C： 等級 ２００６年１０月２３日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一 教官名　　　　　中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html Ｃ:　等級

Ｃ．１．　ハーシェルの等級　 紀元前２世紀にギリシアのヒッパルコスが目で見える星の明るさを１等から６等までの６グループに分けた。（と、プトレマイオスのアルマゲストに書いてあるらしい。）　その後、１８３０年にジョンハーシェル、１８５６年ポグソンが定式化した。 ハーシェルの方法 口径Ｄａの望遠鏡で明るさAの星を、Ｄｂの望遠鏡で明るさBの星を見たら 同じ明るさに見えた。　これは、 　　　　Ａ×Ｄａ２　＝　Ｂ×Ｄｂ２　　したがって、　Ａ / Ｂ =Ｄｂ２ /Ｄａ２ を意味する。 こうして、等級が１等上がると明るさは約　（１/２．５）倍に落ちることを見出した。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = Ｃ:　等級

ちょっと、ハーシェルの真似をして、１等差が明るさで何倍かを推定して見よう。 1等が明るさ（１/Ａ）倍に対応し、星の本当の明るさは皆同じと仮定する。見かけの 明るさは距離Ｄと１/Ｄ２の関係だから、明るさが１/Ａ倍になると距離は（√Ａ）倍、 体積はＡ３/２倍になる。太陽の周りの星の密度を一定とすると、体積はその等級 までの数に比例するから、１等増える毎に星の数が何倍になるかを調べればＡ が決まるはずである。 N2 N1 N2/N1=V2/V1 　　　　＝（R2/R1)３ 　　　　＝A3/2 log(N2/N1）＝(3/2)logA ２等 1等 Ｃ:　等級

ヒッパルコスの等級の表はしらないので、ややいんちきだが、理科年表から、 実視等級(M) －１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ 個数　　　　　 　２　　 ７　　１２　　６７　 １９０　 ７１０　　２０００　　５６００ 累積（N) 　　　 ２　 　９　 　２１ 　８８　 ２７８　 ９８８　　２９８８　　８５８８　 log N 0.30 0.95 1.32 1.94 2.44 2.99 3.48 3.93 ４ log N 右のグラフから、 log N ＝０．９５＋０．５*M ３ ２ １等暗くなる（Mが１上がる）と、logNが0.5増加する。 前頁の式から、 ０．５＝（３/２）log A ｌog A=1/3　　　　A=2.2 １ ０ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ －１ M Ｃ:　等級

Ｃ．２． みかけ等級 （ａｐｐａｒｅｎｔ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ） Ｃ．２．　みかけ等級　（ａｐｐａｒｅｎｔ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ） 見かけ等級 ｍ の定義　 　　ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ） 　　　Ｆ＝対象天体のフラックス 　　　Ｆｏ＝基準天体のフラックス　　　　　　 Ｆ（λ） λ log Fo(λ) logF(λ) ｍ(λ) 　　　　＝見かけ等級 ０ のフラックス ＝αＬｙｒａｅ（ベガ）のフラックス（に近い） 注意 二つの星があり、　等級はｍ１とｍ２、フラックスはＦ１とＦ２とする。 ｍ１－ｍ２＝Δｍ＝－２．５log(Ｆ１/Ｆ２) F1/F2＝10-0.4Δｍ であるから、等級差が１等、Δｍ＝１のとき F1/F2＝10－０.4＝1/2.512　　　　　　１等差はフラックスでは約２．５倍に相当 この２．５（２．５１２） は最初の行、等級の定義、に出てくる２．５とは違う。 Ｃ:　等級

０等フラックス Ｆｏ （１） 単純には、αＬｙｒ (A0型） のフラックス ＝ ０等 ０等フラックス Ｆｏ （１） 単純には、αＬｙｒ　(A0型）　のフラックス　＝　０等　 ０等がＩＡＵ(International Astronomical Union)１９２２年総会で定義された時代は 写真等級で、光電管、ＣＣＤは存在しなかった。 ーー＞　同じバンドでも、研究者によって、有効波長、　０等フラックスが異なる。 ここで、フラックスは「星の方向に垂直な単位面積を単位時間に流れるエネルギー」 である。エネルギーとして、 （１）　総エネルギーならフラックスは１種類のF。 （２）　単位波長当たりのエネルギーだと、Fλ　 （３）　単位周波数当たりだと　Fν　　を考える。　 Fλ Fν Fλ Fν ν λ Ｃ:　等級

０等フラックス（２） このように、フラックスは表示方式を指定する必要がある。 しかし、等級ｍは周波数表示の等級ｍνや波長表示のｍλは必要ない。 ｍλ＝－２．５log10[F(λ)/Fo（λ）] 　　　＝－２．５log10[λF(λ)/λFo（λ）] 　　　＝－２．５log10[νF(ν)/νFo（ν）] 　　　＝－２．５log10[F(ν)/Fo（ν）]＝ｍν だからである。　　 ｄF=F(λ)ｄλ＝[λF(λ)]ｄλ/λ ｄF=F(ν）ｄν＝[νF(ν）]ｄν/ν だが、λν＝ｃなので ｄλ/λ＝ｄν/ν よって、λF(λ)＝νF(ν) 現在ではゼロ等のフラックスFoは、多数の標準星のセット＋精密な大気モデルから決められる。下のシステムではＶ（ベガ）＝０．０３、Ａ０Ｖ星のカラー＝０ 下の表は、波長λに対してＦｏ（ν）が示されているので注意。１Jy=１０－２６W/ｍ２/Hz　 Ｆ(mag=０,ν) バ ンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21 Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 285 170 36 9.4 Bessell, Castelli,Plez 1998 Rieke,Lebofski,Low 1985 Ｃ:　等級

０等フラックス（３） αＬｙｒ αＬｙｒ（Ｖｅｇａ） のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。 ０等フラックス（３） αＬｙｒ αＬｙｒ（Ｖｅｇａ）　のスペクトルは１００００Ｋの黒体輻射に近い。 ＩＲＡＳ(InfraRed Astronomical Satellite 1983)では、 温度T=10,000K, 立体角Ω＝１．５７・１０－１６の黒体円盤からの フラックスを０等として採用した。 A0V星の半径Ｒは太陽の2.5倍＝１．７４×１０９ｍ αＬｙｒの距離Ｄは７．７ｐｃ＝2.37×１０１7ｍ したがって、視角θ＝Ｒ／Ｄ＝7.34×10－９　　 　　　　　　　αＬｙｒの立体角＝πθ２＝１．６９×１０－１６　　 上の１．５７と少し違う（８％）のはＡ０Ｖ星の有効温度Ｔｅｆｆ＝９８００Ｋとの２％の 温度差による総フラックス差（８％）を補うためらしい。 Ｃ:　等級

１） ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。 ２） 下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。 αＬｙｒは黒体輻射を比べると、 １）　ＵＢＶバンドでずれが大きい。後の課で説明する。 ２）　下に示すように遠赤外でフラックス超過が見られる。ダスト円盤がついていた。 バ ンド U B V Rc Ic λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 　　　12 25 60 100 Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 Vega 1736 3941 3527 2972 2343 　　　 41.5 11.0 9.5 7.7 ＦＩＲＡＳ 2420 2887 2951 2764 2397 　　　 28.3 6.73 1.19 0.43 Ｃ:　等級

B B V R I J U H K L αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、 Fo(Vega) F(IRAS) 青い波長帯で 4 log F(ν) (Jy) 3 2　 B B V αＬｙｒ(Vega)と黒体輻射と比べると、 R I J Fo(Vega) U H F(IRAS) K L 青い波長帯で 黒体輻射からずれ 遠赤外超過 1 -0.5 0 0.5 1 　　　 1.5 　　　　log λ(μ) Ｃ:　等級

等級とフラックス ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ）を書き直すと、 　ｍ＝ー２．５ ｌｏｇ１０（ Ｆ / Ｆｏ ）を書き直すと、 　等級 ｍ（λ）の星のフラックス　Ｆ（λ）＝ １０ーｍ（λ）/２．５ F０（λ） 例１．　ｍ＝－１　　　　Ｆ（ｍ＝－１）＝ Ｆo×１０１/ ２．５＝２．５１２ Ｆo 　　　　 ｍ＝＋５　　　　Ｆ（ｍ＝５）＝ Ｆo×１０－5 / 2.5＝０．０１ Ｆo 　Δｍ＜＜１ のとき、 　Ｆ（ｍ＋Δm）／Ｆ（ｍ）＝１０－Δｍ/２．５＝exp (－Δｍ×ln10 / 2.5 ） ＝ exp(－Δｍ×２.３０２/２.５）＝exp(－0.921Δm) ≒（１－Δm ） 上の関係は概算の際に便利。 例えば、等級が０．１大きい星は、フラックスで約１割小さい。 Ｃ:　等級

Ｃ．３． 絶対等級 （ａｂsolute ｍａｇｎｉｔｕｄｅ） 絶対等級＝ 天体を距離１０ｐｃに置いたときの等級 　　　　記号は、見かけ等級：　Ｖ、　Ｋ　または、　ｍＶ、ｍＫ 　　　　　　　　　　　絶対等級：　Ｍｖ，ＭＫ　　 距離Ｄの星を１０ｐｃに置いたときの等級を計算しよう。 Ｆ＝Ｌ／４πＤ２　　 Ｆ１０ｐｃ＝Ｌ／４π（１０ｐｃ）２ 　 ｍ＝－２．５log (F/Fo) M＝－２．５log (F１０ｐｃ/Fo) m-M=－２．５log (F/Fo)＋２．５log (F１０/Fo) 　　　= 2.5 log(D/10pc)2 = 5 log(D/10pc) ｍ = Ｍ + ５ log(D/10pc)　　　　 距離指数（ Distance Modulus ）＝ (m－M)o ＝5 log(D/10pc) 途中で光が吸収されると、見かけ等級ｍはＡ等大きくなるので、 　　　　　　　ｍ＝M+５log(D/10pc)＋Ａ Ｃ:　等級

等級と距離 フラックス＝Ｆ２ Ｆ２＝Ｌ／（４πＤ２２） Ｆ１＝Ｌ／（４πＤ１２） 等級＝ｍ２ Ｄ２ ｍ２ ーｍ１ ＝ー２．５log（Ｆ２ /Ｆｏ）＋ ２．５log（Ｆ１ /Ｆｏ） 　 ＝５log（Ｄ２ /Ｄ１） フラックス＝Ｆ１ 等級＝ｍ１ Ｄ１ 注意：　２つの天体の等級差は、距離の比を表わす。距離の絶対値ではない。 　　　　　ｍａーｍｂ＝１０　だと、5 log(Da/Db)=10 より、Ｄａ/Ｄｂ＝１００　は正しい。 　　　　　しかし、Ｄａ－Ｄｂ＝１０ｍ　とか、Ｄａ－Ｄｂ＝１００ｐｃ　と考えてはいけない。 Ｃ:　等級

距離指数の例 天体 距離 距離指数 αＣｅｎ 1.4 pc -4.3 αＬｙｒ 7.7 pc -0.57 天体 　　　　　　　　　　　　距離　　　　　　　　　　距離指数 αＣｅｎ　　　　　　　　　　　　　　　1.4 pc -4.3 αＬｙｒ 7.7 pc -0.57 α UMi (北極星)　　　　　　　　 120 pc 5.4 オリオン大星雲 460 pc 8.3 銀河中心 8.5 kpc 14.6 7.0 kpc 14.2 大マゼラン雲　　　　　　　　　　　５０　ｋｐｃ　　　　　　　　　18.5 Ｍ３１（アンドロメダ銀河） 0.71 Mpc 24.3 Ｖｉｒｇｏ銀河団 18 Mpc 31.3 Ｃ:　等級

Ｃ．４．輻射等級 見かけ輻射等級 Apparent Bolometric Magnitude ： ｍBOL=－2.5 log [∫F(λ)dλ / FoBOL]＝－2.5 log (Ｆ / FoBOL) FoBOL ： ｍＶ＝０のＦ３Ｖの星の全フラックス 　　　　　　　＝２．５ １０－８　Ｗ／ｍ２ 通常の等級はＡ０Ｖ星で決めるが、ここだけＦ３Ｖ星が登場する。 全波長でｍλ=0等となるA0V星の全フラックスは輻射等級のゼロ点でない。 その理由は次の輻射補正で考える。 絶対輻射等級 Absolute Bolometric Magnitude ＭＢＯＬは１０ｐｃから見た輻射等級。 Ｃ:　等級

波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。 見かけ等級 見かけ等級 絶対等級 αLyr αLyr １０ｐｃ 距離はそのまま。 等級の基準はαLyrのフラックス。 波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。 U,B,V,...または、ｍU,ｍB,... １０ｐｃに置いたときの見かけ等級 等級の基準はαLyrの地球上でのフラックスであり、αLyrを１０ｐｃに置いたときのフラックスではない。 波長により、αLyrとのフラックスの比は変わるから、波長の指定が必要。 MU,MB,MV,... Ｃ:　等級

総フラックス F=∫Fλｄλ と基準フラックス Fo との比を等級にする。 基準星はV（０．５５μ）＝０のF3V型星。 見かけ輻射等級 絶対輻射等級 総フラックス　F=∫Fλｄλ　と基準フラックス Fo　との比を等級にする。 基準星はV（０．５５μ）＝０のF3V型星。 この星はB（０．４４μ）=0.38, 　　　　　 R（０．７１μ）=-0.36　である。 全波長で見かけ等級＝０（αLyr）のスペクトルとの比較を下に示す。 距離＝１０ｐｃに置いたときの見かけ輻射等級。 Fλ ０ １ ２ V λ（μ） Ｃ:　等級

写真システム 北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922) Ｃ.　５．　ＵＢＶシステム 眼視等級　　　　　Hipparcos catalogue 前２世紀 　　　　　　　　　　　　　　１等＝最も明るい星。　　　６等＝目で見える最も暗い星。 　　　　　　　　　　　Ｐｏｇｓｏｎ　　１８５６　　　ｍａ－ｍｂ＝－２．５ｌｏｇ（Ｅａ／Ｅｂ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ＝等級　　　Ｅ＝入射エネルギー 口径　Ｄ ｍ　の望遠鏡を覗いた時、何等まで見えるか？ 　　　暗い晩の人間の瞳孔径＝７ｍｍ　　ｍｂ＝６等 　　Ｄ ｍ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｅｂ×（ ７ｍｍ）２ ＝Ｅａ ×（Ｄ ｍ）２ 　ｍａ ＝ ｍｂ－２．５ｌｏｇ（７ｍｍ/Ｄ ｍ）２ ＝６＋２．５ｌｏｇ（Ｄ２１０６/４９） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１６．８＋ ５ｌｏｇＤ 写真システム　北極星の周りの９６星（周極星）のセットが標準星。 (IAU1922) 　　　　　　Pg : photographic magnitude　　0.43 μｍ Pv : photovisual magnitude　　　0.54 μｍ Ｃ:　等級

UBV Response CurveとA0型星のスペクトル （ ） ＵＢＶシステム＝最も広く使われていた。 　　　　　H.L.Johnson and W.W.Morgan, 1953, Ap.J. 117, 313-352 Ｕ Corning 3384　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３５０　ｎｍ Ｂ Corrning 5030 + Schott GG13 + 1P21 フォトマル　４３０　ｎｍ　 Ｖ Corning 9863　　　　　　　　　　　（ＲＣＡ）　　　５５０　ｎｍ UBV Response CurveとA0型星のスペクトル （　　　　　） 　3,000 4,000 5,000 6,000 λ(A) Ｕ B V A0星 透過率 Ｃ:　等級

UBV Primary Standard Stars (次ページの ） ＵＢＶシステムの標準星 ゼロ等の決定 (次ページの　　　） V B-V Sp. V B-V Sp. 　　　　　αLyr 0.03 0.00 A0V 　　　 γUMa 2.45　0.00 A0V 109 Vir 3.75 -0.01 A0V 　　 α CrB 2.23 -0.02 A0V γ Oph 3.72 0.04 A0V HR 3314 3.89 -0.01 A0V Ｂ－Ｖ＝-2.5 log (B出力/Ｖ出力）+1.040、 Ｕ－Ｂ＝-2.5 log (Ｕ出力/Ｂ出力）- 1.120 A0V ６星のカラーの平均値＝Ｕ－Ｂ＝Ｂ－Ｖ＝０ UBV Primary Standard Stars　　 (次ページの　　　） V B-V Sp. V B-V Sp. α Ari 2.00 1.151 K2III HR 875 5.17 0.084 A1V β Cnc 3.52 1.480 K4III η Hya 4.30 -0.185 B3V β Lib 2.62 -0.111 B8V α Ser 2.66 1.165 K2III ε CrB 4.15 1.227 K3III τ Her 3.89 -0.155 B5IV 10 Lac 4.88 -0.203 O9V HR8832　 5.57 1.010 K3V Ｃ:　等級

UBV 標準星 Ｈ．Ｊｏｈｎｓｏｎ in Basic Astronomical Data 1963 ０ V １ ２ K2III K2III B8V ３ K4III B5IV ４ K3III B3V O9V ５ A1V K5V ６ ０ １ －０．４ B-V １．６ Ｃ:　等級

標準星と色補正（１） Ａ Ｂ 二つの観測システム Ａ：標準 （例えばＪｏｈｎｓｏｎ） Ｂ：例えばハワイ があった時 標準星と色補正（１）　 二つの観測システム 　Ａ：標準　（例えばＪｏｈｎｓｏｎ） 　Ｂ：例えばハワイ　　があった時 ＡとＢでは同じバンドでも感度曲線が異なる。 Ａ Ｂ 感度 赤い星　（長波長側が強い） 青い星　（短波長側が強い） λ λＡ λＢ 図の赤い星と青い星は、Ａシステムでは同じ等級だが、Ｂシステムでは異なる等級となる。 Ｂシステムの観測値をＡ（標準）システムでの値に直す必要がある。 Ｃ:　等級

標準星と色補正（２） Ａ Ｂ ｍＡ－ｍＢ 感度 星１ 星１ 星１ 星２ β 星２ λ ０ １ カラー（Ｂ－Ｖ）Ａ λＡ λＢ 標準星と色補正（２）　 ｍＡ－ｍＢ Ａ Ｂ 感度 星１ 星１ 星１ 星２ β 星２ λ ０ １ カラー（Ｂ－Ｖ）Ａ λＡ λＢ ｍＡ＝ｍＢ＋α（Ｂ－Ｖ）Ａ＋β　　普通、１次式を仮定して補正する。 　　　αを決めるためには、 （Ｂ－Ｖ）Ａが青（≒０）と赤（≒１．５）の両方欲しい。 ーー＞　標準星がＯ，Ｂ，Ａ型（青星）とＫ型（赤星）から選ばれている。 Ｃ:　等級

Ｃ．６．UBVシステムの拡大 RIJKLMN Johnson/Mitchell 1962 Comm.Lunar Plantary Lab.1,73 Johnson et al. 1966 Comm.Lunar Plantary Lab.4,99 　 バンド R I J K L M N Q 　 　 λc 0.7 0.9 1.25 2.2 3.4 4.9 10.2 20.0 Cousins 1976, Mem.RAS 81, 25 バンド Rc Ic λc 0.638 0.797 H (1.63μ) Glass 1974 MNAS SA,33, 53 　注意　　　λ（Ｒ）＝0.7μ、λ（Ⅰ）＝0.9μ、　 　　　　　　　λ（Ｒｃ）＝0.66μ、　λ（Ⅰｃ）＝0.81μ 実際の観測にはもっと大きな標準星表を使う。 ＵＢＶＲｃＩｃ　　Ｌａｎｄｏｌｔ　１９９２、Astron.J.　１０４，３４０　 JHK Ｅｌｉａｓ et al.　１９８２、AJ, 87, 1029. Ｃ:　等級

Stromgren 4-color system uvby Ｕ B V その他のシステム（１） Stromgren 4-color system uvby 　　 Ｕ B V バルマー不連続、金属量、温度をより正確に測る。Ａ－Ｆ型星向き 透過率 A0星 u: 完全にバルマージャンプ 　　　より短波長側。　 b：　メタル吸収の影響をＢ 　　　ほどは受けない。 y: 基本的にはＶと同じで、 　　巾が狭い。 ｕ ｂ ｖ ｙ 　0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ) ｍ１＝（ｖ－ｂ）－（ｂ－ｙ）　：　　金属量 ｃ１＝（ｕ－ｖ）－（ｖ－ｙ）　：　バルマー不連続 ｂ―ｙ　：　温度 Ｃ:　等級

その他のシステム（２） ＤＤＯ ｓｙｓｔｅｍ ＭｃＣｌｕｒｅ １９７６ ＡＪ ８１、１８２ Ｕ B V A0星 その他のシステム（２）　　 ＤＤＯ　ｓｙｓｔｅｍ　　　　　　　　　　ＭｃＣｌｕｒｅ　１９７６　ＡＪ　８１、１８２ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ，Ｋ型星 ３５フィルター 　４－ｃｏｌｏｒのｕ ３８フィルター 　ｖより金属吸収によい ４１フィルター 　ＣＮバンド測定 ４２，４５，４８ 　連続光 Ｕ B V 透過率 A0星 48 45 38 41 35 42 　0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ) （３５－３８）カラー：　バルマージャンプ （３８－４２）カラー：　金属量 （４２－４５）カラーと（４５－４８）カラー：　重力と温度　 Ｃ:　等級

その他のシステム（３）　　　 Thuan-Gunn システム　　　　　Ｔｈｕａｎ／Ｇｕｎｎ１９７６ PASP 88, 543 市街地の水銀線と夜光の[OI]線　を避ける。 基準星は。 ＣＤ＋１７４７０８ （Ｇ型矮星） で、この星の g=9.50 g-r=u-v=v-g=0 と独特の定義。 Ｕ B V 透過率 A0星 u v g r 　0.3 0.4 0.5 0.6 λ(μ)0.7 Ｃ:　等級

その他のシステム（４） ＡＢ等級 Fν(０等)＝３６３１Jy SDSSで採用 その他のシステム（４）　　 ＡＢ等級 Fν(０等)＝３６３１Jy SDSSで採用 ＡＢ＝－2.5 log [fν/3631Jy]= 8.900－2.5 log [fν(Jy)] 旧来のゼロ等がＡＢで何等になるか？ Ｆ(mag=０,ν) バ ンド U B V Rc Ic J H K L M N Q λ(μ) 0.366 0.438 0.545 0.641 0.798 1.22 1.63 2.19 3.45 4.8 10.6 21 Fo(Jy) 1790 4063 3636 3064 2416 1590 1020 640 290 170 36 9.4 　AB 0.768 -0.122 –0.002 0.184 0.442 0.897 1.378 1.885 2.744 3.324 5.009 6.467 Ｃ:　等級

Ｃ．７．カラー フラックス⇒等級 フラックスの勾配⇒カラー 約束 Ｆ 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 　フラックス⇒等級 Ｆ フラックスの勾配⇒カラー 勾配を指定する方法は幾つも考えられる： 単純にはｄＦ（ λ ）/ｄλ、ｄＦ（ ν ）/ｄν 近接した２波長λ1 、λ2でのフラックスの比、 Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）を用いてもよい。 λ１ λ２ 天文では等級の差、すなわちフラックス比の対数表示（カラー）を採用している。 カラー（ λ1 、λ2 ）＝ｍ（λ１）－ｍ（λ２） 　　　　　　　　　　 ＝－２．５ log[Ｆ（ λ1 ）/ Ｆ（ λ2 ）]+２．５ log[Ｆo（ λ1 ）/ Ｆo（ λ2 ）] 約束 カラー　ｍ（λ１）－ｍ（λ２）　では、λ１＜λ２　 Ｃ:　等級

[Ｂ－Ｖ]BB=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.270/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]} 黒体輻射のカラーと温度 このBはBバンドのB 黒体輻射のカラー [Ｂ－Ｖ]BB=-0.8３+ 2.5 log{[exp(3.270/T4)- 1] / [exp(2.616/T4)- 1]} このBは黒体の輻射強度（プランク関数） Ｆo，Ｂ（Ｔ,ν）　は、　Ｆo（ν＝B ）＝４０６３Ｊｙ，Ｆo（ν＝Ｖ）＝３６３６Ｊｙ Ｃ:　等級

同様にＵバンド（λ＝０.３6μｍ）では、Ｆo（Ｕ ）＝１７９０Ｊｙ、 ＸＵ＝14388/ ０.３6 /T （レーリージーンズ領域のカラー Ｔ→∞では、 Ｂ（Ｔ，ν）２ｋＴ（ν/ｃ）２＝２ｋＴ/λ２　なので、（レーリージーンズ近似） このように、高温極限ではカラーはー∞ではなく、有限の値でとまる。 Ｃ:　等級

T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT) なので、（ウイーン近似） ウイーン領域のカラー T→０では、 Ｂν (2hν３/ｃ２)exp(-hν/ｋT)　なので、（ウイーン近似） [B-V]BBも[U-B]BBも∞に発散する。 Ｃ:　等級

カラーの表現 天文でよく使われるバンド： Ｂ＝ｍ（0.44μｍ） Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ） 天文でよく使われるバンド：　　Ｂ＝ｍ（0.44μｍ）　　　　Ｖ＝ｍ（0.55、μｍ）　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｏ（Ｂ）＝４０６３Ｊｙ　　　Ｆｏ（Ｖ）＝３６３６Ｊｙ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１Ｊｙ＝１０-２６W／ｍ２／Ｈｚ 　　　　　　　　　　　　　　フラックス　 天体　　　　　　　　F(B　　)　　　　F(V)　 　　　　　　　　　　　　（Ｊｙ）　　　 　（Ｊｙ） 　シリウス　　　１.４９３ ×１０４ 　１.３５６ ×１０４ 　太陽　　 　　　１.１０２×１０１４　１.８０４×１０１４ ベテルギウス　　６６３　　　　　　　２３８０ 　　　　　　バンド　　　 カラー Ｂ　　　 Ｖ　 　 Ｂ－Ｖ 　 温度 　 色 －１.４３　 －１.４４　　０.０１　 ９４００　白 －２６.１０　－２６.７５　 ０.６５ 　５７８０　黄 １.９５ 　　０.４５ １.５０　 ３３７０　赤　　　　　　 一般に、天体の温度が高いと 　　（１）　短波長側のフラックスが大きい。 　　（２）　短波長の等級が小さい。　　 　　（３）　カラーが小さい Ｃ:　等級

Ｃ．１．銀河座標銀経 l=180°、銀緯 b=0°の方向を観測したところ、Ｇ型矮星 レポート問題Ｃ　　　　　出題１０月２３日　　　　提出1０月３０日 　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 　　　　　　　　少し難しいので、どこで分からなくなったかを書いて提出も可。 Ｃ．１．銀河座標銀経 l=180°、銀緯 b=0°の方向を観測したところ、Ｇ型矮星 　　　　　の等級分布（光度関数 luminosity function）として次のような式を得た。 ここに、Ｖ＝みかけＶ等級　 　　　　　ｄＮ＝Ｖ等級の巾ｄＶ、立体角ｄωの中に見える星の数 簡単のためＧ型矮星の絶対等級を太陽と同じ、Ｍｖ＝4.8３ とする。星間吸収がないとして、観測方向に沿ってのＧ型矮星の数密度 ｎ（星/ｐｃ３）を太陽からの距離Ｒ（ｐｃ）の関数として表し、R=0-3000pcの範囲で図示せよ。 Ｃ．２．Ｇ型矮星の太陽周辺の数密度は n ＝3.3・１０－３星/ｐｃ３である。仮にＧ型 　　　　　矮星がこの数密度で太陽のまわりに一様に散らばっていたとして、 　　　　　星間吸収がないときの光度関数Ｆ（Ｖ）を求めよ。 Ｃ:　等級