4.3 連立１次方程式 Ax = b (23) と書くことができる。
行列 A とベクトル b が既知で、x の n 個 の要素が未知であるとする。次のような 係数の行列に右辺項を加えて拡張された 行列 B= を考えると、連立1次方程式が解をもつ ための必要十分条件は rank A = rank B (24) が成り立つことである。
|A|≠0 の場合は，逆行列 A-1 が存在するので (25) がただ１つの解である。ここに、行列式 |A| における要素 ai j の余因子 Ai j による行列をつくり、それを転置させて得られる行列を余因子行列といい、 次のように書く。 の定義と行列の積の定義から (26) が得られる。→ Cramer(クラーメル)の公式
-14 2 4 5 -1 -1 2 11 -1 -3 例題2 解 問題の連立方程式は次のように書ける。 解 問題の連立方程式は次のように書ける。 -14 2 4 5 -1 -1 2 11 -1 -3 １×(-1)×2 ＋１×3×3＋１×2×4 － １×(-1)×3－１×2×2－１×3×4＝2
P.112～ 3.4.4 ガウスの消去法 連立１次方程式を解く解法としては，ガウスの消去法(Gaussian elimination)，ガウスジョルダン法(Gauss-Jordann elimination)，LU分解法，ガウス・ザイデル法などが知られている． ここでは，これらのうちで比較的分かり易く，かつ，実用的でもあるガウスの消去法を使うこととする．
3-3 7-9 2-6 6-12 3 9 6 12 ×(3/2) 1-1 2-3 3-2 7-4 1 3 2 4 ×(1/2) まず，x1 の係数に着目し， 式(b)－式(a)× rb, rb = (式(b)のx1項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 3/2 式(c)－式(a)× rc, rc = (式(c)の x1 項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 1/2 により，次のように変形する．
次に，x2 の係数に着目し， 式(c′)－式(b′)×r c‘ , rc’ = (式(c′)の x2 項の係数) / (式(b′)のx2項の係数) = 1/2により，次のように変形する． ここまでの操作を前進消去と呼ぶ． -1 -2 -3 -1-(-1) 3-(-3) 1-(-2)
前進消去により得られた連立１次方程式で， まず式(c″)より x3 ＝6/3＝2 が求められる． 次に，この結果を式(b′)に代入すると x2 ＝[－6－{(―4)×2}]/（－2）＝－1 が求められる．さらに，これらの結果を 式(a)に代入すると x1＝[8－(4×2)－{6×(－1)}]/2＝3 が求められる．このようにして解を求める操作を，後退代入と呼ぶ．