Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

Ａ．1．HR図上の赤色巨星 中小質量星（Ｍ＜8Mo)の進化経路 PN Post-AGB AGB Ｈｅフラッシュ (Ｈ，Ｈｅ二重殻燃焼) ＲＣ 　　　　　 4 Log L/Lo 2 PN Post-AGB AGB Ｈｅフラッシュ (Ｈ，Ｈｅ二重殻燃焼) ＲＣ RGB Ｈｅ核燃焼 (Ｈ殻燃焼) ＳＧ Ｈｅ核重力収縮 MS Ｈ核燃焼 　　　　４　　　　　　　　　　　log T 　 3.5　　　　　　　　　　

進化経路と等時線は元来異なる意味を有する。 108年 4.5 4.0 3.5 3 2 1 -1 log T log (L/Lo) 0年 6Mo 4Mo 2Mo 1Mo 109年 1010年 与えられた質量の星の進化経路 １００Ｒｏ 赤色巨星 共通年齢の星集団のＨＲ図。 = Isochron (等時線) １０Ｒｏ １Ｒｏ 赤色巨星（Ｒｅｄ　Ｇｉａｎｔ） 　＝ＲＧＢ　+ ＡＧＢ　

赤色巨星の等時線を進化経路で代用してよいわけ しかし実際には進化が速いので 赤色巨星の進化が遅かったら １．６ １．４ １．２ １．０６Ｍｏ １．０３Ｍｏ １．０Ｍｏ Ｌ Ｌ ７Ｇｙｒ Ｔｅ ５ ６ Ｔｅ １０Ｇｙｒ 等時線と進化経路は全く異なる 等時線と進化経路はよく重なる。 両者は線として重なるだけでなく、線上の分布密度も互いに代用できる。 つまり、等時線上の恒星密度から対応する質量の星の進化速度を導くことができる。またその逆も可能である。その理由については各自考えてみよ。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

では実際はどうかというと、主系列を離れてから赤色巨星を終えるまで案外長いことがわかる。ＲＧＢ期とＡＧＢ期の長さの比が１．６Ｍｏ付近で逆転するのも面白い。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

参考のため、時間をリニアスケールにした絵をつける。 Ｍ＝２－１．２Ｍｏでは主系列を離れてから、赤色巨星に入るまでの期間が長い。また、Ｍ＝１．６－３（？）、ｔ＝１－２Ｇｙｒではレッドクランプの時代が長いことがわかる。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

（１）Ｓｃｈｏｎｂｅｒｇ・Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒ Ｌｉｍｉｔ Ａ．２．赤色巨星の出現をめぐって： 　　（１）Ｓｃｈｏｎｂｅｒｇ・Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒ　Ｌｉｍｉｔ 背景　　１９３８　Ｗｅｉｚｓｃｋｅｒ，　１９３９　Ｂｅｔｈｅ　ＨＨｅ核反応が星のエネルギー源 　　　　　１９３９　Ｇａｍｏｗ　　　　　　一様な組成でＨが燃え尽きるまで星が進化する。 M.Schonberg, S.Chandrasekhar 1942, Astrophysical Journal 96, 161-172 “ On the evolution of the main-sequence stars” 　　　　(1) 核反応が中心部で起こると対流核＋外層　(Henrich/Chandrasekhar 1941) (2) Ｈｅ中心核が形成され、水素殻燃焼開始。 　　　　(3)　Ｈｅ等温核＋Ｈ外層の２重組成の構造は？　 外層　　　　 等温核の解と外層の解とは、境界で次の条件で結ばれなければならない。 Ｖ　　　　 境界　　　　 等温核　　　　 ０　　　　 ３　　　　 ここで、μ＝電子も含めた平均分子量　　　　 Ｕ　　　　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

主系列終了後の等温核（ｉ)＋外層（ｅ）の構造を計算した。μi/μe=2 状態方程式は　 Ａ　 その結果、　 Ａ点で等温核に外層をフィットすることができなくなる。 等温核の大きさがＡ点に達すると 等温核の存在が不可能となり、核の収縮による重力エネルギー解放 が始まる。 境界の温度が上がり水素殻燃焼が始まると、再び等温核が出現するはずだが、既にＡ点を超えているので平衡な解は存在しない。　 この論文では、速度分布がマクスウェル型の理想気体の場合に等温核の大きさに上限（Ｓｃｈｏｎｂｅｒｇ－Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋａｒ　Ｌｉｍｉｔ）があることが、等温核と輻射外層との間でフィットができなくなることから発見された。　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

（２）等温自己重力系のエントロピーの極大問題 　　（２）等温自己重力系のエントロピーの極大問題 　ＳｈｏｎｂｅｒｇとＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒは、星の等温核の質量には上限があることを、外層 と核とのフィッティングが不可能になることから発見した。 　２０年後の１９６２年にＶ．Ａ.．Ａｎｔｏｎｏｖ　は、質量ｍの質点の集団、総質量Ｍ、が 　半径Ｒの球壁内に閉じ込められている状況を考察した。 　彼が提出した問題：　「系の総エネルギーＥ，総質量Ｍ、半径Ｒを与えたとき、 　　　　　　　　　　　　　　　　　系はエントロピー極大の状態にたどりつけるか？」 Ｖ．Ａ.．Ａｎｔｏｎｏｖ　（Ｖｅｓｔｎｉｋ　Ｌｅｎｉｎｇｒａｄｓｋｏｇｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｅｔａ，７，１３５） 　“Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｔｅｌｌａｒ　ｓｙｓｔｅｍ　Ｅｍｄｅｎ‘ｓ　 　　ｌａｗ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　of　velocities“ 　質点の位置速度分布関数を　ｆ（ｒ、ｖ）とし、系のエントロピーＳを 　　　　Ｓ＝－∬ｆ（r,v)・ｌｎ ｆ（r,v)　ｄｒｄｖ　　　　で定義する。 （１）　密度ν（ｒ）＝∫ｆ（r,v)　dv　と　運動エネルギー　Ｋ＝ｍ∬ ｆ（r,v)（ｖ２/２）ｄｒdv 　 が一定な系の中でエントロピーＳが停留値になる最大にする　ｆ（r,v) 　は、 　　　　ラグランジュの未定係数、 λ（ｒ）とμを使い、 　　δ（Ｓ＋∫λ（ｒ）ν（ｒ）ｄｒ＋μＫ）＝0　　　から求められる。 　　　　 ∬[-ｌｎ ｆ（r,v)　－１＋λ （ｒ）＋μ（ｍｖ２/２）] δｆ（r,v)　ｄｒｄｖ　＝０ 　　　　　　　　 -ｌｎ ｆ（r,v)　－１＋λ （ｒ）＋μ（ｍｖ２/２）＝０　　　 μまたはＤが位置 ｒ に依らないことに注意 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

を代入すると、 （２） このときの系の物理諸量は以下のようである。 （３） 上の系が力学平衡にある条件はボルツマン方程式で与えられる。 （２）　このときの系の物理諸量は以下のようである。 （３）　　上の系が力学平衡にある条件はボルツマン方程式で与えられる。　　 ここに（１）の を代入すると、 より、 なので、結局 となる。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

しかし、自己重力系では、Φ と ν はポアッソン方程式で結ばれている： こうして求めた解ν（ｒ）を使うと、球壁に囲まれた球対称な等温自己重力系は、（１）ν（ｒ＝０）≡νｏ、（２）Ｄ、（３）Ｒ（球壁半径）　の３つのパラメターでを指定されることが分かる。 （４）　　無次元化　　 ところで、上で求めた球対称な等温自己重力系のポアソン方程式は次のような変換で無次元化されることが知られている。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

半径 Ｒ＝ξｅ・ｒ０ とおくと、系のエネルギーＥ、質量Ｍなどは 半径　Ｒ＝ξｅ・ｒ０　とおくと、系のエネルギーＥ、質量Ｍなどは　 したがって、系を指定する新しいパラメターの組として、 （１）ｒ０、（２）ν０、（３）ξｅ　　　または （１）Ｍ、（２）Ｅ、（３） ξｅ　　　　が可能であることが判る。 （５）　等温平衡球のまわりのエントロピーＳの変化　　　　 を用いてＳの変分は　　 （１次の変分）　　 （２次の変分）　　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

ここで、系に　Ｍ＝一定、Ｅ＝一定、Ｒ＝一定　という拘束条件をかけると、 ν、Ｄ　は自由に変わることができなくなる。 　この場合、ラグランジュの未定係数 α、β　を用いると、Ｓが上の拘束条件の下で停留値になるのは （δＳ＋ α δＭ＋ β Ｅ）１＝０　とあらわされる。 であるから、　 　であればよい。つまり等温平衡解ν（ｒ）に対し、Ｓは停留値をとる。 　Ｓが極大かどうかは、δＳ２＜０かどうかで決まる。　

全質量Ｍ＝一定、全エネルギーＥ＝一定 という条件下で２次変分 δＳ2 はどうなるだろう？ 全質量Ｍ＝一定、全エネルギーＥ＝一定　という条件下で２次変分　δＳ2 はどうなるだろう？ δＳ１で見たように、δＤ、δν、 δΦは互いに独立でなく、 δＤ、δν、はポテンシャルΦの変分δΦで表現される。そこで、　 という関数Ｔ（ｒ）を考える。 δνに対するポアソン方程式　　 から、　　 である。　 δν（ｒ＝０）が有限であるため、Ｔ（ｒ0)∝ｒ３なので、　　　　　Ｔ（０）＝０　　 Ｍ＝一定の条件から、　　 従って　Ｔ（Ｒ）＝０　　 つまり、Ｔ（ｒ）は、　境界条件　Ｔ（０)=T(R)=0　を有する。、　　 一方、δＥ＝０から、　　 したがって、　　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

結局、δＳ２はＴを用いて下のように表わされる。 結局、δＳ２はＴを用いて下のように表わされる。　　 δＳを無次元量ξ, ｒ＝ξ・ｒ０、　ν（ｒ）＝η（ξ）・ν０　で表わすと分りやすい。すると、 数値計算を行うと、ξｅが３４以下では常にδＳ２ ＜０　となり系はエントロピー極大であるが、 ξｅ＞３４、つまりη（ξｅ）＜１/７０９、の時にはδＳ２ ＞０となり得ることが分かった。 　 結論：与えられた総質量Ｍ，総エネルギーＥの下では、無次元半径ξ＜３４の時には等温球のエントロピーＳが極大で系は安定である。が、 ξ＞３４になると、等温状態のエントロピーは極大でなくなり、系は不安定になる。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

熱重力カタストロフィーというセンセーショナルな題名で紹介された。 Ａｎｔｏｎｏｖの得た「壁に囲まれた自己重力系は半径が大きいと等温状態がエントロピー極大に対応しない」という結果は１９６８年にＬｙｎｄｅｎ－Ｂｅｌｌ　により 熱重力カタストロフィーというセンセーショナルな題名で紹介された。 D. Lynden-Bell, R.Wood 1968, Mon.Not.R.astr.Soc.138.495-525 “ The Gravo-Thermal Catastrophe in Isothermal Spheres and the Onset of Red-Giant Structure for Stellar Systems “ Ａｎｔｏｎｏｖがエントロピーの変分δＳを直接扱ったのに対して、リンデンベルは「静的平衡状態の線形系列」　という概念で壁に囲まれた等温自己重力系の平衡系列を調べた。 （１）　一般に静的平衡状態は系の状態を表す一般化座標 ｑ１、ｑ２、．．． と 　　　　系を規定する外部パラメター μ とのセットで表現される。 　　　　安定な平衡状態は与えられた外部パラメターμ＝一定の条件下で 　　　　ポテンシャルＵ＝Ｕ（μ ；ｑ１、ｑ２、．． ）が局所的に極小となることに等しい。 （２）　（μ、ｑ１、ｑ２、．． ）空間に等ポテンシャル面　Ｕ（μ ；ｑ１、ｑ２、．． ）＝Ｕｏ　 を考える。 等ポテンシャル面Ｕ＝Ｕo　が平面μ＝ μ０　と触れる（交差でなく）所が 　　　　　ポテンシャルが停留値を取る点（μ０ 、ｑ１０ 、ｑ２０、．． ）である。　　 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

＋ 図による説明 μ＝ μo 面でＵの等高線 ＋はＵが極値Ｕｏをとる平衡点 μ＝ μo 面とＵ＝Ｕｏ面の接点＋は左図でＵの極値＋と一致する。 Ｕ大 μ＝ μo ＋ ｑ2 ＋ ｑ2 ｑ１ ｑ１ Ｕ＝ Ｕo 上の図から分かるように、Ｕが増加する方向に対してＵ＝一定曲面が出っぱる時に、μ＝一定平面上でＵが極小値をとり安定な平衡点となる。 さらに、この接点でＵ＝一定面が出っ張るという性質が変わらない間、パラメターμが変化していくと、安定な平衡状態の系列が続く。 平衡系列のこのような性質、つまりμ＝一定平面とＵ＝一定曲面との接点でのＵ面の窪み方、が終了するのは、この系列が他の平衡系列と出会うときか、又はこの系列の進む方向が逆向きになるときである。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

（３） ここでは、 Ｕ＝ーＳ、 μ＝ Ｍ，Ｅ，Ｒ、 ｑ＝ｆ（ｒ、ｖ） と考える。 （３）　　ここでは、　Ｕ＝ーＳ、　 μ＝ Ｍ，Ｅ，Ｒ、　ｑ＝ｆ（ｒ、ｖ）　と考える。 　　　　　簡単のため、パラメターμとしてー（Ｅ・Ｒ/ＧＭ２）、一般化座標　ｆ（ｒ、ｖ） 　　　　　 の代表として中心と壁際の密度比　ｖ１＝ｌｏｇ（ρＥ./ρＣ）を取って 　　　　　図示すると、　　　 点線はエントロピー 　Ｓ＝一定の線　を表す。 　下ほど高エントロピーで、 　簡単に言うと高温で重　　 　力が無視できる状態。 点線の向きが水平になりμ＝ －（Ｅ・Ｒ/ＧＭ２）一定の線に接する点が平衡点である。 実線は平衡点を結んだ平衡系列を表す。左下からＡ点までは安定な平衡系列である。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

（４） Ａ点で平衡系列の向きが反転する。（３）で述べたように、安定な平衡系列 はＡ点で終了する。 （４）　　Ａ点で平衡系列の向きが反転する。（３）で述べたように、安定な平衡系列 　　　はＡ点で終了する。 　　　アントノフの議論と対応させると、Ａ点まではδＳ１＝0, δＳ2＜0　であり、その先 　　　では平衡点の周りにδＳ2＞0　となる点が存在するということである。 （５）　ここまでは壁の性質を断熱壁としていた。しかし、壁が等温壁の場合はエント 　　　ロピーＳではなく、ヘルムホルツ自由エネルギー　Ｆ＝Ｅ－ＴＳが極小という条 　　　件が安定平衡解を与える。対応するグラフでは、 パラメターとして μ＝ＧＭβ/Ｒが取られている。前のアントノフの表記ではβ＝１/Ｄ 実線が最初のピークに達するのはｖ１＝－３．５ である。この点で系の比熱は正から負に転じる。 なぜなら、 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって

前ページのピークでＣｖは無限大、その先ではＣｖは負の無限大となる。 Ｃｖが負の系が等温壁に接していた場合には、熱的な揺らぎが増幅されて不安定になるのは当然である。この状況は水素燃焼殻（温度がほぼ一定）に囲まれたヘリウム核の不安定性を示していて、Ｓｈｏｎｂｅｒｇ－Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒ　Ｌｉｍｉｔ を表していると考えられる。 このように、恒星の中心核と外層とのフィッティングがうまくいかないことから等温核の大きさに上限が設定された（Ｓｈｏｎｂｅｒｇ－Ｃｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒ　Ｌｉｍｉｔ）のであるが、実は背後に自己重力系のエントロピー極大という問題が潜んでいたのである。 Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって