How shall we do “Numerical Simulation”?

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How shall we do “Numerical Simulation”? 非圧縮 粘性流体 自然現象 質点の運動 質量保存 運動方程式 構成方程式 モデル化 Navier-Stokes 方程式 Newton の 運動方程式 数理モデル 例) 有限要素法 離散化 近似方程式 連立 (非) 線形方程式

1階常微分方程式の初期値問題 x=a における初期値

Runge-Kutta型公式

Runge-Kutta型公式

RungeーKutta型公式 をどうやって近似するか. オイラー公式; ホイン公式; 古典的ルンゲクッタ公式;

Euler公式 を0次補間する.

Euler公式

Heun公式 積分を台形則で近似する.

Heun公式

古典的Runge-Kutta公式 積分をシンプソン則で近似する.

古典的Runge-Kutta公式

How shall we do “Numerical Simulation”? 非圧縮 粘性流体 自然現象 質点の運動 質量保存 運動方程式 構成方程式 モデル化 Navier-Stokes 方程式 Newton の 運動方程式 数理モデル 例) 有限要素法 離散化 近似方程式 連立 (非) 線形方程式

1階常微分方程式の初期値問題 x=a における初期値

初期値依存性

初期値依存性

RungeーKutta型公式の誤差 オイラー公式; k=1 ホイン公式; k=2 古典的ルンゲクッタ公式; k=4

Runge-Kutta型公式

Runge-Kutta型公式

RungeーKutta型公式の大域誤差 : k次のRunge-Kutta型公式 によるc=xnでの近似解

解曲線群

RungeーKutta型公式の誤差 局所離散化誤差

初期値依存性

RungeーKutta型公式の大域誤差