慣性モーメントを求めてみよう

慣性モーメント rは軸までの距離。 dmは質量の微小部分 ある軸の周りの回転しにくさを表す量 問題 質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、 問題　質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、 　図の軸(中心を通る）の周りの慣性モーメントを求めよ。 教科書p.71 2ℓ

解答 z M rは軸までの距離。 dmは質量の微小部分 x -ℓ ℓ 線密度（単位長さ当たりの質量）をρとする。 dm=ρdx, -ℓ ℓ 線密度（単位長さ当たりの質量）をρとする。 　　dm=ρdx, ρ＝M/(2ℓ）より、

解答続き：別解1 z y y方向の厚みをbとする。 z方向の高さをcとする。 体積密度をρとする。 ρ=M/(2ℓbc) M x -ℓ ℓ

解答続き：　別解２ x-ℓ M xを棒の端からとる。 x 2ℓ ρは線密度で、ρ＝M/(2ℓ）より、

解答補足：教科書p.71の問題との対応 教科書の問題では、 　・軸の場所が一般的。 　　　　軸が中央に来た場合の式を使う。 　・棒の長さは を代入 に

慣性モーメント続き （重積分） 2a A B M 2b C D 問題 質量Ｍの長方形の板ABCDがあり、 慣性モーメント続き　（重積分） 2a A B 問題　質量Ｍの長方形の板ABCDがあり、 AB, BDの長さはそれぞれ2a, 2bであるとする。 長方形と同じ面内で、AB, CDの中点を通る軸の周りの 　　慣性モーメントを求めよ。 (b) 中心を通り、長方形に垂直な軸の周りの M 2b C D

(a)の解答 z b y 図のように座標をとる。 y方向の厚さをcとする。 dx a x 座標(x,y,z)にある 微小部分を考えると、 dx y b 図のように座標をとる。 y方向の厚さをcとする。 a 座標(x,y,z)にある 微小部分を考えると、 回転軸までの距離はx

z (b)の解答 y 図のように座標をとる。 座標(x,y,z)にある 微小部分を考えると、 x y 回転軸までの距離rは x

慣性モーメントの続き。 教科書p.72 問題 一般に慣性モーメント rは軸までの距離。 dmは質量の微小部分 問題　一般に慣性モーメント rは軸までの距離。 dmは質量の微小部分 を重心を通らない軸の周りで求めたいとする。 重心を通る軸（図）の周りの慣性 モーメントIGを使って、 (bは２つの軸間の距離） と書けることを示せ。 これを使って、棒の端を通る軸の周りの 慣性モーメントを求めよ。 b M 2ℓ

円筒座標をやる前に 復習をします。 １．三角関数の復習（高校数学） ２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ） ３．円筒座標の復習（前期）

三角関数の復習 高校の数学１，数学２ 図のように、直角三角形を置く。 （角度φが水平からの角度、直角部分が右下） 斜辺 垂直の辺 φ 水平の辺 高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、 後で極座標や円筒座標と比較するために、 φ（ファイ）を使っている。

２次元極座標 高校の数学Cの復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x ２次元極座標　 高校の数学Cの復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x 高校ではθを使うが、 後の都合でφを 使っている。

質問：なぜφの範囲を0からπにして、 rをマイナスも考えないか？ y ぐるっと回った時に、 rがプラスからマイナスになるのは、不連続な変化になってしまう。 rはずっとプラスにしておく。 x

２次元極座標、続き y r=一定の図形　　　半径rの円 x φ=一定の図形　　　半直線 y x

少し質点に戻って。。 　 　　 円筒座標系 粒子と一緒に動く 座標系

点P(x,y,z)のxy平面上への射影を Qとする。 OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ 教科書p.2の1-1図の右 円筒座標系 z 円筒座標系　 z P(x,y,z) 質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。 y r φ Q x 点P(x,y,z)のxy平面上への射影を Qとする。 OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ φ(ファイ）　角度によく使う記号。 0≦φ＜2π 問題 円筒座標系で、下記の条件を満たす点の集合は、 どのような面になるか。それぞれ３次元空間内に図示せよ。 r=一定　　(b) φ=一定 (c)z=一定 　　（注意：rはOQの長さ）

教科書p.2の1-1図の右 円筒座標　 z P P(x, y, z) y x Q y xy平面 Q x O

問題の解答　 z=一定 z xy面からの距離が一定。 無限に広がる平面 y x 例：床から3mの高さの点の集合は、 　　天井になる。

問題の解答　 r=一定 円筒座標のrの定義に注意。 xy平面に射影した時の原点からの 距離 （つまり、z軸との距離） r=一定は、円筒の側面になる。 上下に無限に続いている。 r y x 例１：海苔の缶の側面だけ。これが無限に広がったもの。 例２：トイレットペーパーの芯の部分が 　　　無限に広がったもの。

問題の解答２　 φ一定 φはxy面上に射影した時の、 x軸からの角度。 φ=一定の図形は、 半平面。上、下、rが大きくなる方向 に無限に広がる。 z軸の反対側には行かない。 　φの範囲は0から2π。 　反対側は違うφになる。 y x

円筒座標のイメージ タワー型マンションは普通は直方体だが、 円形タワーマンションがあったとする。 何階に住んでいるか。-> z座標 円筒の外側には窓があり、 　内側はエレベーターや廊下　-> r座標 ある階での部屋は放射状に作ると考えられる。 　1101号室、1102号室、　　-> φ座標

円筒座標の別イメージ 丸いピザを切るとき、 　人数によって角度が違う。-> φ 円筒型のケーキで、 ・上にはいちご、下はスポンジ　-> z ・外側はクリーム、内側はスポンジ　-> r ・切り分けるときに、どんな角度で切るか。-> φ

参考：３次元極座標（後期に詳しくやります） このページは前期の 試験には出ません。 参考：３次元極座標（後期に詳しくやります） y z P P(x,y,z) θ z r r Q y θ y x Q O Q O x x 角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。 　　-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。 rの取り方が違うことに注意。 　　極座標では原点からの距離。 　　円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。 極座標は球対称な場を考えるときに使う。 　　例：電荷が球状に分布している場合。

円筒座標を使うメリット　 ・円運動、らせん運動、円筒の 　対称性を持つ系 （例えば直線電流の周りの磁場）を 　扱いやすい。

次に 円筒座標系の 基本ベクトルを求める。 （粒子が動くと、基本ベクトルも動く。）

基本ベクトルとは 長さが１ お互いに直交する。 ３次元なら３個 （２次元なら２個） 座標系によって、基本ベクトルが違う。 ３次元なら３個　（２次元なら２個） 座標系によって、基本ベクトルが違う。 その座標系のベクトルを、 基本ベクトルを使って書く。 直交座標 2) 円筒座標 3) 極座標　（後期にやります。）

直角座標系の基本ベクトル x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。 x, y, zがそれぞれ増える方向 z 成分で書くと、 O y x 終点 始点 ベクトルの始点（矢印の根元）を原点に置いた時の、 ベクトルの終点（矢印の先）の座標で表す。

動径ベクトル 復習 radius vector 位置ベクトルとも言う。 x y z P(x,y,z) O ある原点Ｏからのベクトル。

円筒座標系の基本ベクトル z x y φ r P(x,y,z) x軸、y軸、z軸は、 空間に固定されている。 円筒座標系の基本ベクトル。 長さは１で、点Pにおいて、 注意： rが増える向き。 点Pにおいて、r,zは 一定で、φが微小量だけ 増える向き。 φが増える向き　 zが増える向き。 を図示せよ。 問１： 問２： のx,y,z成分が 右のようになることを示せ。