物理学Ⅰ - 第 2 回 - 前回の復習 運動の表し方 位置と速度(瞬間の速度) 速度と平均速度、スピードはしっかり区別 物理学Ⅰ - 第 2 回 - 前回の復習 運動の表し方 位置と速度(瞬間の速度) 速度と平均速度、スピードはしっかり区別 位置は座標で表す(位置ベクトル) 速度は位置の変化率 運動の変化 加速度は速度の変化率 変化率は微分係数 位置、速度、加速度はベクトル量
ベクトル量: 位置、変位、速度、加速度 風向風速分布 電場分布 スカラー量: 距離、速さ 気圧分布 温度分布 等高線
今日の内容 第1章の続き 1.グラフの面積による理解 概念的理解に微分・積分を使えるようになる 2.物理量の単位 単位の重要性を理解する 1.グラフの面積による理解 概念的理解に微分・積分を使えるようになる 2.物理量の単位 単位の重要性を理解する 次元解析ができるようになる 第2章 1.二次元以上の運動の表し方 ベクトルの概念と表現に慣れる 2.等速円運動 運動の例 積分
第1章§1 運動の表し方(追加分) 前回 位置⇒速度=位置の変化率 接線の傾き=速度 微分⇒位置の変化率 ☆速度から位置を求めるには? 第1章§1 運動の表し方(追加分) 前回 位置⇒速度=位置の変化率 接線の傾き=速度 微分⇒位置の変化率 ☆速度から位置を求めるには? 一定のスピード(速度)なら 移動距離=スピード×時間 変位(ベクトル)=速度×時間
一般の場合もグラフの面積 ⇒ 時間-速度グラフの面積 微分は変化率 大学では微分・積分を用いた 概念理解ができるように 積分は面積 変化率の積分が変化 ⇒ 時間-速度グラフの面積 微分は変化率 大学では微分・積分を用いた 概念理解ができるように 積分は面積
速さが加速したり減速する時は? 同じようにグラフで考えてみよう! Δt 毎に細分化してみると、 Δt で進む距離は 距離=速さxΔt 距離=速さxΔt 間隔Δt を小さくしたほうが良いので、 ⇒面積!
距離、速さ、加速度の関係 微分や積分を使うと、 運動を表すのが簡単 距離-(微分)→速さ 速さ-(微分)→加速度 加速度-(積分)→速さ 速さ-(積分)→距離 微分や積分を使うと、 運動を表すのが簡単
問1 t=0に原点を出発したあとの速度が次の グラフで与えられているときt=tfにxが 最大になる運動を選べ 問1 t=0に原点を出発したあとの速度が次の グラフで与えられているときt=tfにxが 最大になる運動を選べ 1. 2. 3. (4) 分からない 面積の正負も考える
☆加速度の使い道 全く同様 1.加速度から速度を求める 運動の変化率 ⇒ 速度の変化 速度 e.g., 円運動! 速度(速さと向き)が 運動の変化率 ⇒ 速度の変化 速度 e.g., 円運動! 速度(速さと向き)が 常に変化 (加速度運動) 質点 ⇒ 時間-加速度グラフの面積
☆加速度の使い道 2.加速度から位置を求める (1-13) あとは「速度から位置を求める」手続き 時間-速度グラフの面積
力学による運動の求め方: 運動方程式 (3章、4章) (F:力、m: 質量) 力を与える ⇒ 加速度が決まる 力を与える ⇒ 加速度が決まる ⇒ 最初の運動の状態(位置と速度)に 対してその後の運動が決まる が決まる(速度の情報も含む) 運動の変化を与えるには外力が必要! (運動変化のし易さを与える係数が質量)
☆例 等加速度運動 速度の変化は一定(aが一定) ⇒時間-速度グラフの傾き一定 を と略記 位置の変化はグラフの面積
☆国際単位系(SI単位系)(Systeme International d’Unites) §3 単位 (1-14) 自然界の客観的記述 測定して基準量と比較して記述 例 家から大学までの距離 m、km を使わずにどう表現する? ー 歩数で表すなど ☆国際単位系(SI単位系)(Systeme International d’Unites) 基準量について国際的に統一 長さ - メートル [m] 力学分野では この3つが基本量 質量 - キログラム [kg] 時間 - 秒 [s]
例えば、電磁気学では、 電気量 [C(クーロン)]=[s・A] 電位 [V(ボルト)]=[W/A]=[m2・kg・s-3・A-1] 静電容量 [F(ファラッド)]=[C/V]=[m-2・kg-1・s4・A2] 磁束 [Wb(ウェーバー)]=[V・s]=[m2・kg・s-2・A-1] 磁束密度 [T(テスラ)]=[Wb・m-2]=[kg・s-2・A-1] インダクタンス[H(ヘンリー)]=[Wb・A-1]=[m2・kg・s-2・A-1]
☆単位の接頭辞 ベキ 接頭辞 記号 ベキ 接頭辞 記号 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T ベキ 接頭辞 記号 ベキ 接頭辞 記号 1015 peta P 10-15 femto f 1012 tera T 10-12 pico p 109 giga G 10-9 nano n 106 mega M 10-6 micro μ 103 kilo k 10-3 milli m 102 hecto h 10-2 centi c 例 nm(ナノメートル)、μs(マイクロセカンド)、 hPa(ヘクトパスカル)、kWh(キロワット時)、 MHz(メガヘルツ)、GB(ギガバイト)
☆単位系の変換 問3 時速72kmで走る車の速さは秒速何mか? 2 m/s 10 m/s 12 m/s 20 m/s
答 72 km/h を 1km=1000m、1h=3600s を用いて 書き直すと 重要 単位をつけない数字は物理的には無意味 5・・・5m?、5km?、5s?、5個?、5人??? → 単位がついていない答えに意味は無い 単位の無い数字:無次元数 (e.g., 規格化した値等)
☆次元解析 物理量の単位は決まっている ⇒ 物理量の間に関係式があるとき 両辺の単位は合致していなければならない 答のチェックにも役立つ ⇒ 物理量の間に関係式があるとき 両辺の単位は合致していなければならない 答のチェックにも役立つ 例 気体中の音速 気体の種類と状態で決まるはず 質量 、圧力 、体積 種類 状態 音速 ⇒ と置いて単位を比較
第2章 二次元以上の運動 この章のポイント 1.ベクトルによる運動の記述に慣れる 位置、速度、加速度をベクトルで表現 位置→位置ベクトル 第2章 二次元以上の運動 この章のポイント 1.ベクトルによる運動の記述に慣れる 位置、速度、加速度をベクトルで表現 位置→位置ベクトル 2.等速円運動を加速度運動として理解する 速度の方向が変化 ベクトル積(外積)は後の章で使うときに説明するので省略
§1 ベクトルとその演算(2-1、2、5、6) ベクトル・・・大きさと方向を持つ量 ☆ベクトルに対する基本的演算 方向を変えずに 定数倍 → §1 ベクトルとその演算(2-1、2、5、6) ベクトル・・・大きさと方向を持つ量 ☆ベクトルに対する基本的演算 方向を変えずに 定数倍 → 大きさを変える 負だと逆向き 足し算 平行四辺形を作る
ベクトル(vector) 大きさと向きを併せ持つ量 大きさが次元(単位)を決める。 大きさ 単位ベクトル: 大きさが1のベクトル
ベクトル(vector) 大きさと向きを併せ持つ量 大きさが次元(単位)を決める。 x,y,z座標軸方向の 単位ベクトル (基本ベクトル) 大きさと向きを併せ持つ量 大きさが次元(単位)を決める。 x,y,z座標軸方向の 単位ベクトル (基本ベクトル) (xy平面内に存在する場合)
ベクトルの内積(inner product) スカラー ベクトルの内積(inner product) 2つのベクトル量から、一つのスカラー量への変換 内積の分配則 内積の交換則 (エードットビー) ある方向に作用する物理量の大きさを示す
ベクトルの内積(inner product) スカラー ベクトルの内積(inner product) 2つのベクトル量から、一つのスカラー量への変換 ⇒ (ia: 単位ベクトル:大きさ1の方向を表すベクトル) ある方向に作用する物理量の大きさを示す
内積 特に ☆ベクトルの成分表示 基底ベクトル 大きさ1の互いに直行するベクトル 基底ベクトルの和で表す 成分表示 絶対値でベクトルの大きさを表す 特に ☆ベクトルの成分表示 基底ベクトル 大きさ1の互いに直行するベクトル 基底ベクトルの和で表す 成分表示
☆成分表示で表したベクトルの演算 二つのベクトル に対し 定数倍 足し算 内積 大きさ
☆ベクトルの微分 定義は普通の関数のときと同じ 時間(変数) と共に変化するベクトル に対し ベクトルの変化率 概念理解は図を基にする
成分表示 成分ごとに考えれば普通の関数を微分するのと同じ の各成分が の関数 基底ベクトルは固定 計算は成分表示が便利
☆内積の微分 ライプニッツ則に従う 証明 成分表示を用いると普通の関数の性質に帰着
問4 次のうち正しくない計算はどれか? 1. 2. 3.
§2 ベクトル表記による運動の記述(2-5、6) 慣れが必要なだけで概念的には同じ 位置 位置ベクトル 変位 O 速度 位置の変化率 §2 ベクトル表記による運動の記述(2-5、6) 慣れが必要なだけで概念的には同じ 位置 位置ベクトル 変位 O 速度 位置の変化率 計算は成分表示が便利 加速度 速度の変化率
☆視覚的理解 軌跡 接線方向 速度 瞬間の速度 変位 平均速度 軌跡 加速度 概念理解は図を基にする
例題 平面上を運動する物体の時刻 での位置が 例題 平面上を運動する物体の時刻 での位置が で表されるとき、時刻 での速度を求めよ 答 速度(瞬間の速度)は 位置を時間で微分して より
§3 (等速)円運動(2-12~14)
§3 等速円運動(2-12~14) ☆円運動の表し方 スピードは一定だが速度の方向が変化 ⇒ 加速度運動の例 半径 の円上を運動 §3 等速円運動(2-12~14) スピードは一定だが速度の方向が変化 ⇒ 加速度運動の例 ☆円運動の表し方 半径 の円上を運動 軸から角度 を測る 位置 =(X, Y)=(r, θ) (極座標表示)
等速円運動 スピードが一定 円弧の長さ=移動距離 但し、θはラジアン(rad)表記。度(°)ではない! i.e., 例えば円周の大きさ = 2 π r π [rad] = 180 [°]
等速円運動 スピードが一定 円弧の長さ=移動距離 スピード・・・単位時間当たりの移動距離 半径一定 角速度・・・単位時間当たりの角度の変化 角度の変化率を用いて表される 角速度・・・単位時間当たりの角度の変化 「速度」であり、回転の「向き」を持つ 単位:[rad/s] 等速円運動では角速度一定で
☆等速円運動の加速度 と は一定 *ベクトルrとrは異なるので注意 の変数分離を使う これより も分かる
☆等速円運動の加速度 と は一定 大きさ 円の中心を向く方向 ↓ ( ) 角速度(dθ/dt)一定より
例題 2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ.但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする. 自転:1日 公転:1年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で
例題 2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ.但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする. 自転:1日 公転:1年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で
例題 2-11 地球の自転、公転を円運動とし、それぞれの角速度と速度の大きさを求めよ.但し、地球の半径をr=6.38×106 [m]、公転半径をR=1.50×1011 [m]とする. 自転:1日 公転:1年 速度の大きさ 円運動の続きはバネの運動方程式で
今日のまとめ グラフの面積 単位を忘れずに 二次元以上の運動のベクトル表記に慣れよう 等速円運動は加速度運動 変化率を積分すると変化が分かる 変化率を積分すると変化が分かる 単位を忘れずに 数値には必ずつける 単位により答をチェックする習慣をつけよう 二次元以上の運動のベクトル表記に慣れよう 概念の理解には図を活用 計算には成分表示が便利 等速円運動は加速度運動 スピードは一定でも速度の方向が変化 成分表示での計算の例としても大事
復習内容 必須範囲・・・2-1、2、5、6、8~10、12~14 講義で省略した部分は自習する ベクトル積は用いるときに説明する ⇒2-3、4は省略してよい 相対運動と単振動も別の機会に説明する (単振動は光を研究したい人にも必須) ⇒2-7、9、11、15は省略してもよいが 自習しておくほうが望ましい 必須範囲以外を自習してレポートに含めてくれるのは自由