物理学Ⅰ － 第 ８ 回 － アナウンス 中間試験 次回講義（XX／XX）終了前３０分間 第７回講義（運動量）までの内容 期末試験 物理学Ⅰ －　第　８　回　－ アナウンス 中間試験 　　次回講義（XX／XX）終了前３０分間 　　第７回講義（運動量）までの内容 期末試験 　　第XX回目（XX／XX）に実施予定

前回まとめ 運動量の変化は力積に等しい 全運動量の変化率は外力の合力 運動量保存の法則 衝突の物理 運動方程式を積分したベクトルの関係式 　　運動方程式を積分したベクトルの関係式 全運動量の変化率は外力の合力 　　全運動量の変化＝外力の合力による力積ということ 運動量保存の法則 　　外力の合力が０ならば全運動量は保存する 　　すべての物体を考えるなら必ず成立する 　　一部に注目するときは成立する条件に気をつける　 衝突の物理 　　運動量保存の法則を利用する典型例 　　完全非弾性衝突と完全弾性衝突は衝突の典型例

第7章 円運動の動力学と惑星の運動 この章のポイント １．惑星の運動（万有引力による楕円運動） ２．万有引力の法則 第7章　円運動の動力学と惑星の運動 この章のポイント 　１．惑星の運動（万有引力による楕円運動） 　　　ニュートン力学検証の歴史的意義 　　　 厳密に解ける問題として初年度の最高レベル 　２．万有引力の法則 　　　重力についての一般的法則・・・遠距離 　　　 重力的ポテンシャルエネルギーの一般形 　３．角運動量と角運動量保存の法則　←　重要 　　　回転運動の運動量と運動量保存則 　４．二次元極座標（r,φ） 　　　数学的手法として重要・・・講義では省略

今日の内容 第７章 円運動の動力学と惑星の運動 １．ケプラーの法則と万有引力の法則 ２．重力的ポテンシャルエネルギー ３．中心力と角運動量 第７章　円運動の動力学と惑星の運動 　１．ケプラーの法則と万有引力の法則 　２．重力的ポテンシャルエネルギー 　３．中心力と角運動量 　　　2章のベクトル積の内容を含む コペルニクス ケプラー

なぜ天動説がおかしいと考えたか？ 天動説でも月と太陽は別扱い よく観察すると惑星も別扱いに 惑星の説明はとても複雑で困難 　惑星の説明はとても複雑で困難 ティコ・ブラーエによる精密な測定 　オッカムのカミソリ→両方とも現象を説明できるなら単純な方がよい

第7章 円運動の動力学と惑星の運動 §１ ケプラーの法則と万有引力の法則 ☆ケプラーの法則 ティコ・ブラーエの惑星の観測結果より 第一法則 第7章　円運動の動力学と惑星の運動 §１　ケプラーの法則と万有引力の法則 （７－１～７、１１） ☆ケプラーの法則 ティコ・ブラーエの惑星の観測結果より 第一法則 楕円となることは上級向け　 惑星は太陽を一つの焦点とする楕円運動 第二法則 角運動量保存の法則の言い換え 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積が一定 第三法則 講義では円運動の場合を扱う 周期の２乗は楕円の長径の３乗に比例：T2∝a3

☆万有引力の法則 ケプラーの法則を説明するにはどうすればよいか？ ⇒ 惑星が受ける重力の法則として考えられた 導出 ⇒　惑星が受ける重力の法則として考えられた v R 導出 F m １．惑星は太陽の周りを等速円運動すると近似 半径　　、スピード　　の円運動の加速度の大きさは 向心力として　　　　　　　の大きさの重力 ：惑星の質量 ２．ケプラーの第三法則が成り立つためには 周期　　　で一周の距離　　　　　を動くので 重力　　は距離　　の２乗に反比例 逆２乗の法則

３．「万有引力」のはず 互いに引き合う万有引力 ⇒　作用反作用の法則を満たす ４．互いの質量の大きさに比例 受ける重力は受けての質量に比例 ⇒　反作用の力（地球を引く力）を 考えると引き手の質量にも比例　∝M ⇒　互いの質量に比例　∝M,m

質量 ［ｋｇ］と質量 ［ｋｇ］の物体が距離 ［ｍ］ 離れているときには大きさ まとめると，M, m, 1/R2 に比例するので 万有引力の法則 質量　　［ｋｇ］と質量　　［ｋｇ］の物体が距離　 ［ｍ］ 離れているときには大きさ ［Ｎ］ の引力が働く 重力定数 補足：大きな物体でもその中心（重心）に働くと考えてＯＫ　 （証明は上級向けで７－１２にあるが省略） 作用・反作用の法則の成立も含め実験で検証済み

問１ もし太陽系のすべての大きさが半分に なったとすると１年の長さは？ （太陽と地球の距離やそれぞれの半径は半分、密度は同じ） 問１　もし太陽系のすべての大きさが半分に　 なったとすると１年の長さは？ 　　 　　　（太陽と地球の距離やそれぞれの半径は半分、密度は同じ） １． ２． ３． ４． ５． ８倍 ２√２倍 １倍 １／２√２倍 １／８倍

地球の質量 、太陽の質量 、地球のスピード 太陽と地球との距離を とすると 、v = ωR ⇒ ∝R3 太陽の密度 、半径 とすると 地球の質量　　　、太陽の質量　　　、地球のスピード 太陽と地球との距離を　　とすると 円運動で近似 、v = ωR ⇒ ∝R3 ケプラーの第三法則 太陽の密度　　、半径　　　とすると したがって、太陽の密度が一定である限り （非現実的） 　　と　　　が同じ割合で変化しても公転周期は不変 教科書７－６参照

☆地表での重力 地球の表面で受ける重力は地球の中心に 地球の全質量 があるときと同じ 地球の半径を とすると 地球は球と近似 地球の表面で受ける重力は地球の中心に 地球の全質量　　　があるときと同じ 地球の半径を　　　とすると 地表で質量　　の物体が受ける重力は 万有引力 これが重力加速度　　を用いて と表されるので、　は、 但し、地球は扁平につぶれた楕円体であること、 遠心力が働くこと（第４章）から重力加速度は緯度により変わる

☆二つの天体の円運動 二つの天体の質量が のとき 互いに受ける万有引力の大きさは同じ しかし、各加速度の大きさは、F=mam, MaMより 例　太陽と地球 二つの天体の質量が　　　　　　のとき 互いに受ける万有引力の大きさは同じ しかし、各加速度の大きさは、F=mam, MaMより ⇒　重い天体は静止という扱いが良い近似 　　重い天体の加速度は、小さい天体に比べて無視できる

二つの天体の質量が同程度のとき 他の天体の影響が無視できるとすると 二つの天体の系に対する外力はない ⇒ 質量中心は等速度運動・・・慣性系 ⇒　質量中心は等速度運動・・・慣性系 第４、７回 ⇒　質量中心の周りを二つの天体が円運動 　　　（F=mam, MaMの向心力を受ける） 質量中心： M>>mより、 よって、月は地球の周りを回る より、 、 連星系 r2 r1 質量中心 質量中心：質量で重みを かけた時の位置の中心

質量中心と共に動く系（重心系） 連星系 二つの天体：質量 、 距離 ＝一定 質量中心までの距離 、 、 r2 慣性系なので慣性力はなし（外力無し） r1 質量中心は静止しているとする 二つの天体：質量　　　、 距離　　　＝一定 質量中心までの距離 、 質量中心を原点、二つの天体を結ぶ直線を　　軸に取る 天体の位置を　　　　　　　　　　　　　　　とすると ある瞬間 ベクトル 質量中心 ⇒ 、

向心力として質量中心の周りに等速円運動する 連星系 各天体が受ける万有引力 大きさ 質量中心の方向を向く は一定より、万有引力を 向心力として質量中心の周りに等速円運動する 円運動の角速度を　　とすると、 a=rω2より または より 　どちらからも同じ結果 　→　同じでないと質量重心の位置がずれ、連星系を保てない

周期で結果を表すと？ 角速度 で一周の角度 を回るのに要する時間 したがって ：角速度の定義 質量中心を中心とした連星系のケプラーの第三法則 角速度　　で一周の角度　　　を回るのに要する時間 ：角速度の定義 したがって 質量中心を中心とした連星系のケプラーの第三法則 周期と天体間の距離が分かると により天体の質量の和が求められる

問２ もし地球の質量が太陽の質量と等しければ 一年の長さは？（距離は同じとする） 問２　もし地球の質量が太陽の質量と等しければ 一年の長さは？（距離は同じとする） １． ２． ３． ４． ５． ２倍 √２倍 １倍 １／√２倍 １／２倍

問２ もし地球の質量が太陽の質量と等しければ 一年の長さは？（距離は同じとする） 問２　もし地球の質量が太陽の質量と等しければ 一年の長さは？（距離は同じとする） １． ２． ３． ４． ５． ２倍 √２倍 より、 １倍 １／√２倍 １／２倍

§２ 重力的ポテンシャルエネルギー（７－８） 地表付近の重力 は保存力 万有引力は保存力か？ 答 万有引力は保存力 §２　重力的ポテンシャルエネルギー（７－８） 地表付近の重力　　　　　　　は保存力 万有引力は保存力か？ 保存力：経路に依らず、始点と終点の位置だけで決まる 答　万有引力は保存力 ⇒　ポテンシャルエネルギーを考えるのが便利 重力的ポテンシャルエネルギー （一般版） 自然界の基本的力の一つである重力は保存力 静電気の力 クーロン力も同じ逆２乗の法則に従うので保存力 - + ⇒　自然界でエネルギー保存の法則が成り立つ背景

万有引力は保存力 二つの経路で重力がする仕事を比較 ⇒ 経路に依らないことを示す 微小な変位を考える 質量 、 の物体 経路１ 経路２ 直線 ⇒　経路に依らないことを示す 微小な変位を考える 質量　　　、　　　の物体 経路１ 直線 経路２ 経路１を 半径一定の円弧 ＋　　　方向の移動 に分割

微小な変位なので万有引力の大きさの変化、 向きの変化は無視できる（高次の微小量） とする 微小な変位 経路１ 万有引力がする仕事 微小な変位なので万有引力の大きさの変化、 向きの変化は無視できる（高次の微小量）

経路２ 半径一定の円弧に沿った移動 ・・・重力は移動方向に垂直 ⇒　仕事をしない 　　　方向の移動 距離　から　　　　　　までの移動 微小な変位なので万有引力の大きさの変化は無視 引力なので　　　　　　のとき負の仕事 万有引力のする仕事は経路に依らない

重力的ポテンシャルエネルギー 静止した質量 の物体の周りで質量 の物体が から まで移動するときに重力がする仕事 経路に依らない 万有引力に関係した ポテンシャルエネルギー 重力的ポテンシャルエネルギー 静止した質量　　　の物体の周りで質量　　　の物体が から　　まで移動するときに重力がする仕事 経路に依らない 距離　から　　　　　　までの移動での仕事 を　　　　　　　から　　　　　　　まで加える ⇒積分

から　　まで移動するときに重力がする仕事 重力的ポテンシャルエネルギー マイナスが付く 重力の井戸（引力） 質量　　　と質量　　　の物体が距離　　にあるときの エネルギー

重力は二つの物体間に働く引力 物体間の距離を変える変化での仕事を 重力的ポテンシャルエネルギーに置き換えたので 一方の物体が持つエネルギーではなく 両者が全体として持つ（系全体の）エネルギーと理解 どちらが動くと見るかは相対的な問題 どちらが動くと考えても距離の変化だけで決まる

§３ 中心力と角運動量（２－３、６および７－１４） 運動の勢いを表す概念：運動量 角運動量 回転運動の勢いを表す運動量： §３　中心力と角運動量（２－３、６および７－１４） 運動の勢いを表す概念：運動量 角運動量 回転運動の勢いを表す運動量： →　質量が大きいほど、回転が速いほど止めにくい 例：大きな独楽 回転運動の運動量 この章では質点の円運動について考える 大きさがある物体の回転の勢いという理解は第９章

質点の円運動 回転の勢いと関係しそうな要素 質量 スピード 半径 円運動では速度の方向は変化してしまう 運動量と違ってベクトル量にはならない？ 答　Nｏ　　回転軸という方向で特徴付けられる 記述の為の良い方法は？

☆ ベクトル積（回転の物理量を表すのに便利） ☆　ベクトル積（回転の物理量を表すのに便利） 二つのベクトル　　　　　のベクトル積（外積） ：二つのベクトルがなす角 ：二つのベクトルに垂直な単位ベクトル 右ねじの関係の向き 回転の大きさ 回転の向き S

性質 A × B = −B × A A × A = 0 A × 0 = 0 逆向きで同じ大きさ 面積 ０ 面積　０ 成分表示（２．１８）式と微分の性質（２．３２）については自分で計算して確認

質量 の物体が半径 、スピード の等速円運動するときの角運動量は ☆質点の角運動量 位置　　、運動量　　の質点の角運動量　　 定義： 位置は回転の中心から測る 等速円運動の角運動量 質量　　の物体が半径　　、スピード　　の等速円運動するときの角運動量は 大きさ 回転軸方向（右ねじの向き）

中心力だけが働くときには角運動量は保存する 角運動量は役立つか？ 保存の法則が導けるか？ ・・・運動方程式から　　　　　　　　　　の形を作れるか？ 時間的に変化しない 答 中心力だけが働くときには角運動量は保存する 中心力・・・中心からの距離だけで決まり、 中心方向を向く力（経路によらない） 位置は中心から測る

中心力による運動のとき、Fとrは平行なので ☆角運動量保存の法則 角運動量の時間変化を調べる ここで　　　　　　　　　　、　　　　　　　より 運動方程式 （　　　　　　　より） 中心力による運動のとき、Fとrは平行なので よって、 角運動量保存の法則 角運動量は時間によらない

２．中心力により回転の半径が変わる運動の理解 角運動量保存の法則で分かること 但し、質点の運動の範囲 １．ケプラーの第二法則の理解 角運動量保存の法則を言い換えただけ 講義では省略・・・７－１５ ２．中心力により回転の半径が変わる運動の理解 より、 L’: r→小、p→大 L’: r→大、p→小

問４ 図のように等速円運動している物体がある。 問４　図のように等速円運動している物体がある。 ひもを引いて円運動の半径を半分にしたとき、 物体の角速度の大きさはどうなるか？ １． ２． ３． ４． ５． １／４　倍　 １／２　倍　 変わらない ２倍　 ４倍

今日のまとめ ケプラーの法則から万有引力の法則を導出 重力的ポテンシャルエネルギー 角運動量と角運動量保存の法則 　　重力は遠方では逆２乗の法則に従う 重力的ポテンシャルエネルギー 　　万有引力は保存力 　　重力的ポテンシャルエネルギーが定義できる 角運動量と角運動量保存の法則 　　回転の勢いを表す概念として角運動量は役立つことになる 　　中心力だけが働くときは角運動量は保存する

復習内容 必須範囲・・・７－１～８、１４ 講義で省略した部分は自習する ７－９〜１３は参考程度と思ってもよいが 理系の教養として学んでおくとよい ７－１５〜１９は範囲外としているが 物理系の専門分野に進むことを考えている人は 自習しておくことが望ましい（極座標表示等） ・・・応用範囲が広く、手法としてよく用いられる