正負の数の加減 小学校算数に接続した ８時間教材が ４時間で完了する 単元構成の提案 教科書の書き変えを願って！ 中学校　　数と式分科会　レポート 小学校算数に接続した 　　正負の数の加減 ８時間教材が　４時間で完了する　単元構成の提案 教科書の書き変えを願って！ 　奈良市退職教員　　福 尾 忠 彦

３（スリー）ステップ 先ずは結論から。 ＝－５＋６－９＋２ 先生方 どのように計算しますか？ －５－（－６）＋（－９）＋２ －５＋６－９＋２ 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 先ずは結論から。 先生方　どのように計算しますか？　　　　　 －５－（－６）＋（－９）＋２ ↓①　（　　　）をはずす ＝－５＋６－９＋２ －５＋６－９＋２ ↓②　正の項を左に　負の項を右に合計する ＝（６＋２）－（５＋９） ↓③　合計どうし引き算 ＝　８－１４　＝－６ ３（スリー）ステップ 教科書も含め　ほぼ全ての参考書も、表現は多少違っていても　加減の最後の説明として この方法を示しています。　　日常の黒字･赤字の計算もこの感覚で行われています。 　これから行う提案は　新しい要素は特になく　説明の順番を組み替えて、先に一般化したこの方法で　全ての加減計算を　同一手順で処理しようという発想です。　　　　　　　

このレポートは それでは 報告に移ります。 ・ 授業時間の大巾短縮 （ ８時間 → ４時間 ） 生徒への説明がシンプル 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート このレポートは ・　授業時間の大巾短縮　　　（　８時間　→　４時間　） 　 生徒への説明がシンプル　 　 生徒の理解よく　乗り もよい実践報告です。 ・　３０年以上の実績で　自信のある報告です。 ・　しかし、初めて聞く先生方には　何か違和感があるでしょう。 ・　計算練習では、４項の加減計算から入り、２項計算へと進む 　　通常とは逆パターンに見えるからです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 そこで、 ・　小学校算数と接続することで　それを解決しました。 それでは　報告に移ります。

現行教科書の単元構成 教科書の 加減についての指示 果たして この指示は先の計算に役立つでしょうか？ 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 現行教科書の単元構成 教科書の　加減についての指示 ２項の計算から始めますから 加法について 減法について 別の型として６～８種の例題が示されている。 どちらも　東書教科書より 果たして　この指示は先の計算に役立つでしょうか？ 型分け認定は　初心者にとって不得手で　混乱の原因。

発想の転換 ▷ ３項以上の多項式を簡単に処理出来る生徒たちに 何故 ２項計算に無理矢理 固執させるのか？ 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 発想の転換 ▷　３項以上の多項式を簡単に処理出来る生徒たちに 　　　何故　２項計算に無理矢理　固執させるのか？ ▷　２項計算で負数の加減を　完結しようとすれば、 　　　どうしても場合による型分けが必要になる。 　　　⇨　説明が煩雑になる。 　　　⇨　型分けの認定は　初心者には苦手 ⇨ 混乱の原因 ▷　それなら 　　　負数の加減の意味を２項計算で理解させた後は、 　　　同一手順で全て処理出来る４項計算で一般化してから 　　　２項計算へ移行すればよいであろう。

正負の加減の２つの要素 （他の計算一般も同じ。） 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 正負の加減の２つの要素 （他の計算一般も同じ。） １、負数を足したり引いたりすることの意味の基本説明。 例えば　　５＋（＋２）　　　５＋（－２）　　５－（＋２）　　５－（－２）　　などの 　　　　　　２項での計算の意味を、 　　　　　　教科書流に数直線で、他に　トランプで　現金借金での説明など重複して 　　　　　　十分に実感として　理解させます。 ２、基本説明の後　計算操作・処理説明に進みます。 操作・処理説明は　教科書のように、２項計算の説明の後に多項式に移る必要は ありません。　先の例題のように　４項の式で一般化して　２項の練習へ進んでも 何ら理論的数学的に問題は生じません。 つまり　本報告の方法は、基本説明　と　操作・処理説明を分離した方法です。 　　　　　教科書流の説明は　この２つが混在した説明で、生徒の理解定着への 　　　　　弊害になっていると考えられます。 そもそも　数学の良さのひとつは、数式の意味を理解した後　機械的な処理で 正しい結果にたどり着くことであります。

以上が このレポートの要点の全てで 既に 結論を推察されていると思いますが、 私が実際に進めていた授業の流れを基に 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 以上が　このレポートの要点の全てで　 既に　結論を推察されていると思いますが、 私が実際に進めていた授業の流れを基に　 新たな単元構想を提案させてもらいます。 トランプゲームの流れから発想した方法ですが、 ゲームを利用しない授業にも使える展開に一般化しました。

次に 授業展開の概略を示します。 単元の核心 （ここまでは現行教科書とほぼ同じ） １、負数の導入 ２、負数の必要性 と 使用例 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 次に　授業展開の概略を示します。 １、負数の導入 ２、負数の必要性　と　使用例 ３、負数を加減する意味の理解　と　（　　）はずしの練習 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 単元の核心 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ここまでは現行教科書とほぼ同じ） ４、小学校算数の復習　（項の多い加減） ５、４項式で　正負の加減の一般型を習得 ６、２項式での正負の加減（一般型の応用として扱う）

これは各先生方 お好きな方法でよいですが 私の例です。 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　数と式分科会　レポート 授業展開の詳細 １、 負数の導入 １、負数の導入 　これは各先生方　お好きな方法でよいですが　私の例です。 買い物で　お釣りの計算を見ていきましょう。 例えば　所持金４万円での買い物で　買う金額を増やしていきます。 ４－１＝３　　　　　４－５＝？ ４－２＝２　　　　　４－６＝？ ４－３＝１　　　　　　　　・ ４－４＝０　　　　　　　　・ 　　　　　　　　　　　　　　・ ⇨　　－１ ⇨　　－２　 これは　教え込まなくても、発問に対して生徒は自然に解答します。 これをマイナスの数と定義し、全ての引き算が完結することを理解させます。

小学校算数で扱っていないのは、 ・ ３－５＝ ２－１３＝ などの （小さい数）－（大きい数） のみです。 中学校　　数と式分科会　レポート 小学校算数で扱っていないのは、 ・　３－５＝　　　　　２－１３＝　　 　　　などの　　（小さい数）－（大きい数）　　のみです。 ・　これこそが　中学校入学生には初めて見る式なので、 　　このパターンに特化した練習が必要です。 　　教科書は　特化しては扱っていません。 ・私のホームページからダウンロード出来る　練習プリントには 　この種の問題を挿入しています。

２、 負数の必要性 使用例 ２、負数の必要性 と 使用例 ① 全ての引き算に答えを用意する。 （先ほどの説明） 中学校　　数と式分科会　レポート 教科書などとほぼ同じなので 口頭説明は省略します。 中学校　数と式分科会　レポート ２、 負数の必要性 使用例 ２、負数の必要性　と　使用例 ①　全ての引き算に答えを用意する。　（先ほどの説明）　 ②　正反対のものの　片方をプラス　他方をマイナスとする。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　電気　　現金と借金　など 電気　現金と借金　など ③　標準からのズレで　片方をプラス　他方をマナスとする。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　温度　標高　位置表示　など 各項の例は生徒に発問して引き出しますが、 現金と借金については意外と出てこないので　その場合は、 授業者から提案して付け加えます。

（ ）はずしの練習 ３、負数を加減する意味の理解 単元の核心 （ ）はずしの練習 ３、負数を加減する意味と ５＋（－２）＝５－２ 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　数と式分科会　レポート ３、負数を加減する意味と 　　　　　　（　　）はずしの練習 　　　　　　　　　　　　　単元の核心 ３、負数を加減する意味の理解 　　　　　　　（　）はずしの練習　 ５＋（－２）＝５－２　 ５－（－２）＝５＋２　　などの説明は ①　数直線での　右へ進む　左へ進むの方法。　（教科書の説明） ②　トランプカードでの説明。 　　③　現金や借金のやりとり。　　など 　大切な事項なので　３つとも　実物を示し　じっくり説明します。 　本提案は時間の余裕がありますので　何度もこれらを説明します。

⇨ この（ ）はずしの結果を 計算の最初に適用します。 さらにまとめて 同符号 → ＋ 異符号 → － 中学校 数と式分科会 レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 　結果のまとめ ５＋（＋２）＝ ５＋２　＝　７ ５＋（－２）＝ ５－２　＝ ３　 ５－（＋２）＝ ５－２　＝　３ ５－（－２）＝ ５＋２　＝ ７ さらにまとめて 　（　　）のはずし方 同符号　　→　　＋ 異符号　　→　　－ ⇨ この（　　）はずしの結果を　計算の最初に適用します。

７－５＋３－１ ＝（７＋３）－（５＋１） ＝ １０－６ ＝ ４ ４、 小学校算数の復習 項の多い計算 いろんな方法がありますが話の展開として 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　数と式分科会　レポート ４、 小学校算数の復習 項の多い計算　　　　　　　　　いろんな方法がありますが話の展開として 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次のように復習します。 ７－５＋３－１ ↓①　足し算を左に　引き算を右にまとめる　 ＝（７＋３）－（５＋１） ↓②　合計どうしを引き算 ＝　１０－６　＝　４

授業内容に合わせ その都度に配布演習させる プリントです。 ノートに貼らせます。 このようなプリントを No、０～No７まで用意します。 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　数と式分科会　レポート 授業内容に合わせ その都度に配布演習させる プリントです。　ノートに貼らせます。 このようなプリントを No、０～No７まで用意します。　 授業に沿って　練習・演習させます。

３（スリー）ステップ ５、 ４項式での正負の加減 最初に 示した式です －５－（－６）＋（－９）＋２ ＝－５＋６－９＋２ 中学校　　数と式分科会　レポート ５、　４項式での正負の加減 　　　　最初に　示した式です －５－（－６）＋（－９）＋２ 算数復習の２ステップの先に、　（　　）はずしの結果を最初のステップとする。 ↓①　（　　　）をはずす ＝－５＋６－９＋２ ↓②　正負それぞれを合計 ＝（６＋２）－（５＋９） ↓③　合計どうしを引き算 ＝８－１４＝　－６ ３（スリー）ステップ

数学的に ていねいには、 －５－（－６）＋（－９）＋２ ＝－５＋６－９＋２ ＝（６＋２）－（５＋９） ＝ ８ － １４ ＝ －６ 中学校　　数と式分科会　レポート 数学的に　ていねいには、 　－５－（－６）＋（－９）＋２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓①　（　　）をはずす ＝－５＋６－９＋２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓（ア）　代数和に変換 　＝（－５）＋（＋６）＋（－９）＋（＋２）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓（イ）　交換法則で並べ替え 　＝（＋６）＋（＋２）＋（－５）＋（－９） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓（ウ）　正負それぞれ合計して引き算 ＝（６＋２）－（５＋９） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓③　合計どうし引き算 ＝　８　－　１４　＝　－６　　 と　すべしですが　中学生に分かり易いように、数式の２行は省略する。 変形指示の　（ア）（イ）（ウ）３行は　算数の「足し算引き算の工夫」を応用して 「　↓ ②　正負それぞれを合計　」と簡略化します。　　　　　　　　　

３ステップ法の 「 こつ、 要点」 １、正負各項を合計しますが、その項が１つだけの場合は （ ）の中に １つだけ書きます。 中学校　　数と式分科会　レポート ３ステップ法の　「 こつ、　要点」 単純シンプルな方法ですが、生徒が変に解釈しそうな問題の練習をします。 １、正負各項を合計しますが、その項が１つだけの場合は 　　（　　）の中に　１つだけ書きます。 ２、合計しようにも、正負片方の項が無い場合は 　　（　　）の中に　０（ゼロ）と書きます。 いろんな場合の具体例は配布プリントなり、 筆者のホームページに詳しく説明していますので 参考にして下さい。

この会場にはプリントは用意していません。 後述のホームページから ダウンロード出来ます。 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート この会場にはプリントは用意していません。 後述のホームページから ダウンロード出来ます。

6、 2項式での正負の加減 中学校 数と式分科会 レポート －１２＋（－５） ↓①（ ）をはずす ＝－１２－５ ↓②正負それぞれの合計 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート 6、　2項式での正負の加減 －１２＋（－５） 　　 ↓①（　）をはずす ＝－１２－５ ↓②正負それぞれの合計 ＝（　０　）－（１２＋５　） （正は左　負は右） ↓③合計どうしを引き算 ＝　０－１７＝　－１７ 　 板書では各段階の式をていねいに書きますが、暗算出来る者は途中の式の省略を促します。 ・このようにして、教科書の各セクションの問題を 説明抜きでどんどん進めて行きます。 式の変形　手順は３ステップ法で行いますが、教科書の例題　については、何故それ を例題に取り上げているのかの型についての説明を口頭にて簡単に行う。

３（スリー）ステップ法 ① （ ）をはずす ② 正負それぞれを合計 ③ 合計どうしを引き算 もう お気づきですね、 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート ３（スリー）ステップ法 　　　　　①　（　　）をはずす 　　　　　②　正負それぞれを合計 　　　　　③　合計どうしを引き算 もう　お気づきですね、 　　足し算引き算、項の数、各項の正負 　　正負の絶対値の大小など一切関係なく全ての式を 　　同一手順で処理できます。 　　そもそも、絶対値という用語なしで処理できます。 授業者の説明の手間が大巾に少なくなり、 その分　生徒も理解しやすいです。

反復練習 教科書によっては 左のように 正負の数を並べたものが掲載されている。 ２項計算の練習が終わった後は、 中学校　　数と式分科会　レポート 反復練習 教科書によっては　左のように 正負の数を並べたものが掲載されている。 ２項計算の練習が終わった後は、 ２数の足し算や　左から右の引き算の 練習を、座ったまま順々に暗算で 答えさす練習をします。 その後の授業でも　何回か繰り返します。 　かけ算の暗算練習にも使えます。

まとめです。 さて 先生方、 どちらの手法を採用しますか？ ３ステップ法 現在の教科書流説明 ↓① （ ）をはずす ↓② 正負をそれぞれ合計 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート まとめです。 　　３ステップ法　 ↓①　（　　）をはずす ↓②　正負をそれぞれ合計 ↓③　合計どうしを引き算 全て同一手順で　　 　　　　　　　　　　　　　４時間 説明が単純明快 シンプル 　　　授業の“乗り”　が良い 余った時間で　この単元の核心 負数の加減と　（　　）はずし意味を 十分に繰り返し扱えます。 現在の教科書流説明 ２項計算の後　４項計算の説明 　　　　　　　　　　　　標準８時間 ・説明が多く　“乗り”が悪い ・式を 型分け認定 しなければならない。 さて 　　先生方、　どちらの手法を採用しますか？

中学校　　数と式分科会　レポート 春の　東大寺 大仏池　 ご静聴ありがとう御座いました。

筆者ホームページ メールアドレス 中学校数学 正負 奈良 Yahoo の画面で 検索 ｆukuo-2981@kcn.jp 中学校　　数と式分科会　レポート 筆者ホームページ Yahoo の画面で 中学校数学　正負　奈良 検索 メールアドレス ｆukuo-2981@kcn.jp どちらもプリントに記載しています

３ステップ法の正統性 １、今までは 教科書流の説明とあまりに違うし、私自身 正統な方法ではないと考えていました。 中学校　　数と式分科会　レポート 中学校　　数と式分科会　レポート ３ステップ法の正統性 １、今までは 教科書流の説明とあまりに違うし、私自身　正統な方法ではないと考えていました。 ２、現在は 小中の連携・接続を重視するならば、小学校算数の延長で説明するこの３ステップ法こそが正統ではないかと思っています。 つまり、教科書の書き変えを願っています。

符号 と 演算記号 代数和について 代数和に関する考察です。 例えば ５－３＋４－１＝（＋５）＋（－３）＋（＋４）＋（－１） 中学校　　数と式分科会　レポート 符号 と 演算記号　代数和について この項は授業で取り上げる内容ではなく、授業者の知識として考える材料にしてもらえば幸いです。 代数和に関する考察です。　例えば 　　５－３＋４－１＝（＋５）＋（－３）＋（＋４）＋（－１）　　 などと、いろんな加減を全て正数と負数の合計で表したうえで考えを次に進める方法があります。　そして式をこのような形にしたものを代数和と呼んでいます。 これらの式の中に出てくる　＋　や－　の記号の名称というか働きは同じものに対して別の名称や働きが与えられています。 つまり、同じ　＋　であっても　（　　）の中の　＋　は符号、（　　）の外の　＋　は加法を示す演算記号と呼ばれている。

しかし、数学のテキストでそのような区別をしているものはありません。 　演算記号としての　＋,－　はそのままで、符号の方には ⊕⊖などと別の記号を用意すべしと考えていました。 しかし、数学のテキストでそのような区別をしているものはありません。 最近になり、数学の記述方法は　長年の経験で　よく出来ているものだなぁと　思いあたりました。 符号と演算記号、別のものと言えば別のものですが、　考えようによっては同じものと解釈出来なくはないと思えます。 例えば　－３、のマイナスはどちらかと言えば符号であろう。　しかし、こうとも考えられます。 　　－３＝０－３　のことである。　加法･減法では‘０’は省略します。　こう考えると　符号と計算記号は同じものと いう事になります。