凹型区分線形取引コストを考慮した 少額資産運用ポートフォリオ最適化 A 山田賢太郎

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 2

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 3

１．研究背景 数千万円程度の少額資産運用では，モダン・ポート フォリオ理論は適さない． 最小取引単位制約や取引コストを考慮した場合，数 十銘柄による資産のポートフォリオを組めないから． 従来研究（ 2001 年）では，平均絶対偏差の利用によ り，モダン・ポートフォリオ理論を少額資産運用モ デルに適用することができた． 取引コストを完全には考慮しきれていないなど，問 題も残っている． 4

1.1 用語の説明（ポートフォリオ） 自己の運用資産（株式，債券，投資信託，外国預金等） の構成状況のこと． リスク許容度に応じて，異なる金融商品に分散投資をす る． 投資家が目標とする期間でのリターン（収益）とそれに 見合ったリスクのバランスを取ることがポイント． 注意 この研究では，問題を簡潔にするため，ポート フォリオの構成要素は全て株式であるとする． 5

1.1 用語の説明（モダン・ポートフォリオ理論） H.M. マーコウィッツ (Harry M. Markowitz, アメリカ ) に より提唱される． 自身のポートフォリオを最適化し，自身のリスク資産を どう価格設定するのかを決める理論である． ポートフォリオを複数資産の集合とみなすと，得られる 収益は，複数資産の収益の加重平均で表される． リスクの評価は標準偏差で行われる． 6

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 7

２．研究目的 従来研究（ 2001 年）により，少額資産運用モデルにもモダ ン・ポートフォリオ理論を適用することが可能となった． 2001 年当時のコンピュータの性能では，完全に凹型区分線 形取引コストを考慮できていない． 従来研究を凹型取引コストと最小取引単位を考慮したモデル に変更する．また，直接投資収益額が求まるように変更する． 変更したモデルの作成及び評価をすることを目的とする． 8

2.2 凹型区分線形取引コスト 取引コストは，各銘柄の取引金額に応じて異なる． 9

2.2 凹型区分線形取引コスト 取引コストは，各銘柄の取引金額に応じて異なる． 注意 従来研究では，凹型区分取引コストを完全には考慮できておらず， 下方近似した取引コストを使用している． 10 下方近似している！

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 11

３．従来研究の定式化 少額資産運用にモダン・ポートフォリオ理論を組み 入れたのが，従来研究の定式化． リスクの評価を絶対偏差に置き換えたモデルが，平均絶 対偏差モデルである． リスクの大きさは，各投資家の許容度によって異なる． リスクを各投資家の許容リスク範囲内の一定値以下とし た上で，期待収益率の最大化を目指す． 12

３．従来研究の定式化（入力データ） 13

３．従来研究の定式化（目的関数） 14 投資収益率最大化！

３．従来研究の定式化（目的関数） 注意 凹型区分線形取引コストを完全には考慮できておらず， 下方近似している． 15

３．従来研究の定式化（目的関数） 16 ポートフォリオから得 られる収益率の最大化

３．従来研究の定式化（制約条件） 17 リスクは、各投資家の許 容リスク範囲以下

３．従来研究の定式化（制約条件） 18 各株式の取引量は 非負整数倍 各株式の投資比率 の和＝１

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 19

４．本研究での定式化（目的関数） 20 投資収益最大化

４．本研究での定式化（制約条件） 21

４．本研究での定式化（制約条件） 22 各株式の投資額の和は 資産総額 M となる。 各株式は， 100 株分の値 段の非負整数倍で取引．

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 23

5.1 実験目的 凹型区分線形取引コストを完全に考慮したことで，最適解が 求まるまでの計算時間が延びることが予想された． コストの影響分だけ，ポートフォリオに組み込まれる銘柄数 に変化がおこると予想された． 計算時間，銘柄数，最適解に注目し，コストを考慮しないモ デルとで比較実験を行った． 作成したモデルの評価を行った． 24

5.2 実験データと使用ソフトウェア 実験データ ▫ 実データを得ることが困難であった． ▫ 日経 225 の株式データの 2011 年度 ( 通年 ) の配当金を参 考に，乱数を用いて以下のものの疑似データを作成．  各株式の株価  シナリオごとの投資収益率 ▫ 実験に用いたデータは， 50 銘柄、 40 シナリオ分の データとする。 使用ソフトウェア ▫ 混合整数計画ソルバー Gurobi Optimizer

5.3 実験結果概要 投資金額を ▫ ３百万円，５百万円，１千万円，５千万円，１億円， ３億円 として、実験を行った。 投資額の 10 ％以下を許容リスク範囲とし、今回作成した モデルの評価を行った。 許容リスク範囲は ▫ ３万円，３０万 円，３百万 円，３千 万円，３億円 とした。 26

6.1 計算時間での比較結果 リスクの大きさは，投資額の 10 ％程度とする投 資家が多い． 許容リスク範囲が各投資額の 10 ％以下の部分で 比較をした． 最適解が求まった許容リスク範囲は，３万円， ３０万円，３００万円であった． 27

6.1 計算時間での比較結果 投資額に対して，許容リスクが 10 ％程度では大差なく，一瞬にして最適解が求まった． 投資額に対して許容リスクが 1 ％程度では，取引コストを考慮した場合の方が，計算時間 が倍以上かかった．しかしながら，どの場合も 400 秒以内には最適解がみつかった． 各投資額に対して許容リスク範囲が 1 ％よりも小さくなると，コストを考慮した方が，格 段と計算時間がかかった． 28

6.2 銘柄数での比較結果 青抜きの個所は、実行可能解がなかった個所である。 ポートフォリオに組み込まれる銘柄にも違いは見受けられ なかった． 29

6.3 投資収益額での比較結果 青抜きの個所は，実行可能解がなかった個所である． 比較結果から，運用資金が高く，分散銘柄数が多く，各々の銘柄への投 資額が大きい場合には，取引コストが安くなるという，取引コストの性 質がきちんとモデルに反映されていた． 30

目次 １．研究背景 1.1 用語の説明 ２．研究目的 2.1 凹型区分線形取引コスト ３．従来研究の定式化 ４．本研究での定式化 ５．実験による評価 5.1 実験目的 5.2 実験データと使用ソフトウェア 5.3 実験結果概要 5.3 計算時間での比較結果 5.4 銘柄数での比較結果 5.5 投資収益額での比較結果 ６．まとめ 31

７．まとめ 実験結果より，凹型区分線形取引コストを考慮したモデルは， 投資額が十分大きい場合は，十分有益なモデルであるといえ る． 投資額が小さく，許容リスク範囲も小さい場合は，最適解が 求まる時間が格段と長い．しかし，投資収益が各株式の配当 のみの場合には、十分有益だといえる． 株式の売却差益を，ポートフォリオから得られる収益に含め る場合，投資額が小さく，リスクも十分小さい範囲で最適解 を求めたい場合は，許容可能な実行可能解が見つかるまでの 計算時間がかかりすぎてしまう．実務では使えないであろう と感じた． ※これより，質疑応答を受け付けます。 32