第4章 統計的検定 （その2） 統計学　2006年度

（その１） （その２） Ⅰ 仮説検定の考え方 Ⅱ 1つの標本にもとづく検定 Ⅲ 2つの標本にもとづく検定 a) 仮説の設定 Ⅰ　仮説検定の考え方 a)　仮説の設定 1)　検定仮説、対立仮説 2)　片側検定、両側検定 b)　2種類の誤り c)　仮説検定の手順 Ⅱ　1つの標本にもとづく検定 a)　母平均の検定 1)　母分散が既知の場合 2)　母分散が未知の場合 Ⅲ　2つの標本にもとづく検定 a)　母平均の差の検定 b)　母比率の差の検定 （その１） （その２）

Ⅱ 1つの標本にもとづく検定 次のような問題を考える。 Ⅱ　1つの標本にもとづく検定 a)　母平均の検定 1)　母分散が既知の場合 次のような問題を考える。 （例）　ある工場では直径5mmのねじを標準偏差0.04mmにおさまるような管理体制で製造している。製造機械の劣化によって、品質に変化が生じたかどうかを検討するために、9本を標本として選んだところ、その平均が4.97mmであった。これは品質管理上異常なしと考えて良いだろうか。

この手順にしたがって、この例を考えてみる。 　　　この問題に答えるためには仮説検定が必要となる。仮説検定は次のような手順をとる。 この手順にしたがって、この例を考えてみる。

この例の場合、 「品質管理上異常がない」か、「品質管理上異常がある」かを検定する。 １．仮説の設定 　　この例の場合、 「品質管理上異常がない」か、「品質管理上異常がある」かを検定する。 　　検定仮説としては「品質管理上異常がない」という仮説を用いる。このとき対立仮説は「品質管理上異常がある」という仮説となり、 H0: μ=5 vs. H1: μ≠5 　　と表すことができる。この場合、対立仮説は検定仮説の両側をとる（「異常がある」には、大きすぎると小さすぎるの両方が含まれ、「異常がない」という検定仮説の両側の範囲をとる）。 　　※１　検定仮説と対立仮説を逆にし、 H0: μ≠5 vs. H1: μ =5 とすることも考えられる。しかし、採択域と棄却域を構成する場合、検定仮説が正しいとみなして構成するため、検定仮説はある範囲(複合仮説)より、1つの数値(単純仮説)であることの方が望ましい。 　　※2　「ねじがねじ穴に入るかどうか」を検定するなら、「ねじ穴に入る」という検定仮説と、「ねじ穴に入らない」という対立仮説が考えられる。すなわち、 H0: μ≦5 vs. H1: μ > 5 とすることである。

この例では母分散が分かっているので、標本平均 を用いて、 ２．検定統計量 　　この例では母分散が分かっているので、標本平均 を用いて、 を考えると、これは標準正規分布にしたがう。 ３．採択域と棄却域 　　検定仮説が正しいと仮定する。このとき、標本平均をもとに計算したzが0から大きく離れていたならばこの仮定は誤りだったと考える。 zがここだったら検定仮説が正しいが zがここだったら検定仮説は誤りで、 このような分布が正しいと考える。

この場合、zは標準正規分布にしたがうので、有意水準5%†の仮説検定をおこなうなら、 のとき検定仮説を採択し、 　　 　　　　　　　　　　　　　のとき検定仮説を採択し、 　　　　　　　　　　　または　　　　　　　のとき対立仮説を採択する。 †　検定仮説が正しいなら、z>1.96またはz<-1.96となるような　　が選ばれる確率は5%である。これは第1種の誤りの確率すなわち有意水準が5%であることを意味している。 ４．統計量の計算 　　検定仮説が正しいとみなして(μに5を入れて)統計量を計算すると 　　となる。よって　　　　　　　 なので棄却域に入り、検定仮説を棄却し、対立仮説を採択する。 棄却域 -1.96 採択域 1.96 棄却域

母分散が未知の場合は、zの代わりに を考え、これが自由度n-1のt分布にしたがうことを用いて仮説検定をおこなう。 2)　母分散が未知の場合 　　母分散が未知の場合は、zの代わりに　　　　　　　を考え、これが自由度n-1のt分布にしたがうことを用いて仮説検定をおこなう。 次のような問題を考える。 （例）　ある科目の試験を、平均点70点となるように作成したい。そこで、26人をサンプルとして選び、問題をといてもらったところ、26人の平均点は60点、分散が625であった。試験の問題作りは成功したといえるだろうか。

（解） １．仮説の設定 「平均点が70点である」という仮説を、「平均点が70点でない」という仮説に対して検定するので、 H0: μ=70 vs. H1: μ≠70 という仮説を設定する。 ２．検定統計量 標本平均 を用いて、 を考えると、これは自由度n-1のt分布にしたがう。 ３．採択域と棄却域　検定仮説が正しいと仮定する。このとき、標本平均をもとに計算したtが0から大きく離れていたならばこの仮定は誤りだったと考える。tは自由度26-1=25のt分布にしたがうので、t0.95=2.060でる。有意水準5%の仮説検定をおこなうなら、 　　　　　　　　　　　　のとき検定仮説を採択し、　　　　　　　または　　　　　　　のとき対立仮説を採択する。 ４．統計量の計算 　　となる。　　　　　　　 　　　　　　なので検定仮説をを採択する。よって問題作りは成功したといえる。

母比率の検定では、 が標準正規分布にしたがうことを利用する。 b)　母比率の検定 母比率の検定では、 　　　　　　　が標準正規分布にしたがうことを利用する。 （例）　2006年6月18日(日)に放送された「FIFAワールドカップ 日本×クロアチア」では、視聴率が52.7%(関東地区 600世帯を対象)であった。この結果から、50%を超えたといえるであろうか。

（解） １．仮説の設定 H0: p=0.5 vs. H1: p＞0.5 という仮説を設定する。「50%を超えない」という検定仮説に対し、「50%を超えた」という対立仮説を検定するので、 H0: p≦0.5 vs. H1: p＞0.5 であるが、検定仮説は対立仮説に最も近い1点を考えれば良い。(0.5で成り立てば、それより小さな値では必ず成り立つ) ２．検定統計量 標本比率 を用いて、 を考えると、これは標準正規分布にしたがう。 ３．採択域と棄却域 zは標準正規分布にしたがうので、有意水準5%の仮説検定を片側検定でおこなうなら、 　　　　　のとき検定仮説を採択し、　　　　　　　　　　　　　のとき対立仮説を採択する。 ４．統計量の計算 　　となる。　　　　　　なので検定仮説をを採択する。よってこの番組の視聴率は50%を超えたとはいえない。