正規性の検定 ● χ2分布を用いる適合度検定 ●コルモゴロフ‐スミノルフ検定 地理生態学研究室　３年　宮内　麻衣 ２０１０．３．８

正規性の検定の意義 ・パラメトリック検定 （対象がある特定の分布に従う時） ・ノンパラメトリック検定 　　・パラメトリック検定 　　（対象がある特定の分布に従う時）　 　　・ノンパラメトリック検定 　　（対象が特定の分布に従わない時、サンプル数が極端に少ない 　　　時） 　　　　のどちらを行うか決める上で重要！

正規性の検定のいろいろ ①χ2分布を用いる適合度検定 ②コルモゴロフ‐スミノルフ検定 ③リリフォース 検定 （②の改良版） ③リリフォース 検定　（②の改良版） ④シャピロ‐ウィルク のW 検定　（標本数が少ない場合） ⑤肉眼的判断（ヒストグラム・箱ひげ図） 各々検出力が異なる

χ2分布を用いる適合度の検定　　　　 ・名義尺度の場合に使用できる。 名義尺度　　　 　　血液型の場合には，A 型：1、B 型： 2、AB 型： 3、O 型：4のように 数値に対応させる場合。 　　これらの数値は血液型を 区別するために使われているだけであ る。 例≪サイコロを 56 回振って目の出方を調べたところ，表 のようになった。このサイコ ロは正しいサイコロといえるだろうか≫

1. 前提 帰無仮説 H0：「「サイコロの目の出方の確率は各々　　である」　 対立仮説 H1：「「サイコロの目の出方の確率は各々　　でない」 2. 56個のケースが，6個のカテゴリーに分類されている。 3. Oi　第 i カテゴリーの観察値 O1 = 10，O2 = 12，... ，O6 = 8 4. Ei 　第 i カテゴリーの期待値 正しいサイコロならば，どの目の出る確率も等しく 1/6 であるはずである したがって，各目の出る期待値は，E1 = E2 = ... = E6 =56×(1/6) = 9.333 である。

5. 以下の式で検定統計量を計算する。 χ20 = [ (10-56/6)2+(12-56/6)2+ ... + (8-56/6)2 ] / (56/6) = 5.5 6.有意確率を 求める 自由度 5 の χ2分布において， P = 0.3579459＞0.05 7. 帰無仮説を採択する。 　　すなわち，「サイコロの目の出方の確率は各々　　である」　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一様分布に従う

1標本コルモゴロフ-スミルノフ検定 ■順序尺度 ・順序尺度以上の場合に用いる。 　■順序尺度 　　治療効果の判定において，悪化を -1，不変を 0，改善を 1，著効 を 2 のように数値に対応させる場合。 　■順序尺度以上 　　間隔尺度(数値の差のみに意味がある場合） 　　比例尺度（数値の比にも意味がある場合） 　　を含む

確率変数（Xとする）と、一般に標準正規分布では 　　と表される。 確率変数1.65以上が95%の場合は、 　と表される。 「標準正規分布」の「累積分布関数」と呼ばれている。 正規分布でないときも、 と表せる。これを一般にF(x)と表す。 　　　コルモゴロフ＝スミノルフ検定はこのF(x)をサンプルから定めて行う検定。

1標本コルモゴロフ-スミルノフ検定 Ⅹ≦1.65が確率0.95＝「ｎ個のサンプル値の中で0.95ｎ個が1.65以下」 つまり、Ｆ（x）に従うサンプルに対しては であるはずで、逆に両辺が大きくくい違えば、 　　　　　　　　　　　　　　帰無仮説Ｈ0：母集団分布はＦ（x） は棄却される。

1標本コルモゴロフ-スミルノフ検定 そこで、サンプルx1,x2, …,xnでx以下の累積度数の率 を「経験累積分布関数」と呼ぶ。 これをｘごとにＦ（ｘ）との差で対照し 最も大きいずれ つまり を統計量として判断する。 Dを最大偏差統計量という。

例えば・・・ F(x)：標準正規分布の累積分布関数 Fn(x)：経験累積分布関数 2 個のサイコロを1000 回振って毎回の出た目の和を記録するという実験を行った結 果を，表 に示す。 F(x)：標準正規分布の累積分布関数　 Fn(x)：経験累積分布関数

例≪血糖値データの正規分布チェック≫ 36人の男性被験者に対する空腹時血糖値が、平均80標準偏差6の正規分布（80,36） に従っているか？ 75,92,80,80,84,72,84,77,81,77,75,81,80,92,72,77,78,76 77,86,77,92,80,78,68,78,92,68,80,81,87,76,80,87,77,86 小さい方から並べて順序統計量に直し、順序統計量の値ごとに計算する。 差の最大をＤとすると、D=0.1547である。 F(x)：標準正規分布の累積分布関数　 Fn(x)：経験累積分布関数 観察度数 相対度数 累積度数 F(x) Fn(x) 68 2 0.0228 0.0556 0.0328 72 4 0.0918 0.1111 0.0193 ….. …. 87 32 0.879 0.8889 0.0099 92 36 0.9772 1.0000

ｎ≧35（ｎ＜40とする数表もある）のケースDの境界値表 n=36のケースでは、α=0. 05に対して棄却値は1. 36/ =0 ｎ≧35（ｎ＜40とする数表もある）のケースDの境界値表 n=36のケースでは、α=0.05に対して棄却値は1.36/ =0.23であり、 D=0.1547＜0.23 この血糖値データが正規分布N(80,62)からのサンプルであるとの仮説は棄てられない。 正規分布に従うと言える

参考文献 松原望著（2007) 『入門 統計解析 医学・自然科学編』 東京図書 356pp. 「おしゃべりな部屋」 （群馬大学 青木繁伸） 「おしゃべりな部屋」　　（群馬大学　青木繁伸） 　　　http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/