空間図形の取り扱いについて

平面の定義（１） 法線ベクトル（基本ベクトル）U（３次元）と原点と平面との距離Lで表される。 固有ベクトルV（３次元） ※　法線ベクトルの長さは１ 固有ベクトルV（３次元） 計算に便利 原点を通る平面（L=0）の場合は使用できない（解が無限になる） V=U÷L

平面の定義（２） Z ☆平面の求め方 Q・V＝１ ：QとVとの内積 L Y X C点＝原点からの距離が最も近い点 平面 法線ベクトルU Q・V＝１　：QとVとの内積 C点 L ※　Q＝通過点で、３点あれば平面が求まる。 Y X

平面の求め方（例） Z ・ V ＝ で求まる Y X （０，３，０） 平面 （２，０，０） ２ ０ ０ ０ ３ ０ １１１ ０ ０ ５ ２　０　０ ０　３　０ ０　０　５ １１１ ・ V ＝ で求まる （０，０，５） 法線ベクトルU （０，３，０） C点 平面 Y X （２，０，０）

直線の定義 直線は通過点と方向ベクトルU（３次元）で表される 通過点 法線ベクトルU

２平面から直線を求める 通過点を求める式 ・ Q ＝ 方向ベクトルを求める式 ・ U ＝ U1X U1Y U1Z U2X U2Y U2Z 平面１：U1、L1 U1X U1Y U1Z U2X U2Y U2Z 1 1 1 L1 L2 １ ・ Q ＝ 平面２：U2、L2 ※　第３行は0,0,0以外何でもよい 通過点Q 方向ベクトルを求める式 方向ベクトルU U1X U1Y U1Z U2X U2Y U2Z 1 1 1 １ ・ U ＝ ※　第３行は0,0,0以外何でもよい

平面と点の距離 （hの長さを求める） L+h＝U・P ※ 点Pのほうが原点から遠いなら、ｈは＋になる ∴ h＝U・P－L 点P 平面 C点 h L 点Pを通りベクトルUに垂直な平面の式から L+h＝U・P ※　点Pのほうが原点から遠いなら、ｈは＋になる ∴ h＝U・P－L

直線と点の距離 r ∴ ｒ＝ |QP|＾２ー（QP・V）＾２ |QP|・cosθ＝QP・V |QP|・sinθ＝ｒ 両辺を二乗して加えると |QP|＾２＝（QP・V）＾２＋ｒ＾２ 点P ∴ ｒ＝ |QP|＾２ー（QP・V）＾２

直線と直線の距離 ・ V3 ＝ h Q１・V3＝L１ で表される Q２・V3＝L２ で表される V1X V1Y V1Z V2X V2Y V2Z 1 1 1 １ V２ ・ V3 ＝ h ※　第３行は0,0,0以外何でもよい V3を求めた後、V3を正規化する。 V1 V3を法線ベクトルとしＱ１を通る平面は Q2 Q１・V3＝L１　で表される V３ 同様にＱ２を通る平面は Q２・V3＝L２　で表される ∴ h＝｜L1ーL2｜＝| Q１・V3ー Q２・V3|

点群の平面近似 Σ｛Pi1*Pi1｝、 Σ｛Pi2*Pi1｝、 Σ｛Pi3*Pi1｝ Σ｛Pi1｝ 最小二乗法とは Σ（近似値誤差）＾２を最小にする方法 点群 h（誤差） 以下の式で求めることができる Σ｛Pi1*Pi1｝、 Σ｛Pi2*Pi1｝、 Σ｛Pi3*Pi1｝ 　 Σ｛Pi1｝ Σ｛Pi1*Pi2｝、 Σ｛Pi2*Pi2｝、 Σ｛Pi3*Pi2｝ ・ V = Σ｛Pi2｝ Σ｛Pi1*Pi3｝、 Σ｛Pi2*Pi3｝、 Σ｛Pi3*Pi3｝ 　 Σ｛Pi3｝ ※ i ＝ 1～点群の数

点群の球面近似 Σ｛Ui1*Ui1｝、 Σ｛Ui2*Ui1｝、 Σ｛Ui3*Ui1｝ Σ｛Li*Ui1｝ まず、点群の任意の２点が面対称になる平面Siを求める。 平面Siは球面中心近くを通るので次式で球面の中心Cを求めることができる Pi Pi+1 P2 P1 焦点C 以下の式で求めることができる Σ｛Ui1*Ui1｝、 Σ｛Ui2*Ui1｝、 Σ｛Ui3*Ui1｝ 　 Σ｛Li*Ui1｝ Σ｛Ui1*Ui2｝、 Σ｛Ui2*Ui2｝、 Σ｛Ui3*Ui2｝ ・ C = Σ｛Li*Ui2｝ Σ｛Ui1*Ui3｝、 Σ｛Ui2*Ui3｝、 Σ｛Ui3*Ui3｝ 　 Σ｛Li*Ui3｝ ※ i ＝ 1～点群の数（数が多いほど精度がよくなる）

参考：ガウスの消去法（線形一次連立方程式の解法） a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 X Y Z C1 C2 C3 ・ ＝ a11 a12 a13　C1　 a21 a22 a23　C2 a31 a32 a33　C3 手順１：１行全体を１行１列目で割ることで１行１列目を１にする ※１行１列目が０の場合は、他の行と入れ替える 手順２：２行目全体－１行目全体＊a21を行い、２行１列 　　　 目を０にする。３行目も同様 手順３：手順１と同様に、２行２列目を１にする 手順４：３行目全体－２行目全体＊a32を行い、２行１列 　　　 目を０にする。１行目も同様 手順５：手順１と同様に、３行３列目を１にする 手順６：１行目全体－３行目全体＊a13を行い、１行３列 　　　 目を０にする。２行目も同様