第７回 フィルタとは
フィルタとは フィルタとは、 必要な信号成分を取り出したり、 不要な信号成分（雑音成分）を除去するシステム 電気回路、電子回路や プログラムで実現するものもある どのような周波数特性をもつかが重要！
フィルタの例 y(n)= Σｘ(n+i) プログラムで実現する例 電気回路の例 R Vin C Vout fl 1 M for(i=0;i<=M;i++){ y+=x(n-i); } y=y/M; 利得 0dB 低域通過フィルタという -3dB M個の標本化されたデータ x(n+i)を平均するフィルタ 移動平均フィルタと呼ばれる 低域通過フィルタである。 fl 周波数
フィルタの種類 フィルタの種類 ① 低域通過フィルタ（ローパスフィルタ：ＬＰＦ） ② 高域通過フィルタ（ハイパスフィルタ：ＨＰＦ） ③ 帯域通過フィルタ（バンドパスフィルタ：ＢＰＦ） ④ 帯域阻止フィルタ（バンドエリミネーションフィルタ：ＢＥＦ） 振幅特性 * ① ② ③ ④ 利得 利得 利得 利得 0dB 0dB 0dB 0dB 周波数 周波数 周波数 周波数 ＊第３回参照
遮断周波数とは あるシステムの入力信号をVin、その出力信号をVoutとするとき Vout ＝ Vin √ となる周波数を遮断周波数と呼ぶ。 1 ＝ Vin √ 2 となる周波数を遮断周波数と呼ぶ。 通常、フィルタの入出力関係は、電圧利得がよく用いられる Vout 電圧利得＝ 20log10 [dB] この数字は重要なので 覚える Vin 1 遮断周波数の電圧利得は、 ＝ -3dB となる。 20log10 √ 2
周波数特性グラフの見方 ＬＰＦ 遮断周波数 減衰特性の傾き 利得 利得 周波数[Hz] 周波数[Hz] 遮断周波数100HzのLPF (a) -12dB/Oct 0dB 遮断周波数200HzのLPF 0dB (b) -24dB/Oct -3dB -10dB (a) (c) -48dB/Oct -20dB -30dB (b) -40dB (c) 100 200 周波数[Hz] 100 200 周波数[Hz] -12dB/Octは、周波数が倍で 利得が -12dB下がる
回路の周波数特性 回路の伝達関数Ｈ(s) システム X(s) Y(s) 出力信号のラプラス変換 Y(s) H(s)＝ ＝ 入力信号のラプラス変換 X(s) 回路の周波数特性 H(s)に、s=jωを代入 H(s)=H(jω)=A(ω)+jB(ω) を求める。 振幅特性 |H(jω)|= A2(ω)+B2(ω) B(ω) 位相特性 θ=tan-1 A(ω)
ラプラス変換とフーリエ変換 ∫ ∫ ∫ 回路の伝達関数 H(s) 信号のフーリエ変換 F(ω) ラプラス変換 フーリエ変換 振幅特性 振幅ｽﾍﾟｸﾄﾙ 回路の周波数特性 信号の周波数ｽﾍﾟｸﾄﾙ 位相特性 位相ｽﾍﾟｸﾄﾙ ラプラス変換 フーリエ変換 X(s)= x(t)e-stdt ∫ ∞ X(ω)= x(t)e-jωtdt ∫ -∞ ∞ f(t)=0 (t<0)で、s=jωとすると同じになる |x(t)|dt < ∞ であることも必要 ∫ ∞ 厳密には ※
回路と信号の周波数特性 共通 呼び名は異なる 回路の周波数特性 信号の周波数特性(スペクトル) H(s)=A(ω)+jB(ω)の形になる F(ω)=A(ω)+jB(ω)の形になる 振幅特性 |H(jω)|= A2(ω)+B2(ω) 振幅スペクトル B(ω) 位相特性 θ=tan-1 位相スペクトル A(ω) 共通 呼び名は異なる
電気回路の周波数特性 ＬＰＦの例 Vout 1 H(jω)= = Vin 1+jωRC R Vout |H(jω)|=| |= Vin | |= となる周波数が 遮断周波数ｆlであり、ｆl= Vin √ 2 1 利得 2πRC 0dB ＬＰＦである -3dB f 0 fl ∞ 1 |H(jω)| 1 √ 2 0dB -3dB -∞dB fl 利得 周波数
電気回路の周波数特性 位相特性 1 1 -jωRC H(jω)= = + 1+jωRC 1+(ωRC)2 1+(ωRC)2 Φ(ω)=tan-1 (-ωRC)=-tan-1(ωRC) Φ(ω) π 2π ω
演習 1.次の伝達関数をもつ回路の振幅特性、位相特性を求め、 どのようなフィルタになるか答えなさい。 どのようなフィルタになるか答えなさい。 2.次の回路の伝達関数より周波数特性の概略図を示しなさい。 （遮断角周波数も求めなさい）ただし、RC=0.5、LC=1とする。 R H(s)= s2+ s+ RC 1 LC s Vin C L Vout
演習 1.次の回路の伝達関数より周波数特性の概略図を示しなさい。 （遮断周波数も求めなさい） R s Vin H(s)= C L Vout s2+ s+ RC 1 LC s Vin C L Vout 2.次の回路の伝達関数を求め周波数特性の概略図を示しなさい。 C Vin L R Vout