中心力の仮想世界 逆二乗＋逆三乗 ベルトランの定理を問う 中心力の仮想世界　逆二乗＋逆三乗　　　　　　　　 　　　　　　ベルトランの定理を問う 　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　ｋ＝１　　　　逆二乗 ｒ＝ーーーーーーー　　　　ｋ≒１　　　　近日点移動 　　　１－ｅｃｏｓｋθ　　　　　ｋ＝整数　　多角星

面積速度一定の法則 （角運動量保存の法則）

面積速度一定　ｈ＝ｒＶ⊥＝ＲＵ

運動の第一積分 エネルギー積分（エネルギー保存） 面積積分（角運動量保存） 運動の第一積分　 エネルギー積分（エネルギー保存） 面積積分（角運動量保存） 　単位質量において 　１　 ・　　　 ・ 　ーー（ｒ２＋ｒ２θ２）＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数、力学エネ） 　　２ 　　（ （Ｖｒ２＋Ｖ⊥２）／２＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数）　） ・ 　　ｒ２θ＝ｈ（定数） 　　　（　ｒ Ｖ⊥ ＝ｈ（定数、角運動量）　）

Ｖ⊥ 、Ｖｒ の関係 （ｒＶ⊥＝ｈ） ｄθ Ｖ⊥ ｒ⊿θ≒Ｖ⊥ ⊿ｔ → ｒｄθ＝Ｖ⊥ｄｔ ーー＝ーー ｄｔ ｒ Ｖ⊥ 、Ｖｒ　の関係　（ｒＶ⊥＝ｈ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｄθ　　　Ｖ⊥ ｒ⊿θ≒Ｖ⊥ ⊿ｔ　　→　ｒｄθ＝Ｖ⊥ｄｔ　　　 ーー＝ーー　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｄｔ　　　 ｒ 　　　 ・　　ｄθ　　　Ｖ⊥　　Ｖ⊥２　 ｈ　　　　　　 ・ 　ω＝θ＝ーー＝ーー＝ーー＝ーー　 V⊥=rθ ｄｔ　　　 ｒ　　　　h ｒ２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄｒ　　　 Ｖｒ⊿ｔ≒⊿ｒ　　　　→　Ｖｒｄｔ＝ｄｒ　　　　ーー＝Ｖｒ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄｔ ・　　　ｄｒ　　　　　ｄＶ⊥ Vr＝ r ＝ーー＝ー　ーー 　　　　　　　ｄｔ　　　　　ｄθ

Vｒ　はーＶ⊥の角度微分 ・ ・ ・ ¨ ｒＶ⊥＝ｈ → ｒ２θ＝ｈ ２ｒ ｒ θ＋ｒ２θ＝０ ¨ ・・ ・ ・ ¨ ｒθ＝－２ｒθ ← ２ ｒ θ＋ｒθ＝０ ・ ・ ・ ・ ¨ Ｖ⊥＝ｒθ → Ｖ⊥＝ｒ θ＋ｒ θ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ＝ｒ θー２ｒ θ＝－ｒ θ ｄＶ⊥ ｄ ｒ ｄ θ ｄＶ⊥ ｄｒ ーーー＝ー ーー・ーー → ーーー＝ー ーー ｄ ｔ ｄ ｔ ｄ ｔ ｄ θ ｄ ｔ

エネルギー積分は 　　　　１　　 　　　ーー（　Ｖｒ２　＋Ｖ⊥２）＋Ｅ＝Ｃ 　　　　２　 エネルギー積分を両辺時間微分 　　　　　・　　　　　　・　　　・ 　　　ＶｒＶｒ　＋　Ｖ⊥Ｖ⊥＋Ｅ＝０

エネルギー積分を角θで微分 ｄＶ⊥ ｄ２Ｖ⊥ ｄＶ⊥ ｄＥ ｄＶ⊥ ーー ーー ＋ Ｖ⊥ ーー ＋ ーー ーー ＝０ 　ｄＶ⊥ 　ｄ２Ｖ⊥　　　　　ｄＶ⊥ 　 ｄＥ　　ｄＶ⊥ 　ーー　ーー　＋　Ｖ⊥ ーー ＋ ーー　ーー　＝０ 　ｄθ　 　ｄθ２　　　　　　　ｄθ　 　 ｄＶ⊥ 　ｄθ 　　　　　　　　　　ｄＶ⊥ 　　共通因子　ーーー　≠　０　で 　　　　　　　　　　ｄθ 　　　　ｄ２Ｖ⊥　　　　　　　　 ｄＥ　　 　　　　　ーー　＋　Ｖ⊥　ー　ーー　＝０ 　　　　ｄθ２　　　　　　　　 ｄＶ⊥　

ｄＥ／ｄV⊥ の変形と軌道部分方程式 ｄＥ ｄＥ ｄｒ ｄ h Ah ーー ＝ ーー ーー＝A ーー（ーー）＝ー ーー ｄＶ⊥ 　　　ｄｒ　　ｄＶ⊥ 　　　 ｄＶ⊥ Ｖ⊥ 　　　　 Ｖ⊥２ 　（Aは中心力加速度　　A=ｄE／ｄｒ） 　　　よって　次の軌道微分方程式を得る。 　　　　　ｄ２Ｖ⊥ 　　　　　　　　 h　 　 　　　　ーー　＋　Ｖ⊥ 　ー　Aーーー 　＝０　　 　　　　　ｄθ２　　　　　　　　　 　Ｖ⊥ ２　

逆二乗＋逆三乗の場合（非ベキ型） 軌道微分方程式に代入 逆二乗＋逆三乗の場合（非ベキ型）　 軌道微分方程式に代入 中心力加速度として 　　　　　Ｂ　　　 S V⊥２ V⊥ 　　A＝―（１＋――） ＝Ｂ―― （１＋Ｓ―― ） 　　　　　ｒ２　　　　ｒ ｈ２ ｈ 　　　　　 （Ｂ，Ｓは定数（中心力定数）） 　　を代入 　　　ｄ２Ｖ⊥ 　 　　　 　Ｂ　　 ＢＳ 　　―――　＋Ｖ⊥ －　―― －　――Ｖ⊥ ＝　０　 　　ｄθ２ 　　　　　ｈ 　 　ｈ２ 　　整理して 　 　ｄ２Ｖ⊥ 　 　　　 ＢＳ 　　 Ｂ 　　―――　＋（１－　――）Ｖ⊥ －　―― ＝　０　 　　ｄθ２ 　　　　ｈ２ 　　 　ｈ

軌道方程式の円運動 へ逆二乗＋逆三乗を代入 　　ｄ２U　　　　　　　　　　　　　　　Ｕ３ Ｕ２ 　　ーーー　＝　０　　より　　A＝ ーー＝ ーー　(遠心力） 　　　ｄθ２　　　　　　　　　　　　　　 　ｈ 　Ｒ 　右式右辺は円運動（基本円運動）の遠心力を表す 　　（Ｕ＝回転速度、Ｒ＝基本円回転半径ｈ＝ＲＵ） 　逆二乗＋逆三乗で基本円運動するとき 　　　　　　　　　　　　Ｂ　　　　　Ｓ　　　　　　Ｕ２ 　　　　　　　　　　　ーー（１＋ ーー） ＝　 ーー 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ２　　　　　　Ｒ　　　　　　Ｒ

変形してｋへ置き換え 　　　　　　　　　Ｂ　　　　　Ｓ　　　　　　Ｕ２ 　　　　　　　　ーー（１＋ ーー） ＝　 ーー 　　　　　　　　　　　　　Ｒ２　　　　　　　Ｒ　　　　　　Ｒ 　　　　　　　　　Ｂ　　　　　Ｕ２　　　　　　　ＢＳ　 　　　　　　　　ーー　＝　 ーー　ー　 ーー 　　　　　　　　　　　　　Ｒ２　　　　　　　Ｒ　　　　　 Ｒ３ 　　　　　　　　　　　　そこで　両辺　Ｕ２／Ｒ　で割り　（ｈ＝ＲＵ） 　　　　　　　　　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　　　　　ＢＳ 　　　　　　　　　　　　ーー　＝　１ー　ーーーー　＝　ｋ２ 　　　　　　　　　　　　ＲＵ２　　　　　　　　　　　Ｒ２Ｕ２　 Ｂ　　　　　　　　　　　 ＢＳ 　　　　　　　　　　　　ーー　＝　１ー　ーーーー　＝　ｋ２　　　とおくと 　　　　　　　　　　　　 ｈＵ　　　　　　　　　　 ｈ２　

逆二乗＋逆三乗の軌道微分方程式に代入 ｄ２Ｖ⊥ ＢＳ Ｂ ――― ＋（１－ ――）Ｖ⊥ － ―― Ｕ＝ ０ ｄθ２ ｈ２ ｈＵ ｄ２V⊥ 　 　　　 　ｄ２Ｖ⊥ 　 　　　 ＢＳ 　　 Ｂ 　　　　　―――　＋（１－　――）Ｖ⊥ －　―― Ｕ＝　０　 　　　　　ｄθ２ 　　　　ｈ２ 　　 ｈＵ 　　　　　　　ｄ２V⊥ 　 　　　　　　―――　＋ｋ２（V⊥－U） ＝　０　 　　　　　　ｄθ２ 　　 これを解いた解の１例は 　　　　　Ｖ⊥＝ U（１－ｅｃｏｓｋθ） 　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　 ｋ＝１　　　逆二乗 　　　　　ｒ　　＝ーーーーーー　　ｋ≒１　　　近日点移動 　　　　　　　　 １－ｅｃｏｓｋθ　　ｋ＝整数　多角星

Ｒ ｋ＝１ 逆二乗、円錐曲線 ｒ＝ーーーーーーー ｋ≒１ 近日点移動 １－ｅｃｏｓｋθ ｋ＝整数 多角星 　　　　　　　Ｒ　　　　　　ｋ＝１　　　　逆二乗、円錐曲線 ｒ＝ーーーーーーー　　ｋ≒１　　　　近日点移動 　　　１－ｅｃｏｓｋθ　　　ｋ＝整数　　多角星

逆二乗（ｋ＝１） Ｒ ｒ＝－－－－－－－－ １－ｅｃｏｓθ Ｕ： 基本円運動速度 角度θで回転 ｖ： （ ＝ｅＵ） 一定方向を向く 　　　　　　　　　　　　Ｒ 　　　　ｒ＝－－－－－－－－ 　　　　　　　　　１－ｅｃｏｓθ Ｕ：　基本円運動速度　角度θで回転 ｖ：　（　＝ｅＵ）　一定方向を向く ケプラーの第４法則？　といってもおかしくない Ｖ⊥：　 絶対値　Ｕ（１ーｅｃｏｓθ）　動径垂直方向 Ｖ ｒ ：　 絶対値　 　 ｅＵｓinθ　 動径方向

円錐曲線の接線定理（仮称） 「円錐曲線接線の任意 長さを動径垂直方向と 短軸方向へ分解した長 さ成分の比は常に円錐 曲線の離心率になる。」 例：楕円 離心率 ０＜ｅ＜１

逆二乗＋逆三乗の解析　ｋ＝３／２

逆二乗＋逆三乗の解析　ｋ＝２

逆二乗＋逆三乗のベクトル分解 逆二乗＋逆三乗の中心力系では、動径垂直成分と

逆二乗＋逆三乗（ｋ≠１） Ｒ ｒ＝ －－－－－－－ １－ｅｃｏｓｋθ （１＋（ｋ－１）ｅｃｏｓｋθ）Ｕ ： 角度θで回転 　　　　　　　　　　　　Ｒ 　　　　ｒ＝　－－－－－－－ 　　　　　　　　１－ｅｃｏｓｋθ （１＋（ｋ－１）ｅｃｏｓｋθ）Ｕ　 　　　　：　角度θで回転 ｋｅＵ　：大きさ一定、角度（ｋ－１）θで回転 Ｖ⊥：　 絶対値　Ｕ（１ーｅｃｏｓｋθ）　動径垂直方向 Ｖ ｒ ：　 絶対値　 　 ｋｅＵｓinｋθ　 動径方向

逆二乗＋逆三乗　ｋ＝１～４．５　ｓｔｅｐ　０．５

ベルトランの定理 アプス角１８０／ｍが引力中心からの距離によらない（常に閉軌道になる）ためには、その型はベキ型でなければならない。 　　　　　　　　一次の近似 ベキ型の中で満たされるべき引力法則は逆二乗か調和型のどちらかである。 　　　　　　　　高次の近似

逆二乗＋逆三乗　アプス角　１８０／ｋ 動径垂直方向への進行から、次の動径垂直方向への進行までの動径がつくる角

再び 軌道部分方程式 ｄ２ｕ ｆ ｈ２ ーー ＋ ｈ２ｕ ー ーー ＝０ ｄθ２ ｕ２ Ｖ⊥ ＝ｈｕ（＝ＲＵ／ｒ） で置き換えると 再び　軌道部分方程式 　　　　　　ｄ２ｕ　　　　　　　　　　　ｆ　　 　　　　ｈ２　ーー　＋　ｈ２ｕ　ー　ーー　＝０ 　　　　　　ｄθ２　　　　　　　　　　ｕ２　 　　　　　　Ｖ⊥ ＝ｈｕ（＝ＲＵ／ｒ）　で置き換えると 　　　　　ｄ２Ｖ⊥ 　　　　　　　　 h　 　 　　　　ーー　＋　Ｖ⊥ 　ー　Aーーー 　＝０　　 　　　　　ｄθ２　　　　　　　　　 　Ｖ⊥ ２　

ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似 ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 　乱れた円運動　一次の近似 　Ｖ⊥＝Ｕ＋ｘ　（ｘ≪Ｕ）　とおく 　　　　　　　　　　　　（ｒ＝ｈ／Ｖ⊥　　半径の乱れ） 軌道微分方程式に代入、Ａ０を円運動の遠心力（Ａ０＝Ｕ２／Ｒ）　として　　ｈ＝ＲＵ＝Ｕ３／Ａ０　 また　　ｄＶ⊥／ｄθ＝ｄｘ／ｄθ、　　を用い 　　Ｗ（Ｖ⊥ ）＝Ａ／Ｖ⊥２　として 　　　　ｄ２ｘ　　　　　　　　　　　Ｕ３　 　　　　ーー　＋　Ｕ＋　ｘ　＝ーーＷ（Ｕ＋ｘ）　 　　　　ｄθ２　　　　　　　　　　　　Ａ０　

ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似２ ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 　乱れた円運動　一次の近似２ Ｗ（Ｕ＋ｘ）の微分形から、次の近似ができる。 　　　　　　　　　　　　Ｗ（Ｕ＋ｘ）ーＷ（Ｕ） Ｗ‘（Ｕ＋ｘ）　≒　ーーーーーーーーーー 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ これより　 Ｕ３　　　　　　　　　　Ｕ３ ーーＷ（Ｕ＋ｘ）≒ーー（Ｗ（Ｕ）　＋ｘＷ‘（Ｕ＋ｘ）） Ａ０　　　　　　　　　　Ａ０ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＵＷ‘（Ｕ）　 　　　　　　　　　　＝Ｕ＋（ーーーーーー）ｘ 　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｗ（Ｕ）

ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似３ ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 　乱れた円運動　一次の近似３ 軌道微分方程式　は次の近似ができる 　　　　ｄ２ｘ　　　　　　　　　　ＵＷ‘（Ｕ） 　 　　　　ーー　＋　ｘ　ー　 ーーーーー　ｘ　≒　０　 　　　　ｄθ２　　　　　　　　　　Ｗ（Ｕ） 　　 　　　　　　　　　　　　　ＵＷ‘（Ｕ） 　 　　　　ｍ２＝１　－　ーーーーーーとおくと　 　　　　　　　　　　　　　　Ｗ（Ｕ） 　　　　　　　ｄ２ｘ　　　　　　　　　 　　　　　　　ーー　＋　ｍ２ｘ　 ≒ 　０　　 　　　　　　　ｄθ２　　　　　　　　　　

ｍ２＝１－ ーーーー より ーーーー＝ ーーー Ｗ（Ｕ） Ｗ（Ｕ） Ｖ⊥ ベキ型になる。 ベルトランの定理 乱れた円運動 一次の近似４ ベルトランの定理　乱れた円運動　一次の近似４ 　　ｍがＶ⊥　（ｈ／動径ｒ、含むＵ＝ｈ／基本円半径Ｒ）に 関係しなければアプス角は軌道半径によって変化しない。 この条件は 　　　　　　　　ＵＷ‘（Ｕ） 　　　　Ｗ‘（Ｕ） 　　　１－ｍ２ 　　ｍ２＝１－　ーーーー　より　 ーーーー＝　ーーー 　　　　　　　　　　Ｗ（Ｕ） 　　　　　　Ｗ（Ｕ）　　　Ｖ⊥ この条件を満たすためには　　　Ｗ（Ｖ⊥） ＝μＶ⊥１－ｍ２　 よって力は　Ａ＝μＶ⊥３－ｍ２ ＝μ／ｒ　ｍ２ー３ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　ベキ型になる。　

ベルトランの定理 乱れた円運動 高次の近似 ２μ２Ｕ－２ｍ２－１ｍ４（ｍ２－１）（ｍ２－４）＝０ ベルトランの定理　乱れた円運動　高次の近似 一次の理論より中心力はベキ型とされ，さらに三次の理論から（途中省略） 　２μ２Ｕ－２ｍ２－１ｍ４（ｍ２－１）（ｍ２－４）＝０ 　　　　の条件が導かれる。この式を満たすｍは　 　　 ｍ＝０（アプス角 無限大） → 逆三乗 　　 ｍ＝１（アプス角 １８０°）→ 逆二乗 　　　　　ｍ＝２（アプス角 ９０°）→ 調和型 　　の３っつでこのうちアプス角無限大はアプス角がないに等しい 　　結論２：ベキ型の中で満たされるべき引力法則は 　　　　　　 逆二乗か調和型のどちらかである。

ｍ＝２ の一次の近似は近似的 調和型 を一次の近似で書き直すと ｄ２ Ｖ⊥ ｄ２ ｘ ｘ＝Ｖ⊥－Ｕ、―――＝――― を用い ｄθ２ ｄθ２ ｍ＝２　の一次の近似は近似的 調和型 を一次の近似で書き直すと 　　　　　　　　　　 　　ｄ２ Ｖ⊥ 　 ｄ２ ｘ 　　　　ｘ＝Ｖ⊥－Ｕ、―――＝――― を用い 　　　　　　　 　　　ｄθ２ 　 ｄθ２ 　　 　 ｄ２Ｖ⊥ 　　　　　　　　 Ｕ３ 　　　　―――＋Ｖ⊥－Ｕ＋Ｕ（１－―――）＝０ 　 ｄθ２ 　　　　　　　　 Ｖ⊥3 　　 　 ｄ２　ｘ 　　　３Ｕ２ｘ 　　　　―――＋ｘ＋Ｕ（―――――）≒０ 　 ｄθ２ 　　　（Ｕ＋ｘ）3 　　 　　ｄ２　ｘ 　　　 ｄ２ｘ 　　　　―――＋ｘ＋３ｘ＝―――＋２２ｘ≒０ 　 　ｄθ２ 　　　 ｄθ２ 　

m=1 と m=0 は近似なしで成立 逆二乗 一次の式 ｄ２Ｖ⊥ ｄ２ｘ ―――＋Ｖ⊥－ Ｕ ＝０ ――― ＋ ｘ ＝ ０ ｄθ２ ｄθ２ 　逆二乗　　　　　　　　　　　　　一次の式 　ｄ２Ｖ⊥ 　　　　　　　　ｄ２ｘ ―――＋Ｖ⊥－ Ｕ ＝０ 　　――― ＋ ｘ ＝ ０ 　ｄθ２ 　　　　　　　　　　　ｄθ２ 　逆三乗　　　　　　　　　　　　　一次の式 ―――＝０ 　　　　　　　　　――― ＝ ０

ｄ２Ｖ⊥ ――― ＋ｋ２（Ｖ⊥－Ｕ） ＝ ０ ｄθ２ ベルトランの定理 一次の近似 〔ｘは十分に小さい、近似式〕 ｄ２ｘ 　逆二乗＋逆三乗　　　　〔恒等式、近似なし〕 　　　　　ｄ２Ｖ⊥ 　 　　　　―――　＋ｋ２（Ｖ⊥－Ｕ） ＝　０　 　　　　ｄθ２ 　ベルトランの定理　一次の近似 　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　〔ｘは十分に小さい、近似式〕 　　　　　ｄ２ｘ　　　　　　　　　 　　　　　ーー　＋　ｍ２ｘ　 ≒ 　０　　 　　　　　ｄθ２　　　　　　　　　　 　　　　　　　Ｖ⊥ ＝U＋ｘだから　全く等価な式　である

光速渦による圧力差としての重力１ ＦＮ分子 １ Ｎｍ １ 圧力Ｐｒは Ｐｒ＝ーーー＝ー・ーー ・＜Ｖ２＞＝－ρ＜Ｖ２＞ ι２ ３ ι３ ３ 　　　　　　　　　　　　ＦＮ分子 　１ Ｎｍ １ 圧力Ｐｒは Ｐｒ＝ーーー＝ー・ーー ・＜Ｖ２＞＝－ρ＜Ｖ２＞ 　ι２ ３ ι３ ３ 　（Ｎｍは立方体全質量、ι３は体積、密度ρ＝Ｎｍ／ι３） 圧力差（傾度力、単位水平距離に対する圧力の変化量）は 　　　 　　Ｐｒ１－Ｐｒ２ 　 　１ 　 （ρ１－ρ２） 　　 Ｆ傾度力＝ーーーーーー＝－－・ーーーーーー＜Ｖ２＞ 　　　　　　　　　　　　Ｌ 　　３ 　Ｌ １ 　 ｄρ 　　　Ｆ傾度力＝ρａ＝ーー・ーーー＜Ｖ２＞ ３ 　ｄＬ

光光速速渦エ　　　　テーーテ ール

光速渦による圧力差としての重力 光速エ－テルの二乗平均速度 Ｃ２／２ 光速渦による圧力差としての重力 光速エ－テルの二乗平均速度　Ｃ２／２ 光速エ－テルの２乗平均速度＜Ｖ２＞を求めると、 　　　仮定からの Ｖ＝Ｃｃｏｓθ　を利用、ωを角速度として 　　　　　　 １ 　Ｔ 　 １ Ｔ ＜Ｖ２＞＝－－∫ Ｖ２ｄｔ＝－－∫ Ｃ２ｃｏｓ２ωｔｄｔ 　　Ｔ 　０ 　 Ｔ ０ Ｃ２ Ｔ Ｃ２ １ Ｔ ＝－－∫ （１＋ｃｏｓ２ωｔ）ｄｔ＝－－［ｔ＋ーー ｓｉｎ２ωｔ］ 　　 ２Ｔ 　 ０ ２Ｔ ２ω ０ 　　　 Ｃ２ 　　 ＝ーーー 　　　　　　　 ２

光速渦による圧力差としての重力３ 万有引力の法則（Ｌの逆二乗に比例）より ＧＭ ａ（Ｌ）＝－ ーー Ｌ２ 　 　　　　　　　 ＧＭ 　 　　　　　　ａ（Ｌ）＝－ ーー　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 Ｌ２ 万有引力と光速エーテル二乗速度を傾度力に代入し 　　　　　　　　　ＧＭ　　１ 　　 ｄρ　　　Ｃ２ 　　　　　　ーρーー＝ーー・ーーー・ーー 　　　　　　　　　　Ｌ２　　　 ３ 　　ｄＬ　　　２

光速渦による圧力差としての重力４ 整理して ｄρ ６ＧＭ ｄＬ ーー ＝－ ーーー・ーー ρ Ｃ２ Ｌ２ 　整理して 　　　　　　 ｄρ 　　　 ６ＧＭ 　ｄＬ 　　 ーー　＝－ ーーー・ーー 　　 　ρ 　　 　Ｃ２ 　 Ｌ２ 　Ｌが無限大（渦が巻かない平坦時の光速エーテル）のときの媒体密度をρ０として、両辺積分すると 　 　　 　　　　 ６ＧＭ 　 　　ｌｏｇρ－ｌｏｇρ０＝－　ーーー 　 　　 　　　 　Ｃ２Ｌ 　 　　　 　　　　　　６ＧＭ 　すなわち 　　ρ（Ｌ）＝ｅｘｐ（－ ーーー )ρ０ 　 　　　　　　 　　　 Ｃ２Ｌ

光速渦による圧力差としての重力５ 渦の中心に行くとき光速渦は風船状に膨らむその比率 ρ０ ／ρ 　　　　　６ＧＭ ＝ｅｘｐ（ーーー） 　　　　　Ｃ２Ｌ 　　

光速渦による圧力差としての重力６ 渦の中心に行くとき ρ０ ＧＭ ６ＧＭ ーーー Ａ ＝ ーーｅｘｐ（ーーー ) ρ（Ｌ） Ｌ２ Ｃ２Ｌ 　　　ρ０　　　　　　　　　　ＧＭ　　　　 　６ＧＭ 　　ーーー　Ａ　＝　ーーｅｘｐ（ーーー ) 　　ρ（Ｌ）　　　　 　　Ｌ２　　　　　Ｃ２Ｌ ６ＧＭ／Ｃ２Ｌ≪１　のとき 　　　ρ０　　　　　　　　　　ＧＭ　　　　 　６Ｇ２Ｍ２ 　　ーーー　Ａ　≒　ーー　＋　ーーーー 　　ρ（Ｌ）　　　　 　　Ｌ２　　　　　Ｃ２Ｌ３ 　　　　逆二乗＋逆三乗の力が生まれる

光速渦による圧力差としての重力７ 近日点移動（閉型）の場合ｋは１よりわずかに小さく、そのために近日点の位置が１回転で 　　　Δθ＝２π（１－ｋ） 　　だけ回ることになる。 　　　Ｂ＝ＧＭ、Ｓ＝６ＧＭ／Ｃ２ となるからｋは 　 　 　　Ｒ 　　 　　　　　　Ｓ 　 　　ｋ＝（ーーーー）１／２　≒　１－ ーー （∵Ｓ≪Ｒ） 　 　　　Ｒ＋Ｓ 　　 　　　　　　２Ｒ 　 　　　　　　　 πＳ 　　６πＧＭ 　　従って Δθ＝２π（１－ｋ）≒ーーー ＝ーーーー 　 　　　　　　　 　Ｒ 　　 Ｃ２Ｒ 　これは、一般相対性理論で求められた値と全く一致。