B： 黒体輻射 ２００６年１０月１６日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一 教官名　　　　　中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html A:　輻射強度

B．１． 黒体輻射の式の導出 温度Tの熱平衡にある、大きさL３＝Vの箱を考え、この箱の中の熱平衡輻射の強度 B（ν、T） を決めたい。νは光子の振動数である。 ｎ（ν, Ω）＝周波数ν、進行方向Ωの光子の数密度、つまり、 ｎ（ν, Ω）ｄνｄΩｄV＝体積ｄV,周波数ｄν、方向ｄΩ（立体角） 　　　　　　　　　　　　　　　の範囲にある光子の数とすると、 B(ν,T)＝ｃ・ｈν・ｎ（ν, Ω）　である。 光子密度 ｎ は、量子状態の密度Dと各量子状態にある光子数ｓ（ｐ）の掛け算で決まる。 　　ｎ（ν、Ω）ｄνｄΩｄV ＝D（ν、Ω）ｄνｄΩｄV・<s(p)>＝光子数 以下では、まず<s(p)>、次にD（ｐ、Ω）を調べる。 ΔＰ ΔＸ Ｐ フォトンの量子状態はΔp3Δx 3= h3 毎に2（偏光）である。 Ｘ A:　輻射強度

まず、 与えられた量子状態に存在する光子の数<s>を調べよう。 ＜ｓ（ｐ）＞ まず、　与えられた量子状態に存在する光子の数<s>を調べよう。 ｃ・ｐ＝ｈ・ν　：　運動量ｐの光子一つのエネルギー　 Es=ｓ・ｈ・ν：　光子ｓ個のエネルギー 　　　 Ps　： その量子状態に光子がｓ個存在する確率 すると、<ｓ>=∑ｓ・Pｓ　 熱平衡のギブス分布は、Pｓ∝ exp(-Es/kT)=exp (ーｓ・ｈ・ν/kT)　 となるので、ΣPn=1の規格化を課すと、 A:　輻射強度

この式を計算するため、ｘ＝exp(-hν/kT) とおく。 exp(-ｎhν/kT)＝ｘｎ なので、 （計算には下の二式を使った） A:　輻射強度

こうして、振動数νの光子の量子状態１つに存在する光子数の平均、 <ｓ> ＝ 1／ [ exp (ｈν/kT)－１] であることが分かった。 D（ν、Ω） 次に、大きさL３＝Vの箱の中の光子の量子状態密度 D(ｐ, Ω)を考えよう。 一辺Lの箱の中の定常波と考えると、量子状態はΔ（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）＝１ 毎に２つ（光子の偏光があるため）存在する。　 したがって、箱の中の量子状態の数は、 ΔN=２・Δ｛（L/λｘ）（L/λy）（L/λz）｝ 　　　　＝（２L３Δ｛（１/λｘ）（１/λy）（１/λz）｝ 　　　　＝（２V/ｃ３）・Δ｛（ｃ/λｘ）（ｃ/λy）（ｃ/λz）｝ 　　　　＝（２V/ｃ３） （Δν）３＝ （２V/ｃ３）ν２dΩｄν D(ν、Ω)＝ΔN/（V・Δν・ΔΩ）＝２ν２/ｃ３　　　 A:　輻射強度

B（ν、T） D(ν、Ω)と＜ｓ（ν、T）＞が求まったので、 B(ν、Ω、T)＝ｃ・ｈν・ ｎ(ν、Ω、T) ＝ｃ・ｈν・ D(ν、Ω)・ ＜ｓ（ν、T）＞ を計算すると、 第１課　I（ν、Ω）のところでやったように、黒体輻射強度（Intensity）B（ν、T）は、温度Tの熱平衡輻射が、単位面積を通って、その法線方向に単位立体角、単位時間、単位振動数当たりに流れるエネルギー量という言い方もする。 A:　輻射強度

B．２．黒体輻射の表示法 周波数表示Bν（ν、T)と波長表示Bλ（λ、T) ｄB=Bν（ν、T)ｄν＝Bλ（λ、T)ｄλで、　Bλ（λ、T)を定義する。 Bν（ν、T)・ν（ｄν/ν）＝ Bλ（λ、T)・λ（ｄλ/λ）　であるが、ν・λ＝ｃなので、 （ｄν/ν）＝ （ｄλ/λ） したがって、 Bν（ν、T)・ν＝ Bλ（λ、T)・λ Bλ（λ、T)＝Bν（ν、T)・ν/λ＝（ｃ/λ２）Bν（ν、T)　なので、 A:　輻射強度

Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ λＩ（λ） νＩ(ν) λ ν 対称表示 Bν（ν、T)・ν＝ Bλ（λ、T)・λ 対称表示はνとλが対称に扱える。 　（BlackbodyＢ(ν,T)に限らず Intensity 一般に通用するのでＩで話す） 例：　Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ Ｉ(ν) Ｉ(λ) Ｉｏ ν λ Ｉ(ν)ν＝ Ｉ(λ)λ 表示では λＩ（λ） νＩ(ν) λ ν A:　輻射強度

表示法により、エネルギー分布の見掛けはかなり変わる。下の４つのグラフは全て同じスペクトルを表している。ただし、logλ－Ｉ(λ)の図だけは曲線の下の面積がエネルギー量に対応していない点に注意。 Ｉ(ν) Ｉ(λ) λ・Ｉ(λ) A:　輻射強度

黒体輻射の規格化表示 そこで、 とおいて、Ｆとｘの関係を図示すると右のようになる。 この時、 A:　輻射強度

このように、log-log 表示では黒体輻射は同じ形になる。 log B(T,ν）とlogν の形で書き直すと、 log B(T,ν）＝3・logT+F(logν－logT) の形をしているので、 logＴ+Δ logＴのBν（ν、Ｔ）のグラフは右図のように左図の曲線を平行移動したものである。 Ｂν（ν、Ｔ）のグラフが左図のようであるとき log Bν ３Δ logＴ log Bν Δ logＴ logν logν このように、log-log 表示では黒体輻射は同じ形になる。 A:　輻射強度

全輻射強度 Ｂ(T)=∫Bν(T,ν)dν= ∫Bλ(T,λ)dλ σ = 2π5k4/15h3c2 　　＝5.6696 10 ー8 W/m2/K4 = ステファンボルツマン係数 全輻射強度Ｂ(Ｔ）を黒体表面からの全輻射フラックスＦ(T)と混同しないように。 Intensity = (σ/π)T4 Flux = σT4 A:　輻射強度

B．３．黒体輻射のその他の性質 黒体輻射のエネルギー密度 U（Ｔ） エネルギー密度 u（ν）は、 右式では、Ｂ．１．の最後で導いた ｎ(ν、Ω、T) 　　＝ D(ν、Ω)・ ＜ｓ（ν、T）＞ を使った。 なお、 であったから、 である。 A:　輻射強度

したがって、黒体輻射の全エネルギー密度Ｕ（Ｔ）は、 は、輻射密度定数（radiation density constant）と呼ばれる。 A:　輻射強度

レーリー・ジーンズ近似 （ｈν/ｋＴ＜＜１） レーリー・ジーンズ近似　（ｈν/ｋＴ＜＜１） つまり、λ（μｍ）＞＞15,000/T(K) の時は、 Ｂ（Ｔ，ν）が下のような形で近似される。 A:　輻射強度

下のグラフは黒体輻射のｘ３/(exｐ ｘ－１）をレーリージーンズ近似 ｘ２ と比べたものである。両者の差はｘ＝０．４ではまだ２０％あり、ｘ＝０．３ で１５％以下となる。ｘ＝０．３に対応する波長を見ると、 λ(μ）＞５０,０００/Ｔ（Ｋ） 　　Ｔ（Ｋ）　　　　λ（μｍ） 100 500 3,000　　　 　　　20 10,000 5 30,000 2 A:　輻射強度

ウイーン近似　　（ｈν/ｋＴ＞＞１） A:　輻射強度

A:　輻射強度

A:　輻射強度

黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わる。 B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ]なので、 黒体輻射のピーク 図に見えるように、ピーク位置波長はＢ（ν）が一番長い。 Ｂ（λ）が短く、Ｂ（λ）λが中間。 B(ν) B(λ) 　　B(λ)λ ＝[B(ν)ν] ピーク波長を求めるため、輻射強度を　ｘ＝hν/ｋT　で表す。 logλ A:　輻射強度

の極大に対応する。 数値的に極値を探した結果は以下のようになる。 ピーク波長（振動数）は、 （ｎ＝３，４，５） の極大に対応する。　数値的に極値を探した結果は以下のようになる。 ４ ３ ２ １ の解がピーク位置を与える ０ ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｘ 　　　　　　　　　　　　　　B(T,λ)　　　　　　νB(T,ν) ＝ B(λ)λ　　　　　　 B(T,ν) 　　 Fn(x) 　　ｘ5/[exp(ｘ)-1]　　　ｘ4/[exp(ｘ)-1]　　　　ｘ３/[exp(ｘ)-1] 　　ｘ　　　　　　　4.965　　　　　 　3.92　　　　　　　　　　　　　　 2.82 T4λμ 　　　　0.290　　　　　 0.367　　　　　　　　　　　　　　0.510 　 A:　輻射強度

B．４．黒体輻射の数値表現 h=6.626×10-34 Js, k=1.381×10-23 J/K, ｃ＝2.998×108 m/s A:　輻射強度

レーリージーンズ領域 傾き一定、 強さはＴに比例 ウィーン領域 傾きと強さが 大きく変化する A:　輻射強度

B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われる。 A:　輻射強度

B．５．熱輻射 壁の輻射吸収率A、反射率 R と放射率 K 左図で、輻射が壁と熱平衡となった場合を考える。RとKには変化がない。 熱平衡なので、壁の表面で、 入射光＝反射光＋放射光 I(λ）＝B(λ,T） である。したがって、 B(λ）＝R・B(λ）＋K・B(λ） つまり、 R+K=1 である。 K・B(λ,T）＝放射光 温度T R・I(λ）＝反射光 　A・I(λ） ＝吸収光 I(λ）＝入射光 　A・I(λ）＋R・I(λ）＝I(λ） 　A+R=1 したがって、A=K=(1-R) A:　輻射強度

R=0 の表面はA=1であり、入射光を完全に吸収する。K=1なので表面からはB(λ、T)の輻射が放射される。 　黒体 　　R=0　の表面はA=1であり、入射光を完全に吸収する。K=1なので表面からはB(λ、T)の輻射が放射される。 　　K＞１の表面は存在しない。すなわち、熱的な放射としては物体の表面から黒体輻射以上の放射は起こらない。 （ｂ）　鏡面 　　R=１　の表面はK=０となるので、表面からの放射＝０　である。 （ｃ）　色の付いた物体 　　常温で赤い物体は0.6μｍより長い波長で反射率Ｒ（赤）が高く、 　　それより短い、　典型的には青い、波長で反射率Ｒ（青）が低い。 　　したがって、赤い物体は放射率Ｋ（赤）は低く、Ｋ（青）が高い。つまり 　　赤い物体自身が出す放射光は青いのである。 A:　輻射強度

A. 地球から見る太陽は直径θ＝３２′のほぼ一様に輝く円盤に見える。スペ 問題2　　　　　　　　　出題　平成18年10月16日　　提出　平成18年10月23日 A.　地球から見る太陽は直径θ＝３２′のほぼ一様に輝く円盤に見える。スペ 　　　　クトルの観測から、その表面輻射は温度T=5800度の等方的な黒体輻射 　　　　に近いと考えられる。地球が受ける太陽のフラックス(太陽定数)を観測す 　　　　ると F=１．３９５　kW/m2　である。 以上の数値を用いて太陽から地球までの距離を求めよ。 B.　反射率＝R（λ）、　放射率＝E（λ）の、青い壁の部屋を考える。　前章で説 　　明したようにＲ（青）＝大、Ｅ（赤）＝大である。　この部屋の中を青い光、 　　Ｉ（青）＝強、Ｉ（赤）＝弱、で満たしておく。その状態で部屋を閉め切る。 　　壁の温度Ｔはどこも一定として、部屋の中の輻射はどうなるだろうか。 　　簡単のため、図で右向きと左向きの光のみを考える。 １）　左向きのIo（λ）の光が壁に当ると、 　　　反射光＝R（λ）・Io（λ）、 　　　壁の熱放射＝E（λ）・B（λ,T） 　　　E（λ）+R（λ）=1 　　右向きの光Ｉ１＝R・Io＋E・B I R・I E・B A:　輻射強度

Ｉ２（λ）＝R（λ）・（R（λ）・Io（λ）＋E（λ）・B（λ））＋E（λ）・B（λ） ２）　この光が又壁にぶつかると、 　　反射光＝R・（R・Io＋E・B）、 　　熱放射＝E・B 　　結局、第二回目の左向き光 　　　Ｉ２（λ）＝R（λ）・（R（λ）・Io（λ）＋E（λ）・B（λ））＋E（λ）・B（λ）　 閉じた部屋の中は、上のプロセスを無限に繰り返したときのＩ∞（λ）で 満たされるであろう。 Ｉ∞（λ）は最初に部屋の中に入れた輻射Ｉ０（λ）、壁の色にどう影響されるか？ A:　輻射強度