経済統計学 第２回 ４/２４ Business Statistics 鈴木智也 紫英館　３０４号室 Office Hour：月曜日　第２講時

前回のポイント 「記述統計」と「推測統計」。 この講義で扱うのは、推測統計。 標本（サンプル）データから標本統計量を計算し、母集団の持つ規則性（母集団パラメータ）を推測する。 ⇒推測統計を学ぶ前に、記述統計の復習。

記述統計の復習（１） ☆（母集団）平均 X が m 通りの値を取りうる時、大体どれ位の値になるかの指標。

記述統計の復習（２） ☆（母集団）分散 X が概ね平均値からどのくらい離れているかを表す指標。（散らばり具合を記述） Ｑ：なぜ二乗しているのかを考えてみよう。

記述統計の復習（３） ☆（母集団）標準偏差 これも散らばり具合を表す指標。 　注：分散は二乗を取って計算しているので、元々の単位（例：兆円）とは異なる。 ⇒分散の平方根を取って、標準化し、元の単位に戻す。

記述統計と推測統計の対応 n個の標本データから母集団特性値を推測 ☆標本平均 ☆標本分散 ☆標本標準偏差　　　

注：一般的な表記方法 母集団特性値はギリシア文字で表すのが通例。 平均：μ（ミュー） 標準偏差：σ（シグマ） 平均：μ（ミュー）　標準偏差：σ（シグマ） 標本統計量は通常、アルファベットで表す。 小文字のσは小文字のｓ に相当。 母集団標準偏差　σ　⇔　標本標準偏差　ｓ

ここから前回の続き 推測統計では、サンプルを取って、母集団の規則性（特性値）を推測する。 サンプルをどう取るかで、標本統計量の値は変わってくる。 標本統計量には、取り得る値が複数あり、事前にはどの値を取るのか分からない。 ⇒標本統計量は「確率変数」である。

そもそも確率とは？ ある事象が起こるか否か分らない時、その結果が起こる可能性を示す測度のこと。 事象 A の確率を P(A) と表すとすると、 ①確率 P(A) は必ず非負である： P(A)≥0 ②必ず起こる事象の確率は１である。 ③事象 A と B が同時には起こり得ない場合、A または B が起こる確率は、P(A)+P(B) 。

確率の具体例 サイコロを振って、３の目が出る確率は？ ⇒目の出方は、全部で６通り。３の目が出るのは、そのうちの一つ。⇒1/6の確率。 じゃんけんでグーを出して勝つ確率は？ ⇒相手がチョキなら勝ち、グーならあいこ、パーなら負け、の三通り。⇒1/3の確率。

確率変数とは 取り得る値（実現値）が複数あり、それぞれの値を取る確率が決まっている変数。 例：サイコロを振って出る目の数値（X） 実現値（xi）：１，２，３，４，５，６ どの値を取る確率も1/6。 ☆確率変数 X が xi という値を取る確率を P(X=xi) または、単に P(xi) と表記する。

確率分布とは 確率変数 X が取り得る全ての実現値について、対応する確率の散らばりのこと。 それを表すものが、確率分布表。 （例）サイコロで出る目の値の確率分布表 xi 1 2 3 4 5 6 P(xi) 1/6

確率変数を「記述」しよう ① ☆平均値（「期待値」と呼ぶ） 確率変数 X が、平均して、どの位の値を取るものと期待できるだろうか？ 確率変数を「記述」しよう　① ☆平均値（「期待値」と呼ぶ） 確率変数 X が、平均して、どの位の値を取るものと期待できるだろうか？ ↑確率で加重して平均を取っている。 注： E は期待（Expectation）を意味する。

確率変数を「記述」しよう ② ☆分散 確率変数 X の実現値の散らばり具合を表す。 ↑ここでも、確率で加重している。 確率変数を「記述」しよう　② ☆分散 確率変数 X の実現値の散らばり具合を表す。 ↑ここでも、確率で加重している。 注： V は分散（Variance）を表す。

確率変数を「記述」しよう ③ ☆標準偏差 理解の為の重要ポイント 確率変数を「記述」しよう　③ ☆標準偏差 理解の為の重要ポイント 母集団の平均、分散、標準偏差と、確率変数の平均、分散、標準偏差のそれぞれの相似性に注目せよ。

経済分析での確率変数の例 株式投資の収益率 株価は変動する⇒投資収益率は確率変数 Q：もし投資収益率の確率分布が次のようならば、収益率の期待値はいくつ？ 収益率 0.1 0.2 0.4 0.5 0.8 確率（％） 10 20 30

確率分布が分らない場合は？ 過去のデータから「相対頻度」を調べて、代用。 例えば、過去12ヶ月間の収益率が 0.2, 0.4, 0.1, 0.3, 0.1, 0.3, 0.5, 0.2, 0.1, 0.2, 0.3, 0.2 だったとする。その場合、相対頻度は、 収益率 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 相対頻度 3/12 4/12 1/12

連続型確率変数 ここまでの確率変数 X はとびとびの値だけを取り得ると仮定した。←離散型確率変数 しかし、ある範囲内でどんな値でも取り得る確率変数もある。←連続型確率変数 例：ある時点で、時計の秒針が、中心から十二時の部分を結ぶ線と、成す角度は0度から360度まであり得る。（分布を図示せよ）

連続型確率変数（続） ☆離散型の場合 ・X の取る値自体に確率が対応。 ・確率関数 P(X=xi) を定義できる。 ☆連続型の場合

連続型確率変数（続々） 連続型確率変数の場合、確率密度関数を導入する： f(x) X が a から b までの値を取る確率は、 注：積分（∫）は総和（∑）に対応している。 Q：図示して考えてみよ。

連続型確率変数を「記述」する X が －∞ から ∞ までの値を取るならば、 ☆平均（「期待値」と呼ぶ） ☆分散 ☆標準偏差

代表的な確率分布 ☆正規分布 (Normal Distribution) ・確率密度関数は（覚えなくてもよいが） ・図示すると、釣鐘型をしていて、平均値に関して左右対称である。

代表的な確率分布（続） ・N(μ, σ2) に従う変数 X は、N(0, 1)に従う標準化変量 Z=(X－μ)/σに変換できる。 重要：標本平均は正規分布に従うことが知られている（次々回に詳説）。 ＊今週で準備は終り、来週から本題入り。