確率と統計2010 2010年12月16日（木） Version 3

今日も検定、検定また検定

PROBLEM 全国10歳の女子の身長は、平均μ=140cm、標準偏差 σ=5cmの正規分布に従うことが知られている。いま、あ る地域に住む10歳の女子25名の身長を調べたところ、 平均m=137cmであった。この地域の女子の身長は全 国水準と比べてどうか？

平均μ = 140cm 標準偏差σ = 5cm 平均μ = 137cm 標準偏差

平均μ = 140cm 標準偏差σ = 5cm 平均m = 137cm 標準偏差 標本平均 m = 140cm 標準偏差σX = σ/√n

仮説H0：その地域に関するデータは、全国データの標本で　 　　　　　　ある。 定理：N(μ=140, σ2=25)から得られる標本に関して、 　　　　標本平均の平均はN( μ, σ2 / n ) に従う。 事実(調査結果)：　標本の平均m=137cm。 分析： N( μ, σ2 / n ) = N( 140, 52/ 25 ) = N( 140, 1 ) に 　　　　おいて、平均値mが137cm以下か143以上になる 　　　　確率Pを計算する(両側検定)。 判断基準：有意水準を5％とする。 計算（標準化）： 　　　　Z = ( m － μ) / (σ / √n) = －3　および正規分布表より、 　　　　P = 0.0027 < 0.05 仮説H0を棄却する。 結論：有意水準５％でその地域の女子の身長は 全国平均よりも低い。

データ分析の練習をしてみよう！

PROBLEM あるガン性疾患Xの疑いのある患者60名のうち、最終的 にガンXの診断が確定した者は20名であった。いま、全 症例についてその血液型を調べ、A型の人数を数えた ところ以下のようになった。ガンXの患者ではA型の人が 多いと言えるか？考察せよ。 ガン陽性(+) ガン陰性(－) 　合 計 A　　　＋ 型　　 － １５ 　５ ２５ ３０ 　合 計 ２０ ４０ ６０

考察 ２行２列の表になっているので、２×２分割表の検定法 を適用する。

PROBLEM 前立腺ガンの患者150名をランダムに２群に分け、A,B ２種類の方法で治療を試みた。一定期間後、両群の生 存・死亡数を比較したところ以下のようになった。治療法 により生存率が異なると言えるか？ 治療法A 治療法B 合計 生存者数 死亡者数 ５５ ２０ ３５ ４０ ９０ ６０ ７５ １５０

PROBLEM 　シャープペンシル用の芯を作っている工場において、 製造した芯の太さの平均値μ（母平均）が0.90mmにな るようにしないと、シャープペンシルに合わない芯が出 て顧客から苦情が来るため、母平均が0.90mmではな くなったときは機械を止めて調整することにしている。 　母平均が0.90mmかどうかは、毎日製造される芯の中 から、無作為に100本を取り出して、その太さを測りその 平均値mを計算することで調べている。いまmを求めた ら0.91mmであり、また、標準偏差s=0.03mmであった。 この場合あなたはどういう判断を下しますか？ （機械を止めて調整する？　まだしない？）

考察 条件設定： 分かっているもの： 母平均μ 標本平均m 標本の大きさn 分かっていないもの： 母標準偏差σ

数学的事実 標本平均Xは、標本の大きさが十分大きければ、 N( μ, σ2/ｎ ) に従う。 従って、Z=（X－μ） / ( σ /√n ) は、N(0, 1) に従う。 【疑問】 この定理が利用できるためには、母平均と母標準偏差 がともに分かっていなければならない。 しかしながら、今の場合には分かっていない！ どうすればいいのか？

新たな事実 標本の大きさnが十分大きければ、s≒σ　とおける。

考察（続き） 有意水準1%とすると、 |Z0| > 2.576 だから、母平均は0.90mmではない。 機械を止めて調整しよう！

PROBLEM (平均値の差の検定) A社とB社の食料品を、それぞれ無作為に100個ずつ 取り出して、その濃度を測定したところ、ma=45.36%, sa=0.35%, mb=45.24%, sb=0.40% であった。 両社の製品に関する濃度の母平均には差があるだろう か？　統計的に検討しなさい。

仮説H：２つの母平均には差がない。μa = μb。 ma=45.36, mb=45.24, sa=0.35=σa, sb=0.40=σb, na=nb |z0|>1.96だから、有意水準5%でHは棄却。 （A社の方がB社のものより濃度が高い。）

根拠 ２つの標本の元の分布が正規分布ならば、 ma－mbの分布もまた正規分布で、 N(μa－μb, σa2/na + σb2 /nb) になる。 また、ｎが十分大きければ元の分布が正規分布でなくて も、中心極限定理により正規分布とみなしてよい。

（重要）　統計学で重要な定理の紹介 これ以外にもチェビシェフの不等式なども重要な事実 （定理）です。

定理１ ｘ が正規分布 N（μ，σ２） に従うとき、大きさ ｎ の無作為 標本に基づく標本平均 ｍは、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。 （ｘの標本分布に関する定理）

定理２（重要） ｘが任意の分布（平均＝μ，分散＝σ２）に従うとき、大きさ ｎ の無作為標本に基づく標本平均 ｍ は、 ｎ が無限に 大きくなるとき、正規分布 N(μ、σ２／ｎ） に従う。 （中心極限定理）

問題１ ある学力テストの得点Xは、正規分布Ｎ（１６０，２０２） に従うとする。いま、大きさ１６の標本をとり、その標本 の平均値ｍの値を求めるとき、 mが１６５を超える確率は？ mが１５０未満となる確率は？

中心極限定理の利用法 問題１．　 　　　 ある大学の受験生の母集団から無作為に 選んだ１人の受験生の成績を ｘ とする。 いま、過去の経験から、 ｘ は平均 μ＝ 2.5, 標準偏差 σ ＝ 0.4 であることがわかっているも のする。 このとき、この母集団から ３６人の受験生の 標本を採り、標本平均 ｍ を求めるとき、 ｍが２．４未満となる確率は？ ｍが２．４～２．７となる確率は？

落ち着いて考えよう。 問題１のヒント 中心極限定理より ｓ＝σ／√ｎ ＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ ＝（２．４－２５）・０．０６７＝ ｓ＝σ／√ｎ　＝０．４／√３６ ｚ＝（ｘ－ｍ）／ｓ　＝（２．４－２５）・０．０６７＝ Ｐ｛ｍ＜２．４｝　＝Ｐ｛ｚ＜－１．５０｝＝ （標準正規分布表を利用） 落ち着いて考えよう。

レポートとアンケート 「レポートNo.3」の提出日は、 平成23年１月14日（木）17時です。 提出先は研A６階レポートボックスです。 授業評価アンケートを１月６日に実施します。 　　それではよいお歳を！ 　Happy New Year!