第２課 黒体輻射とカラー ２．１． 黒体輻射の式 熱平衡にある振動数νの輻射を考える。 フォトンの個数は常に揺らいでいる 　　　　　　　　　　　　　　　第２課　　黒体輻射とカラー ２．１． 黒体輻射の式 熱平衡にある振動数νの輻射を考える。　フォトンの個数は常に揺らいでいる フォトン１個のエネルギー＝　ｈν １個状態の確率　∝　Ｐ１＝exp (ー　ｈν/kT) 　　　　　２個のエネルギー＝２ｈν ２個状態の確率　∝　Ｐ２＝exp (ー２ｈν/kT) 　　　　　ｎ個のエネルギー＝ｎｈν ｎ個状態の確率　∝　Ｐｎ＝exp (ーｎｈν/kT)

振動数＝νの時　（２） （周波数をνに限った時の、）　フォトンｎ個の状態の確率Ｐｎ　は、 分配関数

振動数＝νの時　　（３） 振動数νのフォトンの平均個数

大きな箱 （１） ΔＰ ΔＸ Ｐ Ｘ 熱平衡にある大きな箱。その一部をΔＸ・ΔＰとする。 その中の光子数の平均値を計算しよう。 大きな箱　　（１） 熱平衡にある大きな箱。その一部をΔＸ・ΔＰとする。 その中の光子数の平均値を計算しよう。 ΔＰ フォトンの量子状態は Δp3Δx 3= h3毎に2（偏光） である。 ΔＸ Ｐ Ｘ

大きな箱 （２） Δx 3=ΔＶ，Δp3＝ dΩp2dp なので、 量子状態の数は ２Δx 3Δp3 ／h3 ＝ ２ΔＶdΩp2dp／h3 大きな箱　　（２） Δx 3=ΔＶ，Δp3＝ dΩp2dp なので、 量子状態の数は　２Δx 3Δp3 ／h3 ＝ ２ΔＶdΩp2dp／h3 状態１つにつき、平均フォトン数　＝　1／ [ exp (ｈν/kT)－１]　だったから、 ΔＮ=（ΔＶ・ΔＰ／ｈ３）＜ｎ＞

B(T,ν）の表現 1.1.の最後で、輻射強度Ｉと光子数密度ｎの関係Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν）を求めた。ε=ｈν、ｎ＝ｄＮ／ｄＶとおくと、　黒体輻射の輻射強度Ｂ（Ｔ、ν）は、 すなわち

２．２．黒体輻射の数値表現 　　　　　h=6.626×10-34 Js, k=1.381×10-23 J/K, ｃ＝2.998×10^8 m/s なので、 x= hν/kT=hc/kλT =1.4388/λ(μｍ)T4(K)とおくと、(T4=T/104) B(ν)＝(2h/c2)ν3/[exp(hν/kT)-1] ＝1.3338×10 -19 T(K) 3 x 3 /(exp x - 1) W/m2/Hz 注意： 計算しやすさのため、式をλで表現している。

νB(T,ν) ＝ (2k4/h3c2) T4ｘ4/[exp(ｘ)-1] B(λ)＝ B(ν)（ｃ/λ２） 　　 　＝ (2hc２/λ５) / [exp(ch/λkT)-1] B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われる。 νB(T,ν) ＝ (2k4/h3c2) T4ｘ4/[exp(ｘ)-1] =(σT4)(15/π5)ｘ4/[exp(ｘ)-1]

Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ λＩ（λ） νＩ(ν) logλ logν Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点　＝　νとλが対称に扱える。 　（BlackbodyＢ(ν,T)に限らず Intensity 一般に通用するのでＩで話す） 例：　Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示では λＩ（λ） νＩ(ν) logλ logν

νＩν λＩλ logν logλ Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点 （２） 総輻射強度（total intensity）の計算 Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示の利点　（２） 　　 総輻射強度（total intensity）の計算 dＩ= Iνdν= Iνν(dν/ν)=2.30 [Iνν] dlogν ＝ 2.30 [Iλλ] dlogλ νＩν λＩλ logν logλ 総輻射強度（total intensity）を概算する際には、 νＩν ＝λＩλ のピーク値にピーク幅を掛ければよい、 Δlogλ[λＩλ]max 、 ので便利。

Ｂ(T)=∫B(T,ν)dν= ∫B(T,λ)dλ Ｂ(T,ν)＝ (2hν3/c2)/[exp(hν/kT)-1] を全波長域で積分すると、全輻射強度Ｂ（Ｔ）が出る。 Ｂ(T)=∫B(T,ν)dν =∫(2hν3/c2)/[exp(hν/kT)-1] dν ＝(2k4/h3c2) T4∫x3dx/[exp(ｘ)-1] =(2k4/h3c2) (π4/15)T4 ∫x3dx/[exp(ｘ)-1]= (π4/15) ＝(σ/π)T4 σ = 2π5k4/15h3c2 ＝5.6696 10 ー8 W/m2/K4 = ステファンボルツマン係数 注意：　温度Ｔの黒体表面から放射される輻射率はπＢ（Ｔ）＝σＴ４ Intensity = (σ/π)T4 Flux = σT4

黒体輻射のピーク（１） 黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わる。 dE=B(λ)dλ= B(ν)dν=[B(ν)ν]dlnν B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ]なので、 B(λ) 　　B(λ)λ ＝[B(ν)ν] B(ν) logλ 図に見えるように、ピーク位置波長はＢ（ν）が一番長い。 Ｂ（λ）が短く、Ｂ（λ）λが中間。

黒体輻射のピーク（２） Ｗｉｅｎ Ｌａｗ ピーク位置は、 Ｂ（ T, λ）＝ (2k5T5/c3h4) ｘ5/[exp(ｘ)-1] 黒体輻射のピーク（２） 　　　　Ｗｉｅｎ　Ｌａｗ ピーク位置は、 Ｂ（ T, λ）＝ (2k5T5/c3h4) ｘ5/[exp(ｘ)-1] νB(T,ν) ＝ (2k4/h3c2) T4ｘ4/[exp(ｘ)-1]=(σT4)(15/π5)ｘ4/[exp(ｘ)-1] Ｂ（ T, ν）＝ (2k３T３/c２h２) ｘ３/[exp(ｘ)-1] から、　　（ｘ＝ hν/kT=hc/kλT =1.4388/λ(μｍ)T4(K) ） Fn(x)=ｘｎ/[exp(ｘ)－1]　を微分して、dFn(x)/dx=0から、 　　　　　　　　　　　　　　B(T,λ)　　　　　　νB(T,ν) ＝ B(λ)λ　　　　　　 B(T,ν) 　　 Fn(x) 　　ｘ5/[exp(ｘ)-1]　　　ｘ4/[exp(ｘ)-1]　　　　ｘ３/[exp(ｘ)-1] 　　ｘ　　　　　　　4.965　　　　　 　3.92　　　　　　　　　　　　　　 2.82 T4λμ 　　　　0.290　　　　　 0.367　　　　　　　　　　　　　　0.510 　

レーリー・ジーンズ近似 　　　　　　　　と ウイーン近似 レーリー・ジーンズ近似　（ｈν/ｋＴ＜＜１） ウイーン近似　　（ｈν/ｋＴ＞＞１）

黒体輻射強度のグラフ表示 黒体輻射は同じ形 したがって、あるＴでＢ（ν、Ｔ）で下図 logＴ+Δ logＴの時は log Bν log Bν

黒体輻射のエネルギー密度 ＝ （ ４ σ ／ｃ）T4 ＝ａ T4 エネルギー密度Ｕは、Ｕ＝∬ε（ν）ｎ（Ω、ν）ｄνｄΩから、 Ｕ＝４πＢ／ｃ 　　＝ （ ４π／ｃ）(σ/π)T4 　＝ （ ４ σ ／ｃ）T4 　＝ａ T4 a=8π５ｋ４/１５ｃ３ｈ３＝radiation density constant =7.5659 10-16 J/m3/K4

２．３．等級とカラー 等級＝フラックスの対数表示 m(λ)=－2.5 log[F(λ)]＋定数 天文等級の定義 Fo(λ)：規準フラックス 明るくなると、天文等級は下がる。 　　　　　１等の差＝log Fで０．４の差、Ｆで１００．４＝２．５倍の違い 定数を決めるためには、ゼロ等級に対応する規準フラックスFo(λ)を決める 必要がある。 ベガのフラックスを規準とし、幾つかの補正を加えたシステムが用いられる。 詳しい説明は次回に。

カラー フラックスの勾配⇒カラー フラックス⇒等級 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： Ｆ 　フラックス⇒等級 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν 近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、 Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。 Ｆ λ１ λ２ 天文ではフラックス比の対数表示、カラー、を採用している。 カラー（ λ1 、λ2 ）＝－２．５ log[Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）]+定数

２．３． 黒体輻射のカラー 波長λ１、 λ２での等級がｍ（λ１）、ｍ（λ２）の天体のカラー ＝ ｍ（λ１）－ｍ（λ２） ２．３．　黒体輻射のカラー 波長λ１、 λ２での等級がｍ（λ１）、ｍ（λ２）の天体のカラー ＝　ｍ（λ１）－ｍ（λ２） 注意 ： λ１＜λ２ が天文の習慣である。 -1 ｍ（λ１）－ｍ（λ２）＝０．６ ｍ ｍ（λ１）－ｍ（λ２）＝０ 1 λ１ λ２

距離とカラー よって Ｌ（λ）の放射スペクトルを持つ星を距離Ｄから観測する。 星のカラー　ｍ（λ１）－ｍ（λ２）　はＤにより変化するだろうか？ よって 天体スペクトル 10 ｍ（λ） 距離が２倍の 天体スペクトル 12 カラー　ｍ（λ１）－ｍ（λ２）　は距離により変化しない。 14 λ

カラーの表現 (1) 天文でよく使われる波長： Ｂ＝ｍ（0.44μｍ） Ｖ＝ｍ（0.55μｍ） 天文でよく使われる波長：　　Ｂ＝ｍ（0.44μｍ）　　　　Ｖ＝ｍ（0.55μｍ）　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｏ（Ｂ）＝４０００Ｊｙ　　　Ｆｏ（Ｖ）＝３６００Ｊｙ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ 　天体　　　　　　　　F(B　　)　　　　F(V)　 　　　　　　　　　　　　（Ｊｙ）　　　 　（Ｊｙ） 　シリウス　１.４９３ ×１０４ 　１.３５６ ×１０４ 　太陽　　 　１.１０２×１０１４　１.８０４×１０１４ ベテルギウス　　　６６３　　　　　２３８０ Ｂ　　　 Ｖ　 Ｂ－Ｖ 　温度 　 色 －１.４３　 －１.４４　０.０１　９４００　白 －２６.１０　－２６.７５　０.６５　５７８０　黄 １.９５ 　　０.４５ １.５０　 ３３７０　赤　　　　　　

カラーの表現 (2) 0.6 -0.2 -0.5 0 log λ(μ） Log Ｆ(ν) 0.4 0.2 B V 天文表現 カラー 大 赤い -0.5 0 log λ(μ） Log　Ｆ(ν) 0.4 0.2 B V 天文表現 カラー　大　　　　赤い 　　　　　小　　　　青い B-V=1 (4,500K) 0.5　(6,000K) 0 (10,000K)

有効温度 Ｉ＝Ｂ（Ｔ） θ Ｌ＝∫σT4dＳ 黒体の壁からのフラックス ＝ ∫B(T)cosθdΩ ＝ πＢ(T） ＝ σT4

例１：太陽の有効温度 太陽常数(solar constant)Ｓは地球軌道での太陽フラックスで、 Ｓ＝１．３７ ｋＷ／ｍ２ である。 Ｓ＝１．３７　ｋＷ／ｍ２　である。 太陽有効温度＝Ｔ　　表面でのフラックス　Ｆ＝σＴ４． 　　　　　太陽半径＝Ｒ、太陽地球距離＝Ｄ　とすると 　　　　　４Ｒ２Ｆ＝４πＤ２Ｓ σＴ４＝（Ｄ／Ｒ）２Ｓ 　　　　　Ｄ／Ｒ＝２１５ 　　　σ = 5.6696 10 -8 W/m2/K4 　　　　Ｔ４＝２１５２（１３７０／５．６７０ １０－８） Ｔ＝５７８０Ｋ

例2： Ｖｅｇａの視半径 Vega Ａ０Ｖ Ｖ＝０．０２ Ｔeff＝９６００Ｋ Ｆν（Ｖ＝０）＝３６００Ｊｙ 例2：　Ｖｅｇａの視半径 Vega 　Ａ０Ｖ　 　　　　　　Ｖ＝０．０２　　Ｔeff＝９６００Ｋ　　Ｆν（Ｖ＝０）＝３６００Ｊｙ Ｆvega=πＢ（Ｔ，ν＝Ｖ）（Ｒ／Ｄ）２ Ｂ（Ｔ，ν＝Ｖ）＝ 1.3338 10 ７ T(K) 3 [ x 3 / (exp x - 1) ] Jy ｘ＝ 1.4388/λ(μｍ)T4(K) 　 ＝1.4388/0.55/0/96=2.725 [ x 3 /(exp x - 1) ] =1.419 πＢ（Ｔ，ν＝Ｖ）＝π1.3338 10 ７ 9600 3 1.419=5.261 10 19 Jy 3600 10-0.4x0.02　＝5.261 1019 (R/D)2 R/D=(3600 10-0.4x0.02 10 –19/ 5.261)1/2=8.196 10-10

問題２： 出題１０月１８日 提出１０月２５日 Ａ，Ｂ のどちらかに解答せよ。 天文学科の学生はなるべくＢ。 問題２：　出題１０月１８日　提出１０月２５日 　　　　　　Ａ，Ｂ　のどちらかに解答せよ。 　　　　　　天文学科の学生はなるべくＢ。 Ａ．　黒体の　　　　　　輻射強度は　　　　　　　　　　　　　　　　光子密度は、 １辺がＬの立方体の中に温度Ｔの黒体輻射が満ちている。ＬをゆっくりとａＬまで引き伸ばす。 λ ａλ Ｌ ａＬ

この過程で中の光子一つ一つの波長λはａλとなり、光子数に増減はないと考える。 （１）その時、輻射強度と光子密度は下のようになる。ただし、Ｔ´ ＝　Ｔ/ａ　 （２）　輻射エネルギー密度はどう変化するか？

　Ｂ．　Ｂ型とＭ型の星からなる連星を考える。それぞれの星の温度と光度は、 T(K) L(Lo)　　　 　Ｂ型星 30,000 50,000 M型星　　　 3,000 10,000 である。 　　　　（１）　２つの星のそれぞれのカラー（Ｂ－Ｖ）を求めよ。 　　　　（２）　２星の間隔が望遠鏡の分解能以下のため、この連星は一つの 　　　　　　　　星（光度60,000Lo)として観測された。この時のカラー（Ｂ－Ｖ） 　　　　　　　　はいくつか？