Periodic solution of van der Pol differential equation.

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Periodic solution of van der Pol differential equation. Seminar at Kitami Institute of Technology January 8, 2009, By Akio Arimoto (武蔵工業大学)

van der Pol Equation

概略 Van der Pol の微分方程式 がリミットサイクルをもつということ 2.微分方程式から導かれる積分方程式 (いくつかの基本公式)

3. 周期解の様子 (円、半径が決まってくる) 4.周期 

簡単な例

両辺に   をかけると 相空間     で円をなす

両辺に    を掛ける Limit Cycle の存在の可能性

行列形式

解の積分方程式

のスペクトル表現

基本行列のスペクトル表現

Theorem 1.2

定理1.2からの帰結(1) 2つの時点  ,   の関係

定理1.2からの帰結(2) 初期時点を 

Theorem1.2 の証明(1)

Theorem1.2 の証明(2)

Theorem1.3

Theorem1.3の証明

Theorem1.4 周期条件

Theorem1.5 周期条件

Theorem1.6周期条件

に同等な積分方程式

同等な積分方程式

周期条件   

周期条件

Limit cycle から決まる円        の解は任意の半径を持つ円   

Limit cycle の様子

Another Aproach

is a period of the solution