・力のモーメント ・角運動量 ・力のモーメントと角運動量の関係

力のモーメント 教科書p.50 Moment of force ある質点mが原点Oからrの位置にあり、 m mに力Fが加わっているとする。 （裏から表に）貫く方向 回転させる能力を表す 　　回転面と回転の方向もわかる。

力のモーメント 追加パワポ は のなす角 外積の定義より とみると、 力のモーメント O ＝距離×「力の動径に垂直な成分」 m とみると、 は　　　のなす角 外積の定義より とみると、 力のモーメント 　＝距離×「力の動径に垂直な成分」 O m とみると、 高校の物理：剛体の場合に O m 力のモーメント 　＝力の大きさ×うでの長さ 作用線 うでの長さ＝作用線までの距離 作用線：line of action

力のモーメントの問題 m O m O 問題１ 力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 問題１　力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 　力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求め、 　図示せよ。 問題２　長さ2aのシーソーがあり、支点Oはシーソーの中央にある。 　質点mがシーソーの端にあるとする。 　シーソーと水平線のなす角をθとする時、 　mにかかる重力によって生じる、支点0のまわりの力のモーメントを求めよ。 m O m O

力のモーメントの問題１の解答 力のモーメントの定義 の最大値は1で、θ=π/2, 3π/2nの時。 の最小値は0で、θ=0, πの時 m O 問題１　力の大きさおよび位置が一定で、力の角度を変化させる。 　力のモーメントの大きさが最大および最小になる時の角度を求めよ。 力のモーメントの定義 の最大値は1で、θ=π/2, 3π/2nの時。 の最小値は0で、θ=0, πの時 m O

力のモーメントの問題２の解答 m O O の求め方 z y やり方その１　成分で書くと、 x ｙのプラス方向。紙面表から裏への方向。

力のモーメントの問題２の解答 の求め方 やり方その２ O 青いベクトルと赤いベクトルの なす角は、π/2 + θ z y x

力のモーメントの問題２の解答 青いベクトルと赤いベクトルの なす角は、π/2 + θ O z y x 紙面に垂直で、紙面の表から裏。

三角関数の公式 y 1 π 2π

モーメントとは。 の形 動径ベクトル（位置を表す） 力のモーメント 角運動量もモーメントの１つ。 その他のモーメント の形　　 動径ベクトル（位置を表す） ベクトル。特別な場合は、スカラー（１次元ベクトル）。 力のモーメント 角運動量もモーメントの１つ。 その他のモーメント 慣性モーメント　（前期に勉強します。） 双極子モーメント（後期の電磁気で出てきます。）

角運動量とは。 教科書P.52 既にやった。 運動量 角運動量 ベクトル積 m ある基準点Oの周りの 角運動量。 O 問題　半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の 　　　円の中心のまわりの角運動量ベクトルを求めよ。

円運動の角速度の解答 問題 半径aの円上を一定の速さvで回っている粒子の 角運動量ベクトルを求めよ。 v r a 　　　角運動量ベクトルを求めよ。 v r a 動径ベクトルと速度ベクトルのなす角はπ/2。 それぞれのベクトルの長さは、a, v。 よって角運動量の大きさは、mav。 方向は紙面を貫く方向に、紙面の裏から表へ。

角運動量の運動方程式 m 力のモーメントと角運動量の間に 以下が成立する。 (1) 力のモーメントによって、回転の勢いが変化する。 O 問題 問題　 の両辺を時間で微分することにより、 を用いる。 (1)式を証明せよ。途中で運動方程式 ただし を使うこと。 高校の物理では、(1)は独立に覚える人も多いが、 実際はニュートンの運動方程式から導かれる。

解答 (1) (2) (1)の両辺を時間で微分する。 (3) 任意のベクトル に対して、 (3)の第２項は運動方程式と(2)より、 よって、 ベクトル積の微分の公式（復習） (3) 任意のベクトル に対して、 (3)の第２項は運動方程式と(2)より、 よって、

角運動量と力のモーメントの違い 角運動量：回る時の勢い 質量が大きいほど、勢いが強い。 速いほど勢いが強い。 基準点からの距離が長いほど勢いがある。 動径ベクトルと速度の角度が直角に近いほど、 　勢いがある。 角運動量を変化させるのが、力のモーメント

角運動量の方程式と運動方程式の比較 力が働くと、 力のモーメントで 速度が変化 回転の勢いが 変化

角運動量保存則 もし質点にかかっている 力のモーメントが0なら、 m O 角運動量 は一定になる。 クイズ： スケーターが回転している間に、 クイズ：　スケーターが回転している間に、 広げていた腕をひきつけると、回転速度はどう変わるか？

まとめ 力のモーメント　　ある点0の周り m O 角運動量 ある基準点Oの周り m O 注意点 　・力のモーメントも角運動量もベクトル。 　　　大きさだけでなくて方向・向きも指定する必要。 　・力のモーメントも角運動量も「ある点の周り」。 　　　基準点が違えば、力のモーメントや角運動量は 　　　違ってくる。 力のモーメントをかけると、 角運動量が変化する。

剛体を考える前に、 多重積分を説明する 19

多変数の積分を考える前に。 １変数の積分は高校で勉強した通り。 傾き g’(x0) y=g(x) x x1 x2 x x0 微分は図形的には、 傾きを表す。 積分は図形的には、 面積を表す。

多変数の積分を考える前に。 １変数の積分は高校で勉強した通り。 傾き g’(x0) y=g(x) x x1 x2 x x0 微分は図形的には、 傾きを表す。 積分は図形的には、 面積を表す。 21

偏微分：２変数以上の関数である１つの変数について微分する。 復習 偏微分：２変数以上の関数である１つの変数について微分する。 ：xについて微分する。(ｙを一定とみる） 「偏微分」と呼ぶ。 図形的には、z=p(x,y)の関数を、 y一定の断面で見た時の、傾き z y x

次に多変数の積分を 定義します。

２変数の積分 ２段階で定義。 z=f(x,y) y x 順番に積分すればよい。 大部分の場合は積分順序によらないので、 　積分しやすい方を先にすればよい。 z=f(x,y) 図形的には、曲面z=f(x,y)の下の体積 次のページに詳しい説明。 y x

積分の幾何学的意味 y=f(x) y １変数の積分：曲線の下の面積 x 図のような微小な幅の帯を考えると、 f(x) 図のような微小な幅の帯を考えると、 幅がdx, 高さがf(x)。 これの和が積分なので、面積に対応する。 f(x) dx ２変数の積分：曲面の下の体積 f(x,y) dy dx 次のページに例。

重積分の例 の場合 26

２変数の積分：曲面の下の体積 f(x,y)=xyのグラフ x y f(x,y) dy dx 問題 z=xy, xy平面、x=a, y=bで 囲まれる立体の体積を求めよ。(a>0, b>0) 特に、a=10, b=10の時、体積はどうなるか？ 辺の長さが10,10,100の直方体の何パーセントの体積か？