© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 限界代替率 無差別曲線の傾きを限界代替率と呼ぶ。 限界代替率は、消費者の主観的な、2財の交換比率である：同じ効用水準を維持するために交換してもよい（＝等価である）と考える比率。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 限界代替率の計算（１） 【一般的に成り立つ性質】 ある効用の水準　　　で全微分をして、その結果をゼロと置く：　　 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 限界代替率の計算（２） 全微分した式を変形して 具体的な効用関数について限界代替率を計算するためには、上記の式の　　　　　と　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　に、具体的な効用関数から計算された微係数を代入する。　　　 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 【補足】　自然対数の微分 自然対数　　　の　に関する微係数は 　　である。ただし、　　　　． 　このことは、自然対数は指数関数の逆関数であり、指数関数の微係数はもとの関数そのものになることから理解できる（　　　　　　）。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 効用最大化問題を解くには： 解法１ 限界代替率を計算し、それを価格比率と等しいと置く。 予算制約を満たしていることを確認する。 例：効用関数 予算制約 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 限界代替率を計算 前のスライドにある計算方法と、自然対数に微分を用いて 限界代替率と価格比率を等しくすると： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 予算制約 前のスライドから、 これと、予算制約を連立させると： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 効用最大化：解法２ 直接代入する 上記を　　で微分し、ゼロと置く： この表現を　　について解くと、 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved そのほかの解法 （汎用性があるわけではないが）たとえば、 　を単調増加変換（指数をとる変換）して 　のように変形し、これをたとえば代入して解く。 ラグランジ乗数法を用いる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

問題解説２：自然対数（１）

自然対数（２） ln(x)の差は、近似的に変化率になる ただし、 先の公式に沿って、自然対数を微分する 　ただし、 先の公式に沿って、自然対数を微分する このことは、　　　　において、微係数が1であることを意味する。

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 自然対数（3） このことは、先の図でいうと、 ln(x)の 　　における傾きが、1であることを意味する。 　　ln(1)=0であるので、このことは、先の接線は 　　となる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 自然対数（4） つまり、ln(x) の (1,0)における接線は 　であるので、接線がln(x)を近似していることから 　である。これから、以下が成り立つ： © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 問題解説３：スルツキー方程式 財i価格の変化の効果を所得効果と代替効果に分解 　　　　　所得を一定として　 が変化したときの効果 　　　　　　効用を一定として　 が変化したときの効果 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved スルツキー方程式 　　　　：代替効果 　　　　　　：所得効果 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 問題解説４：費用最小化 等費用曲線 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 費用最小化の条件　（１） 技術的限界代替率と生産要素価格比率が一致する。 技術的限界代替率と生産関数の関係 上記の条件は、支出１円あたりの限界生産物が労働と資本の間で均等化することを示す。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

© Yukiko Abe 2014 All rights reserved 費用最小化の条件　（２） また、等費用曲線の傾きは、市場の交換比率であり、客観的交換比率といえる。 限界代替率は個別企業の交換比率であるので、費用最小化の条件は、客観的交換比率と個別的交換比率が等しくなるところに要素投入量を設定することになる。 もしこれが乖離していると、費用が最小化されていない。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

最適点で技術的限界代替率と要素価格比率が等しくなる理由（１） 費用最小化の条件は もし先の図で　　　　　であると、等量曲線の傾きが等費用曲線よりも急になる→労働を増やしたほうが費用が最小にできる。 逆の不等号が成り立つ場合も、最適でないことを示すことができる。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved

最適点で技術的限界代替率と要素価格比率が等しくなる理由（２） 【別の説明の方法】 限界代替率と要素価格比率が乖離していると、支出１円あたりの限界生産物が労働と資本の間で均等化していないため、最適といえない。 © Yukiko Abe 2014 All rights reserved