第９課： 恒星のスペクトル ２００５年１２月１９日 授業の内容は下のHPに掲載されます。 　　　　　　第９課：　恒星のスペクトル　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００５年１２月１９日 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html 今回のキーワード

ｎ Ｘ ９．１． 恒星大気の準備１：モーメント方程式 Ω θ I(x,θ,φ）＝ I(x,θ） 輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 Ｎ次モメント　MＮ　を以下のように定義する。 Ω ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ　I (θ, x, λ) dΩ 　　　　　　　＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ　I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ 　　　　　　　＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ θ ０次モーメント　　　Ｍ0（x,λ）＝ (1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ 　 　　　　　　　　　　　＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ 　　　　　　　　　　 = J （x,λ）＝ 平均輻射強度 (mean intensity) Ｘ １次モーメント 　Ｍ1（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ ＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ = H（x,λ） エネルギーフラックス F（n, x ,λ) ＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ　 　　 　 　 ＝2π∫μI(μ, x,λ) dμ＝ 4πH ( x, λ)

２次モーメント 斜め方向の輻射方程式 Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ (表面) ｔ Ｘ Iλ (μ,τλ) τ 　Ｍ2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ 　 = (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ 　 =K （x,λ） 光圧力 P(ν) = (4π/c)K(ν) 斜め方向の輻射方程式 Iλ (μ,τλ=0) Ｘ軸に沿って光学的深さτを定める。μ方向の光線に沿っては、 τλ＝０ 　(表面) ｔ θ ｄｔ＝ｄX/μ ｄτ＝κｄX　　　なので、 Ｘ Iλ (μ,τλ) τ

( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ (ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分 μdI/dτ＝I－S　 ( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 ∫[μdI/dτ]dΩ/4π＝∫IdΩ/4π－ ∫ＳdΩ/4π = d[∫μIdΩ/4π]/dτ dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ (ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分 　d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ 　＝∫μIdΩ/4π－∫μSdΩ/4π 　　　∫1-1μdμ=0 に注意すると、　　　 dK λ/dτλ= Hλ

９．２．恒星大気の準備２： Rossland mean opacity κR Ｋλ ＝Jλ／３＝(1/3) Ｂλ (T)　　　　 とすると、　（仮定１：　ローカルに熱平衡） 次のような、平均κを考える。 すると、 したがって、

Bi Fi ∝ΔBi(T) /κi Bi＋ΔBi Ｆ∝∑ΔBi /κi＝ΔB /κＲ

９．３． 恒星大気の準備３： エディントン大気 μdI/dτ＝I－S （平面近似）  モーメント方程式 × ∫dΩ/4π ： ９．３． 恒星大気の準備３：　エディントン大気 　　　μdI/dτ＝I－S　　（平面近似） 　　　　　モーメント方程式 × ∫dΩ/4π　　　： × ∫μdΩ/4π 　：　 この系列はμ2 　μ3 　と上げても閉じない。式の数＜変数の数 モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。  　　　エディントン近似　　　

恒星大気のエディントンモデル エディントン近似を用いて恒星大気のモデルを考えよう。 （１） （２） 仮定:（a）∫Jλκλdλ＝∫ελdλ ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium) 　　　　　この仮定は（１）から とすると分かるように、Ｈ＝一定　を意味する 　　　　（b） Jλ(x)＝ Bλ(T(x)) ：ＬＴＥ 　　　　（c ）Kλ(x)=(1/3)Jλ(x) 　　 ：エディントン近似

∫Hλｄλ＝Ｈ,　 ∫Kλｄλ＝K とする。 （１）から仮定（ａ）によって、 　　　　　　　　　Ｈ(ｘ)＝Ｈｏ　　　　　　　（３）　 （２）から、　 κR＝Rosseland mean opacityを使うと （４） 平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、 　　H(τR)=Ho＝一定 　　K(τR)=τRＨo+ C 　　J(τR)＝S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) したがって、線形近似Ｓ＝ａ＋ｂτの結果が適用できる。

：線形解の表面輝度とフラックス θ 下図で光線に沿ったτ＝１に注意 τ＝０ τ＝μ＝ｃｏｓθ τ＝１ S(τ)= a + bτ 第６課　　　　２００５年７月２２日 ：線形解の表面輝度とフラックス S(τ)= a + bτ I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt 　　　　　　＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt 　 ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt] ＝ a+ bμ= S(τ=μ)　　　　（μ＞０） I(τ=0 ,μ<0) = 0 （μ＜０） θ 下図で光線に沿ったτ＝１に注意 　τ＝０ 　τ＝μ＝ｃｏｓθ 　τ＝１

Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 + bλ/3) フラックス 　Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 + bλ/3) 　 　　　　Source Function 　Sλ (τ)=aλ+bλτ　だったから、 Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3)　である。 　温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、 　だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て 　いると言える。 　Ｉ（τ＝０） 　ａ 　０ 　τλ＝０ 　1/３ 　τλ＝μ＝ｃｏｓθ 　S(τ＝２/３) 　２/３ 　１ 　τλ＝１ 　ａ＋ｂ 　ａ＋ｂμ

３頁前に戻り、定数Cを決定しよう。 　　H(τR)=Ho＝一定 　　K(τR)=τRＨo+ C 　　J(τR)＝S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) そのためには、τR＝２/３　の温度T（τR＝２/３）＝Te　で、 かつ線形大気では　F=４πH＝σTe4　であることを思い出せばよい。 すると、

ここまでで、大気内部の温度Tがロスランド光学的深さτRの関数として決まった。 線形大気ではある波長λでのフラックスFλは、その波長で測った光学的深さ τλ＝２/３のところでの源泉関数S（τλ＝２/３）で決まる。LTEを仮定して Sλ=Bλ（T)とすると、Fλ＝πBλ（T)　ただし、T=τλ＝２/３の深さの温度。 TはτRの関数で与えられているから、τλ＝２/３がτRでいくつかが問題。 これは、 と考えて、 で決まる。

κλ < κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T>Te] κλ > κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T<Te] ここに、 Ｆλ Ｂλ（Ｔｅ） 結局、Ｆλ ＝πＢλ (Ｔ) 　 　　　　　　ただし、 λ κλ ＝ κＲ Ｆλ ＝πＢλ [Te] κλ < κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T>Te] κλ > κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T<Te] κλが小さいと深い所を見るのでＦλは大きくなる。 κλ κＲ λ

９．４． 線形大気での吸収線形成 吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をする。 （１） 局所平衡（ＬＴＥ） （１）　局所平衡（ＬＴＥ） 　　　　Ｓλ（τＲ）＝Ｂλ[Ｔ（τＲ）]　　　　　　　　　　（τＲ＝ロスランド光学深さ） （２）　エディントンモデル 　　　　Ｔ（τＲ）４＝（３/４）Ｔｅ４ （ τＲ＋２/３）　　　 （３）　線形大気 　　　　Ｓλ（τＲ）＝Aλ＋ Ｂλ・τλ　 生憎、（１）と（３）は厳密には両立しない。そこで、（１）をτＲ＝０のまわりで一次式で展開して近似的に（３）と考える。

したがって、（３）において、 と見なせば、（３）を（１）と両立させうる。 線形大気Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂτの大気表面からのフラックスはＦ＝π［Ａ＋Ｂ・（２/３）]＝πＳ（τ＝２/３）である。 したがって、 または、 この式から分かるように、Ｆλ＝α＋β/τλの形をしていて、 τλが大きい所ではＦλが小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。

浅いので温度が低く、フラックスが小さい。 もう少し物理的に考えると。 吸収係数が次の図のように、λ＝λＬで盛り上がっているとする。　 λＬでは吸収が強いので、浅いところでτＬ＝２/３に達する。浅いためにそこの温度は低い。 κλ 浅いので温度が低く、フラックスが小さい。 深いので温度が高く、フラックスが大きい。 λＬ τＲ= 0.0 　0.2 0.4 0.6 0.8 大気表面 τλ=2/3 λ

吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。 λ＝ λＬの付近で、κ＝ κＣ＋κＬとする。 κ（λ） κＣ λ λＬ に注意して、前々頁のＦの式を書き直すと、

前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる はλＬ付近での連続スペクトルとなっていることがわかる。 連続スペクトルの強さは、 κＣとκＲの強さの比で決まる。 　　　κＲ＜ κＣ　　Ｆｏ＜Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ） 　　　κＲ＞ κＣ　　Ｆｏ＞Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ） 次に下から２行目の最後の項 は、吸収線を表す。吸収が弱い（κＬ＜κＣ）場合、吸収の深さがκＬに比例することがわかる。 最後の行の

は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。 図示すると以下のようである。 弱いライン 大気表面Ｔ＝Ｔｏ ライン波長で見通せる深さ 連続光波長で見通せる深さ 有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ

強いライン 大気表面（Ｔ＝Ｔｏ） ≒　ライン波長で見通せる深さ 連続光波長で見通せる深さ 有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ ピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はＴ＝Ｔｏの大気表面からの輻射がスペクトルの底になる。

吸収線の強度につれての形の変化 Ｆｃ（λ） κＬと共に深くなる Ｆ（λ） κＬが非常に強いと吸収線の底が飽和する Ｆｏ（λ） λ

９．５．恒星のスペクトル 前節と同じ線形大気モデルで、連続スペクトルを扱うと、星のスペクトルは で表される。 Ｆλ λ κλ 前節と同じ線形大気モデルで、連続スペクトルを扱うと、星のスペクトルは　 で表される。 Ｆλ Ｂλ（Ｔｅ） λ κλ κλ ＝ κＲ Ｆλ ＝πＢλ [Te] κλ < κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T>Te] κλ > κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T<Te] κＲ まず、κλとκRを求める必要がある。 λ

連続吸収係数の計算 ５．７．節で水素による連続吸収を計算した。 ここは、恒星大気の代表的な値に基づいて、５．７．節と同様の方法で水素 連続吸収を計算する。ここにあげたスペクトル型より低温（晩期型）では分子 吸収、高温（早期型）では電子による散乱が効いてくるので、ここでは取り上げない。 スペクトルを計算する星のパラメターは以下のようである。 スペクトル型　　　Ｔe　　　　　　Ｐｇ（erg/cm3）　　　　Ｐｅ（erg/cm3） K7 　４０００　　　　100,000 0.18 　 G0 ６０００ 62,000　　　　 　 14 　 F０ ７５００　　　　 17,000 130 　 Ａ０ １００００ 　1,300 420 Ｂ０.５　 　　 ２５０００ 1,900 905

N－、n1、 n２、 n３、n４、Ne Peが与えられているので、電子は水素の電離で形成されると考えると、P(HI)は N(He）/N(H)=１/９　として、　　　 　　　　Ｐ（ＨＩ）＝（Ｐｇ－２・Ｐｅ）/１．１　　　（ＨＩは中性水素原子の意味）で決まる。 次にＰ（Ｈ－）はＳＡＨＡの式に今求めたP(HI)を代入して、次の式で決まる。 数密度は ｋ＝１．３８０６・１０－１６ （erg/K） を使って、 Ｎｅ＝Ｐｅ/ｋＴ、　ＮＩ＝Ｐ（ＨＩ）/ｋＴ、　Ｎ－＝Ｐ（Ｈ－）/ｋＴ　で求まる。 n1、 n２、 n３、n４　をＮＩ＝ n1＋n２＋ n３．．．からもとめるには、ＮＩ＝ n1と近似して、 n２ = n1 ×４×１０－10.2０θ n３ = n1 ×９×１０－12.08θ n４ = n1 ×１６×１０－12.75θ　　　　　　　（ボルツマンの式） で計算する。θ＝５０４０/Ｔ。　

　　　Ｔ　　 Ｐｇ　 Ｐｅ P H- Ne NI N- n1 n2 n3 n4 n5 K7 4000 1.0(5) 0.18 1.1(-4) 3.2(11) 1.7(17) 1.9(8) 1.6(17) 9.2(4) 8.9(2) 2.2(2) 1.4(2) K0 5000 8.5(4) 0.94 1.7(-4) 1.3(12) 1.1(17) 2.5(8) 1.1(17) 2.3(7) 6.7(5) 2.5(5) 1.9(5) G0 6000 6.2(4) 14 9.1(-4) 1.6(13) 6.8(16) 1.1(9) 6.8(16) 7.3(8) 4.3(7) 2.1(7) 1.8(7) F０ 7500 1.7(4) 130 9.7(-4) 1.2(14) 1.4(16) 9.5(8) 1.4(16) 8.2(9) 1.0(9) 6.3(8) 6.1(8) A0 10000 1300 419 2.8(-5) 3.0(14) 2.7(14) 2.0(7) 2.7(14) 7.9(9) 2.0(9) 1.6(9) 1.8(9) B1 25000 1900 905 ----- 2.6(14) 3.4(10) 3.3(2) 3.4(10) 1.2(9) 1.1(9) 1.4(9) 1.9(9) 次に、上の値を用いて連続吸収係数を計算する。

σn(λ) ＝ σn(λｎ) (λ/λｎ)３ (λ＜λｎ) （１）ＨＩのｂ－ｆ　吸収 κｂｆρ＝n１σ１＋n2σ2＋n3σ3＋……　　　　　　　　　Ｇ＝１で計算する。 　　　σn(λ) ＝ σn(λｎ) (λ/λｎ)３ (λ＜λｎ) 　　　λｎ=0.0９１２×ｎ２ μｍ 　　　σn(λｎ)＝ ０.７９１×１０－１７ ・ｎ　（ｃｍ２ )　 （２）Ｈ－のｂ－ｆ　吸収 　　　σｂｆ－ （λ）＝(1.99654-0.118267 X+264.243 X2-440.524 X3+323.992 X4 –139.568 X5 +27.8701 X6) 10－１８　ｃｍ２　　　　　　　　ここに、Ⅹ＝λ（μ） 　　　から、Ｎ－ σｂｆ－ （λ）を計算する。 （３）Ｈ－のｆ－ｆ　吸収 ＮeＮ－α－ｆｆ (λ, T)＝10-26・ＮＨＩ・ Pe （erg/cm3） ・ 10Ｃ 　 (cm－１) 　Ｃ＝fo+f1 logθ+f2log2θ　　ただし、θ=5040.２ / T、λ（in A)である。 fo=－2.276－1.6850 logλ＋0.76661 log2λ－0.0533464 log3λ f1=15.2827－9.2846 logλ＋1.99381 log2λ－0.142631 log3λ f2=－197.789+190.266logλ－67.9775 log2λ+10.6913 log3λ－0.625151 log4λ

ロスランド平均吸収係数κＲ 前節で求めたκ（λ）に基づいて、４．２．、４．３．節でやったκRを計算する。 Te（K)　　　　 ４０００　　 ５０００　　６０００　　７５００　 １００００　 ２５０００ κR（ｃｍ－１）　 3.84E-09 6.82E-9 3.98E-08 3.38E-08 1.43E-08 3.85E-09　

こうして、Te、ｋλ、ｋR　が揃ったので、ある波長λでτλ＝２／３になる深さでの温度T（λ）はエディントン大気を仮定して下のように求められる。 恒星表面でのフラックス　W(λ）＝λ・F(λ）　はしたがって、 以下に、このようにして求めた、ｋλ、W(λ)をグラフで示す。

問題９　２００５年１２月１９日　　　　　　　　提出　２００６年１月日　　　　　　　　 第７課にいくつかの有効温度の星の大気について吸収係数ｋλ（ｃｍ－１）を log１０ｋλの形で与えた。表ではｋ（total）と書いてある最後の列である。 そのうち１つを選び、第９課に習ってスペクトルを求めてグラフにせよ。