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統計数理石川顕一 http://ishiken.free.fr/lecture.html 10/17 組み合わせと確率 http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle-2005/index.html （昨年度のオープンコースウェア） 10/17 組み合わせと確率 10/24 確率変数と確率分布 10/31 代表的な確率分布 11/7 ランダムウォークと破産問題 11/14 ブラウン運動と拡散 11/21 雑音

11/7 ランダムウォークと破産問題確率過程一次元のランダムウォークランダムウォークと拡散破産問題統計数理石川顕一 11/7 ランダムウォークと破産問題確率過程一次元のランダムウォークランダムウォークと拡散破産問題

４ー１確率過程個々の粒子の無秩序で雑然とした運動全体として見た場合の明確で簡単な法則性４ー１　確率過程確率過程(stochastic process) 時間とともに変化する確率変数X(t)で表される確率的な現象時間とともに変化する確率変数で表される、動的過程ランダムウォーク不規則に変化する運動する粒子の位置（例：ブラウン運動）雑音都市の人口の変化株価・為替レートの時々刻々の変化非平衡系の統計力学数理ファイナンス・経済物理学個々の粒子の無秩序で雑然とした運動全体として見た場合の明確で簡単な法則性確率過程の理論

水に浮かんでいる花粉の粒子は、たえず無秩序な運動をしていることを発見。４−１　確率過程・ブラウン運動植物学者R. ブラウン 1827年水に浮かんでいる花粉の粒子は、たえず無秩序な運動をしていることを発見。花粉の生命力？（J. ペランの実験結果による）すべての十分に細かい粒子の一般的性質であることが判明 [例] 水槽中に落とした一滴のインクの拡散 [例] バクテリアの運動バクテリアを利用した廃棄物処理施設の設計 BIS4年生岸勇気君作

４ー２一次元のランダムウォーク t ステップ後の粒子の位置 x(t) (t, x) x -3 -2 -1 1 2 3 x ４ー２　一次元のランダムウォーク (t, x) x -3 -2 -1 1 2 3 x 時刻t=0にx=0を出発１回のジャンプごとに１だけ、右または左へ移動する。どの位置にいても次に右へ進む確率と左へ進む確率は1/2ずつ。 t t ステップ後の粒子の位置 x(t)

２項分布 Bin(t,1/2) ４−２一次元のランダムウォーク t 回のジャンプ後に位置xにいる確率原点から(t,x)にいたる経路の数４−２　一次元のランダムウォーク t 回のジャンプ後に位置xにいる確率原点から(t,x)にいたる経路の数 t 回のジャンプ後に位置xにいたる経路の数 x 1 2 3 -1 -2 -3 ２項分布　Bin(t,1/2) t - k 回　右へジャンプ k 回　左へジャンプ一種の拡散現象

４−２　一次元のランダムウォーク・鏡像の原理横軸に関して対称 AからBへの経路のうちで、横軸に接するか横軸を横切るようなものの数は、A’からBへの経路の総数に等しい。この原理によって、何らかの条件を満たす経路の数を計算することが飛躍的に簡単になる。経路の途中の点が横軸よりも常に上正の道経路の途中の点が横軸よりも下に来ない非負の道同様に、負の道、非正の道も定義できる。

４−２　一次元のランダムウォーク [例] 原点から点への正の道の数は？ [例] (0,0)から(2n,0)への正の道の数は？

・原点復帰の問題４−２一次元のランダムウォーク時刻2nに初めて原点に復帰する確率時刻2nまでに原点に復帰する確率４−２　一次元のランダムウォーク・原点復帰の問題時刻2nに初めて原点に復帰する確率時刻2nまでに原点に復帰する確率粒子の原点への復帰は確率１で（つまりいつか必ず）起こる。

・レベル１への到達４−２一次元のランダムウォーク時刻2n-1に初めてx=1に到達する確率時刻2n-1までにレベル１に到達する確率４−２　一次元のランダムウォーク・レベル１への到達時刻2n-1に初めてx=1に到達する確率演習時刻2n-1までにレベル１に到達する確率粒子は確率１で（つまりいつか必ず）レベル１に到達する。ランダムウォークする粒子は、確率１で任意のレベルを無限回横切る。（一次元のランダムウォークは直線を埋め尽くす。）勝ち負けの確率が半々で、勝った時の得と負けた時の損が同額のギャンブルでは、元手の金額が十分大きければ、いつか必ず浮く。

４−３ランダムウォークと拡散拡散現象との関係：長時間の極限、N >> m ２項分布スターリング(Stirling)の公式４−３　ランダムウォークと拡散拡散現象との関係：長時間の極限、N >> m ２項分布スターリング(Stirling)の公式 m/Nの２次まで展開正規分布

物質の拡散に関するフィック(Fick)の法則４−３　ランダムウォークと拡散 m -3 -2 -1 1 2 3 「濃度」物質の拡散に関するフィック(Fick)の法則流束(flux, 単位時間あたりに単位断面積を通過する質量)は濃度勾配に比例 D : 拡散係数 J(x) J(x+dx) S x x+dx

ランダムウォークと拡散現象初期条件４−３ランダムウォークと拡散揺動散逸定理（平衡状態での）ゆらぎ散逸・輸送位置の分散４−３　ランダムウォークと拡散揺動散逸定理ランダムウォークと拡散現象（平衡状態での）ゆらぎ散逸・輸送位置の分散初期条件 t = 0での濃度分布は？ディラック(Dirac)のデルタ関数 x = 0に集中した分布ランダムウォークは、１次元の拡散方程式のモデルの１つ

４−４破産問題吸収壁がある場合のランダムウォーク吸収壁所持金bのプレーヤーの破産 b -a 所持金aのプレーヤーの破産４−４　破産問題吸収壁がある場合のランダムウォーク b -a 吸収壁所持金bのプレーヤーの破産所持金aのプレーヤーの破産レベルbに到達する前に、レベル-aで消滅する確率は？ a+b （所持金合計）一定で考えるでは？