　　　　（ＴＡ：Ｒｎ→Ｒｎ）　　と定義する。 　　　Ａが直交行列　 　ＴＡ　が直交変換 定理６.２.５ Ａ：ｎ次の実正方行列　　　Ａ＝｛ａ１，・・・，ａｎ｝ 　　　Ａは直交行列　 　 ｛ａ１，・・・，ａｎ｝はＲｎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　の正規直交基

複素共役 複素数α＝ａ＋bi　（ｉ＝√－１） 　　　　α＝ａ－bi　： αの複素共役 定理６.３.１ 　実対称行列の固有値は全て実数である。 行列の（上）三角化 Ａ：正方行列 Ｐ－１ＡＰ：上三角行列 行列Ａの（上）三角化：正則行列Ｐと上三角行列 　　　　　　　　　　　　　　Ｐ－１ＡＰを求める

＊ ０ 定理６.３.２ ｎ次実正方行列Ａの固有値が全て実数ならばＡ は直交行列を用いて上三角化できる。 λ１ ・ Ｐ－１ＡＰ＝ ，　　ｄｅｔ（Ｐ）＝１ ・ ０ λｎ 定理６.３.３ Ａがｎ次実対称行列ならば、次の直交行列Ｐが存 在する。 λ１ ０ ・ Ｐ－１ＡＰ＝ ，　　ｄｅｔ（Ｐ）＝１ ・ ０ λｎ

Ａ＝ １ 2 -1 ２ -2 2 -1 2 1 t-１ -2 1 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝(t-1)2(t+2)+8 １ 2 -1 Ａ＝ ２ -2 2 -1 2 1 t-１ -2 1 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝(t-1)2(t+2)+8 -２ t+2 -2 1 -2 t-1 － {(t+2)+8(t-1)} ＝(t-1)2(t+2)-9t+14 ＝t3-12t+16 ＝(t-2)2(t+4) λ＝2,-4 （λＥ－Ａ）ｘ＝０ λ＝2のとき １ -2 1 １ -2 1 ｘ＝０ 簡約化 ｘ＝０ -２ 4 -2 0 0 0 1 -2 1 0 0 0

Ａ＝ x = x 2 x - 3 x - x = 0 x + 2 x - 3 x = 0 1. 2 -3 -1 1 2 -3 2 -3 -1 1 2 3 Ａ＝ x = x + 1 2 -3 2 x - 3 x = 0 1 2 3 Ｗ＝｛ x ∈Ｒ3｜Ａx ＝０｝ (i) x ＝０ を代入。　Ａ０ ＝０ だから　０ ∈Ｗ (ii) x ，y ∈Ｗ　とすると　　　　　 Ａ( x ＋ y ) ＝Ａx ＋Ａy ＝ ０＋０ ＝０ だから　x ＋ y ∈Ｗ　　　　　 (iii)　x ∈Ｗ，ｃ∈Ｒ　とすると　　　　　　　 Ａ(ｃx) ＝ｃ(Ａx) ＝ｃ０＝０ だから　ｃx ∈Ｗ

2. 312 231 5 -3 4 312 231 5 -3 4 c１　　 +c ２ + c 3 ＝ 0 132 321 -3 5 4 1 c 2 3 312 231 5 -3 4 ＝ 0 1 3 -3 0 -7 14 0 -5 10 解が一意に定まらない。 1 3 -3 0 1 -2 c１ ＝ c ２ ＝ c 3 ＝ 0　以外の解を持つから１次従属 0 1 -2 1 0 3 0 1 -2 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x = c１ x = c2 x1+3c2 = 0 x1 =ー3c2 x2 = ー5c1 + 7c2 3. x = c１ x = c2 とする。 1 2 3 1 -5 4 5 2 0 -1 3 4 x1+3c2 = 0 x1 =ー3c2 3 1 4 -7 10 1 2 3 1 -5 x2 = ー5c1 + 7c2 x2+5c1ー7c2 = 0 0 -4 -7 1 14 x3 =3c1 ー2c2 x3ー3c1 +2c2 = 0 0 -5 -5 -10 25 x = c１ 1 2 3 1 -5 4 x = c2 0 1 1 2 -5 5 0 -5 3 1 0 -3 7 -2 0 1 0 -4 -7 1 14 ２次元 1 0 1 -3 5 １組の基 x ＝ c１　　 +c ２ 0 1 1 2 -5 0 -5 3 1 0 -3 7 -2 0 1 0 0 -3 9 -6 1 0 0 0 3 0 1 0 5 -7 0 0 1 -3 2 ， c１ c2

x = c１ x = c2 x1 x2 x3 x4 x1+2c1ーc2 = 0 x1 =ー2c1+c2 x = c１ x3 =ーc2 4. x = c１ x = c2 とする。 x1 x2 x3 x4 2 4 1 2 1 0 x1+2c1ーc2 = 0 x1 =ー2c1+c2 0 0 1 1 x = c１ 2 4 3 1 2 1 2 1 0 x3 =ーc2 x3+c2 = 0 0 0 1 1 x = c2 -2 1 0 0 1 0 -1 1 4 0 0 1 1 1 2 0 -1 x ＝ c１　　 +c ２ 0 0 1 1 0 0 0 0 c１ c2 (i) null(T)=２ -2 1 0 0 1 0 -1 1 (ii) rank(T)=２ 201 311 Ker(T)の１組の基 Im(T)の１組の基 ， ，

5. 13 -30 Ａ＝ 5 -12 t-１3 30 (i) ｇT(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝ t2-t-6 ＝(t-3)(t+2) -5 t+12 (ii) λ＝3,-2 （λＥ－Ａ）ｘ＝０ (iii) 31 -10 30 λ＝3のとき ｘ＝０ Ｗ（3；Ｔ）＝｛c c∈Ｒ｝　 -5 15 21 -15 30 λ＝-2のとき ｘ＝０ Ｗ（-2；Ｔ）＝｛c c∈Ｒ｝　 -5 10 3 2 3 0 P＝ B＝P-1AP ＝ 1 1 0 -2

= 2×3 + 4×(-2) + (-1) ×4 = -6 1.(1) (2) ∥ｕ∥＝ √12 + (-4)2 + (-1)2 ＝ √18 = 2×3 + 4×(-2) + (-1) ×4 = -6 (2) u = ∥ｕ∥＝　√12 + (-4)2 + (-1)2 ＝ √18 ＝ 3√2

2. 110 111 1 0 0 v１＝　　 , v ２＝ , v 3＝ 110 110 1 1 u１＝ 　＝　　　 　　　　　　　　正規化 ||v１ || √ 2 111 110 0 0 1 2 1 v’２＝v２－（v２，u１）u１ ＝ － ＝ 　　　 √ 2 √ 2 直交化 0 0 1 0 0 1 1 1 u ２ ＝ v’２ ＝　　　 　　 ＝ 　　　　　　正規化 || v’２ || √ 1

v’3＝v3－（v3，u１）u１ － （v3，u2）u2 　　　 直交化 100 110 001 1/2 -1/2 0 1 1 ＝ － － 0 × ＝ 　　　 √ 2 √ 2 1 -1 0 1/2 -1/2 0 1 1 u 3 ＝ v’3 ＝　　　 　　 ＝ 　　　　　　 正規化 √ 2 || v’3 || √ 2

3.

(1) r = 3 (2) a1, a2, a3 (3) a4 = 3a1- a2 +a3 a5 = a1 + 2a2 - 2a3 x1 １. 1 2 1 2 3 (1) r = 3 0 1 0 -1 2 1 0 -1 2 3 1 1 2 4 -1 (2) a1, a2, a3 1 2 1 2 3 0 1 0 -1 2 0 -2 -2 0 0 (3) 0 -1 1 2 -4 1 0 1 4 -1 a4 = 3a1- a2 +a3 0 1 0 -1 2 0 0 -2 -2 4 a5 = a1 + 2a2 - 2a3 0 0 1 1 -2 1 0 0 3 1 0 1 0 -1 2 0 0 1 1 -2 0 0 0 0 0

１. (4) x1 x2 x3 x4 x5 x = c１ x = c2 x1+3c1 +c2 = 0 x1 =ー3c1ーc2 1 2 1 2 3 x = c１ x = c2 とする。 4 5 0 1 0 -1 2 x1+3c1 +c2 = 0 x1 =ー3c1ーc2 1 0 -1 2 3 1 1 2 4 -1 x2 = c1ー 2c2 x2ー c1 + 2c2 = 0 1 2 1 2 3 x3 =ー c1 + 2c2 x3+ c1ー 2c2 = 0 0 1 0 -1 2 x = c１ 0 -2 -2 0 0 4 x = c2 0 -1 1 2 -4 5 -3 1 -1 1 0 -1 -2 2 0 1 1 0 1 4 -1 ２次元 0 1 0 -1 2 １組の基 0 0 -2 -2 4 x ＝ c１　　 +c ２ -3 1 -1 1 0 -1 -2 2 0 1 0 0 1 1 -2 1 0 0 3 1 0 1 0 -1 2 0 0 1 1 -2 ， 0 0 0 0 0 c１ c2

2. -3 1 -1 1 0 -1 -2 2 0 1 x1 x2 x3 x4 x5 (i) 1 2 1 2 3 Ker(T)の１組の基 0 1 0 -1 2 1 0 -1 2 3 1 1 2 4 -1 ， null(T) = 2 (ii) 1 0 0 3 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 -1 2 0 1 0 -1 2 Im(T)の１組の基 0 0 1 1 -2 0 0 0 0 0 ， c１ c2 ， rank(T) = 2

3. Ａ＝ 7 12 0 -２ -3 0 2 4 1 t-7 -12 0 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝(t-7)(t+3)(t-1) 7 12 0 Ａ＝ -２ -3 0 2 4 1 t-7 -12 0 ｇA(ｔ)＝｜ｔＥ－Ａ｜＝ ＝(t-7)(t+3)(t-1) ２ t+3 0 -2 -4 t-1 +24(t-1) ＝(t-1)(t2-4t+3) ＝ (t-1)(t-1)(t-3) ＝(t-1)2(t-3) λ＝1, 3 （λＥ－Ａ）ｘ＝０ λ＝1のとき -6 -12 0 １ 2 0 ｘ＝０ 簡約化 ｘ＝０ ２ 4 0 0 0 0 -2 -4 0 0 0 0 c１ c2

= c１ = c2 x x x1+2c1 = 0 x1 =ー2c1 x ＝ c１ +c ２ = c１ x x3 = c2 = c x とする。 2 3 -2 1 0 001 x1+2c1 = 0 x1 =ー2c1 x ＝ c１　　 +c ２ x = c１ 2 x3 = c2 -2 1 0 001 Ｗ（1；Ｔ）＝｛ c１　　 +c ２ c１，c ２ ∈Ｒ｝　 λ＝3のとき -4 -12 0 １ 0 -3 ｘ＝０ 簡約化 ｘ＝０ ２ 6 0 0 1 1 -2 -4 2 0 0 0 c x = c とする。 3 -1 1 3 x1-3c = 0 x1 =3c x ＝ c　　 x = -c x2+c = 0 2 x3 = c

P＝ B＝P-1AP ＝ 4. a + b - c=0 3a -b =0 ， b = 3a 2a -2b + c=0 c = 4a 3 -1 1 Ｗ（3；Ｔ）＝｛ c　　 c ∈Ｒ｝　 -2 0 3 1 0 0 P＝ B＝P-1AP ＝ 1 0 -1 0 1 0 0 1 1 0 0 3 4. a + b - c=0 3a -b =0 ， b = 3a 2a -2b + c=0 c = 4a a2 + b2 + c2 = 1 a2 + (3a)2 + (4a)2 = 1 1 3 4 1 1 ± a =± √26 √26